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Démontrer une conjecture !


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secondeDémontrer une conjecture !

#msg3364587#msg3364587 Posté le 22-12-10 à 11:14
Posté par Profillolidu84 lolidu84

Bonjour ( un petit dialogue entre son professeur et son élève pour mieux comprendre l'exercice qui suit ... )
Pouvez vous m'aidez j'ai bien du mal !

E-Les valeurs extrêmes ? Cela est mystérieux
Il existerait un lien entre ces deux nombres, la médiane et la moyenne ?
P-Oui un magnifique lien, il existe toujours un lien entre les termes extrêmes, la médiane et la moyenne ...
E-Ça y est j'ai trouvé , comment peut-on faire monsieur ?
P-Démontrer c'est la clé ! Que la force soit avec vous !

exemple: 30+31+32+...+129+130+131.
Moyenne: 80.5
Terme médian: 80.5

Démontrer la conjecture
Aide: on identifiera les termes de la somme à des valeurs x1, x2 , ... , xn
avec le premier terme a=x1 et le dernier terme b=xn ;
et c l'écart constant entre les deux termes successifs !
On calculera la Moyenne M en fonction de a et b .

Merci ! Aidez moi !
re : Démontrer une conjecture !#msg3366238#msg3366238 Posté le 22-12-10 à 21:13
Posté par Profillolidu84 lolidu84

S'il vous plait aidez moi !!!!!!!!!!!!!!!!!!
re : Démontrer une conjecture !#msg3366357#msg3366357 Posté le 22-12-10 à 22:36
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

bonsoir lolidu84
Pour calculer cette moyenne comme d'habitude fais la somme des termes et divise par n
sans oublier que si le premier est a, le deuxième est a+c, le troisième a+2c, le nième b=a+(n-1)c
Mets alors c en facteur
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re : Démontrer une conjecture !#msg3366623#msg3366623 Posté le 23-12-10 à 11:30
Posté par Profillolidu84 lolidu84

je n'ai absolument rien compris

On me dit a=x1 et le dernier terme b=xn

c l'écart constant entre les deux termes successifs

Il bien calculer la moyenne en fonction de a et b ( les valeurs extrêmes donc!)

Aidez moi !
re : Démontrer une conjecture !#msg3366644#msg3366644 Posté le 23-12-10 à 11:42
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

je croyais que tu étais parti
as tu fait ce que je t'ai dit
re : Démontrer une conjecture !#msg3366662#msg3366662 Posté le 23-12-10 à 11:52
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

j'attends de tes nouvelles pour pouvoir continuer.
Ecris l'égalité correspondant à une moyenne et utilise ce que je te disais à 22h 36
re : Démontrer une conjecture !#msg3366677#msg3366677 Posté le 23-12-10 à 12:00
Posté par Profillolidu84 lolidu84

oui mais je n'ai pas compris justement !
re : Démontrer une conjecture !#msg3366681#msg3366681 Posté le 23-12-10 à 12:05
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

je te donne le départ
moyenne=(a+(a+c)+a+2c)+(a+3c)+...+(a+(n-1)c)/n
Surtout il faut que tu écrives sinon on ne pourra pas avancer
re : Démontrer une conjecture !#msg3366685#msg3366685 Posté le 23-12-10 à 12:06
Posté par Profillolidu84 lolidu84

L'égalité:

M = a + a+c + a+2c + a+(n-1)c / n

???
re : Démontrer une conjecture !#msg3366689#msg3366689 Posté le 23-12-10 à 12:08
Posté par Profillolidu84 lolidu84

pourquoi on me dit a=x1 et b=xn

il faut remplacer non ?
re : Démontrer une conjecture !#msg3366690#msg3366690 Posté le 23-12-10 à 12:08
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

Comment fais tu pour calculer ta moyenne tu additionnes bien tes notes et tu divises par le nombre de notes. Je te laisse un moment le repas est prêt mais je ne t'abandonne pas
re : Démontrer une conjecture !#msg3366761#msg3366761 Posté le 23-12-10 à 12:39
Posté par Profillolidu84 lolidu84

