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Le cercle des neufs points d un triangle

Posté par chirry (invité) 10-05-05 à 19:30

Bonjour j'ai un DM de maths et je n'arrive pas à résoudre un de ses exercices. Merci de m'aider.

Soient un triangle ABC, H son orthocentre et O le centre de son cercle circonscrit. On note A',B' et C' les milieux des côtés [BC], [AC] et [AB]. On note P, Q et R les milieux respectifs des segments [AH], [BH] et [CH]. On a précisé que le point H défini par OH=OA+OB+OC (vecteur) est l'orthocentre du triangle.
Soit le milieu du segment [OH].

1. Montrer que P=1/2OA   (vecteur)
2. Exprimer OB+OC en fonction de OA'. Ecrire alors une relation liant OH, OA et OA'. En déduire que:P=-A'.    (vecteur)
3. Etablir quatre égalités analogues concernant les points Q, R, B, C, B' et C.
4. Soit() le cercle de centre et de rayon R/2, où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
Montrer que P, Q, R, A', B' et C' appartiennent à ().
5. On note A1, B1 et C1 les pieds des hauteurs du triangle ABC. En considérant le triangle PA1A', montrer que A21 appartient à (). Montrer de même que B1 et C1 appartiennent à ().

Les points P, Q et R