M=
(a+(a+c)+a+2c)+(a+3c)+...+(a+(n-1)c)/n
(3a + 3c ) + ( a+ 3c + a + nc -c )
(3a + 3c + 2a + nc + 2c )
( 5 a +5c + nc ) / n
5a + 6c

cela me parait bizarre non ? on ne sait pas combien il y a de valeurs , de termes on ne peut pas trouver de résultat juste ???
re : Démontrer une conjecture !#msg3366789#msg3366789 Posté le 23-12-10 à 12:57
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

si tu sais qu'il y a n valeurs
quand tu as 2 termes additionnés tu as 2a+1c quand tu as 3 termes tu as 3a+2c quand tu as 4 termes tu as 4a+3c, quand tu as 5 termes tu as ... quand tu as 6 termes ... et enfin quand tu as n termes tu as ... donne moi la réponse correspondant à chacun des trois pointillés
re : Démontrer une conjecture !#msg3366797#msg3366797 Posté le 23-12-10 à 13:03
Posté par Profillolidu84 lolidu84

5 termes tu as 5a+4c
6 termes tu as 6a+5c
n termes tu as a+c
re : Démontrer une conjecture !#msg3366804#msg3366804 Posté le 23-12-10 à 13:08
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

mais non pour 3 termes tu as bien 3a+(3-1)a pour 4 termes 4a+(4-1)a pour 5termes 5a+(5-1)a donc pour n termes ...
re : Démontrer une conjecture !#msg3366807#msg3366807 Posté le 23-12-10 à 13:10
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

excuse moi mais c'est 3a+(3-1)c 4a+(4-1)c 5a+(5-1)c voila ce qui arrive quand on ne relit pas
re : Démontrer une conjecture !#msg3366809#msg3366809 Posté le 23-12-10 à 13:10
Posté par Profillolidu84 lolidu84

post 12h57 vous me disiez
3 termes 3a+2c ...
re : Démontrer une conjecture !#msg3366814#msg3366814 Posté le 23-12-10 à 13:11
Posté par Profillolidu84 lolidu84

donc j'avais juste ?!
re : Démontrer une conjecture !#msg3366819#msg3366819 Posté le 23-12-10 à 13:13
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

ce que tu as marqué au début est juste mais ce qui nous intéresse c'est la généralisation donc j'essaie de te la faire deviner et ce n'est pas a+c
re : Démontrer une conjecture !#msg3366821#msg3366821 Posté le 23-12-10 à 13:14
Posté par Profillolidu84 lolidu84

je ne vois vraiment pas !
re : Démontrer une conjecture !#msg3366824#msg3366824 Posté le 23-12-10 à 13:16
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

imagine que l'on s'arrête au 36eme terme comment ferais tu pour savoir le nombre de a et le nombre de c
re : Démontrer une conjecture !#msg3366830#msg3366830 Posté le 23-12-10 à 13:18
Posté par Profillolidu84 lolidu84

tout se mélange là ! je n'y comprends plus rien ! On est bien daccord a est le premier terme ( x1 ) et le dernier terme b (xn) c l'écart entre 2 nombres successifs ?
re : Démontrer une conjecture !#msg3366836#msg3366836 Posté le 23-12-10 à 13:21
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

exact mais réponds moi si l'on s'arrête à 36 termes combien de a et combien de c?
re : Démontrer une conjecture !#msg3366839#msg3366839 Posté le 23-12-10 à 13:22
Posté par Profillolidu84 lolidu84

et bien 36a et 35c
re : Démontrer une conjecture !#msg3366844#msg3366844 Posté le 23-12-10 à 13:25
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

très bien ou encore 36a et  (36-1)c
Sous la même forme que je viens de te donner, donne moi les résultats pour
72 termes, 84 termes, 428 termes et enfin n termes
re : Démontrer une conjecture !#msg3366855#msg3366855 Posté le 23-12-10 à 13:30
Posté par Profillolidu84 lolidu84

72 termes 72a et (72-1)c
84 termes 84a et (84-1)c
428 termes 428a et (428-1)c

n termes je ne vois tjrs pas
quand on dit 72a c'est 72 fois la première valeur ?
pourquoi on ne met pas 72x1

????????????????
re : Démontrer une conjecture !#msg3366866#msg3366866 Posté le 23-12-10 à 13:35
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

tu peux écrire 72xa mais quand il y a des lettres pour éviter de confondre multiplier et la lettre x on ne met plus multiplié
par contre pour n termes tu auras na et (n-1)c tout simplement
Maintenant reprends le Posté le 22-12-10 à 22:36 et surtout encore une fois ne crains pas d'écrire
re : Démontrer une conjecture !#msg3366869#msg3366869 Posté le 23-12-10 à 13:36
Posté par Profillolidu84 lolidu84

peut être

na et (n-1)c
re : Démontrer une conjecture !#msg3366872#msg3366872 Posté le 23-12-10 à 13:39
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

oui et relis Posté le 23-12-10 à 13:35
re : Démontrer une conjecture !#msg3366873#msg3366873 Posté le 23-12-10 à 13:40
Posté par Profillolidu84 lolidu84

moyenne=(a+(a+c)+a+2c)+(a+3c)+...+(a+(n-1)c)/n

cela est juste je dois continuer en simplifiant ?
re : Démontrer une conjecture !#msg3366886#msg3366886 Posté le 23-12-10 à 13:46
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

Ce n'est pas tellement une histoire de simplification mais surtout une histoire de réduction en mettant d'une part a en facteur (pas très compliqué), mais la mise en facteur de c pour obtenir (...a+...c)/n
re : Démontrer une conjecture !#msg3366892#msg3366892 Posté le 23-12-10 à 13:49
Posté par Profillolidu84 lolidu84

Pouvez vous m'aidez en me donnant le début a quoi sert na+(n-1)c  ?????

je suis complètement perdu
re : Démontrer une conjecture !#msg3366904#msg3366904 Posté le 23-12-10 à 13:55
Posté par Profillolidu84 lolidu84

re : Démontrer une conjecture !#msg3366919#msg3366919 Posté le 23-12-10 à 14:03
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

\frac{a+(a+c)+(a+2c)+(a+3c)+...+(a+(n-1)c)}{n}=\frac{a+a+c+a+2c+a+3c+...+a+(n-1)c}{n}=\frac{(1+1+1+...+1)a+(1+2+3+...+(n-1))c}{n}
re : Démontrer une conjecture !#msg3366940#msg3366940 Posté le 23-12-10 à 14:08
Posté par Profillolidu84 lolidu84

comment avez vous fait pour passer du 2eme au 3eme
re : Démontrer une conjecture !#msg3366945#msg3366945 Posté le 23-12-10 à 14:10
Posté par Profillolidu84 lolidu84

non c'est bon j'ai compris vous avez factorisé faut-il le réduire encore???
re : Démontrer une conjecture !#msg3366956#msg3366956 Posté le 23-12-10 à 14:12
Posté par Profillolidu84 lolidu84

on me dit bien en fonction de a et b il n'y a pas de b?!
re : Démontrer une conjecture !#msg3366963#msg3366963 Posté le 23-12-10 à 14:14
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

oui bien sûr combien de a et surtout que vaut 1+2+3+...+(n-1). tu dois avoir appris la formule donnant la somme des n premiers entiers naturels
re : Démontrer une conjecture !#msg3366982#msg3366982 Posté le 23-12-10 à 14:18
Posté par Profillolidu84 lolidu84

non je ne l'ai pas appris
re : Démontrer une conjecture !#msg3367008#msg3367008 Posté le 23-12-10 à 14:27
Posté par Profillolidu84 lolidu84

re : Démontrer une conjecture !#msg3367015#msg3367015 Posté le 23-12-10 à 14:29
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

Es tu bien sûr de ne pas avoir appris la somme des n entiers premiers naturels est n(n+1)/2 et bien sûr des n-1 premiers entiers naturels est n(n-1)/2
ainsi 1+2+3+4+5=5(5+1)/2=15
re : Démontrer une conjecture !#msg3367032#msg3367032 Posté le 23-12-10 à 14:34
Posté par Profillolidu84 lolidu84

oui j'en suis sûre !!!!

que faut il faire après post 14h03 ??
re : Démontrer une conjecture !#msg3367039#msg3367039 Posté le 23-12-10 à 14:36
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

je dois partir je reprendrai en revenant et n'oublie pas que b=a+(n-1)c
re : Démontrer une conjecture !#msg3367053#msg3367053 Posté le 23-12-10 à 14:38
Posté par Profillolidu84 lolidu84

vous revenez vers quelle heure ???
re : Démontrer une conjecture !#msg3367137#msg3367137 Posté le 23-12-10 à 15:03
Posté par Profilplumemeteore plumemeteore

Bonjour Loly.
a étant le plus petit nombre et n le nombre d'éléments, le plus grand nombre est a+n-1
On regroupe les nombres par 2 comme suit :
a a+n-1
a+1 a+n-2
a+2 a+n-3
...
comme on ajoute toujours 1 à gauche et qu'on soustrait toujours 1 à droite, la somme des lignes reste la même : 2a+n-1

premier cas : n est pair
il y a n/2 lignes; la somme de leurs sommes est le total de tous les nombres : (n/2)*(2a+n-1)
la moyenne est (n/2)*(2a+n-1) / n = (2a+n-1)/2 = a+(n-1)/2
la médiane :
la première moitié de la série des nombres s'arrête au bas de la colonne de gauche : a+(n/2)-1; la deuxième moitié de la série des nombres commence au bas de la colonne de droite (et continue en remontant) : a+(n/2)-1 + 1 = a+(n/2)
la médiane est la moyenne entre ces deux nombres :
[a+(n/2)-1+a+(n/2)]/2 = (2a+n-1)/2 = a+(n-1)/2
la médiane est donc égale à la moyenne

deuxième cas : n est pair
il y a (n-1)/2 lignes complètes; la somme de leurs somme est ((n-1)/2)*(2a+n-1)
à cela, il faut ajouter le nombre du milieu de la série des nombres; il est juste supérieur au nombre du bas de la colonne de gauche
le nombre du bas de la colonne de gauche est a+((n-1)/2)-1; le nombre du milieu est a+(n-1)/2; ce nombre du milieu est par la même occasion la médiane de la série
la somme totale de la série est :
(n-1)/2)*(2a+n-1) + a+(n-1)/2
= (n-1)/2)*(2a+n-1) + (2a+n-1)/2
= (2a+n-1)*[((n-1)/2)+(1/2)]
= (2a+n-1)*(n/2)
la moyenne est (2a+n-1)*(n/2)/n = (2a+n-1)/2 = a+(n-1)/2
donc la moyenne est égale à la médiane

par ailleurs, on constate que la moyenne et la médiane s'expriment de la même façon que n soit pair ou impair
re : Démontrer une conjecture !#msg3367265#msg3367265 Posté le 23-12-10 à 15:42
Posté par Profillolidu84 lolidu84

le post de ugernum2 est il juste ?


comment faut-il faire pour démontrer la conjecture ?

REPRENEZ l'exo !

merci
re : Démontrer une conjecture !#msg3367585#msg3367585 Posté le 23-12-10 à 17:35
Posté par Profillolidu84 lolidu84

ugernum2

Pourriez vous finir la démonstration de la conjecture suite du Poste  23-12-10 à 14:03

MERCI !
re : Démontrer une conjecture !#msg3367942#msg3367942 Posté le 23-12-10 à 20:15
Posté par ProfilUGERNUM2 UGERNUM2

voilà je suis de retour
en utilisant la formule que tu ne sembles pas connaître(je pensais que les suites arithmétiques étaient connues en seconde)
on a donc à la suite du Posté le 23-12-10 à 14:03
\frac{na+n(n-1)c/2}{n}=\frac{2na+n(n-1)c}{2n}=\frac{2a+(n-1)c}{2}=\frac{a+a+(n-1)c}{2}
Comme rappelé Posté le 23-12-10 à 14:36 b=a+(n-1)c
\frac{a+b}{2}
En espérant ne pas avoir d'erreurs d'écriture. Si qqchose coince dis le. Sinon Bon courage et passe de bonnes fêtes
re : Démontrer une conjecture !#msg3368346#msg3368346 Posté le 24-12-10 à 10:18
Posté par Profillolidu84 lolidu84

bonjour,
merci dabord

mais êtes vous sur que le prof attend ca de moi ?!

en plus j'ai l'impression que ca ne marche pas !

ex: 2-5-8-12-14-19

2+19/2=10.5

2-5-8-12-14-19/6= 10

????
re : Démontrer une conjecture !#msg3368372#msg3368372 Posté le 24-12-10 à 10:41
Posté par Profillolidu84 lolidu84

une autre question :

comment vous faites pour passer de

na+ n(n-1)c/2 /  n  = 2 na + n(n-1)c / 2 = 2a + (n-1)c / 2

merci de m'expliquer précisément !

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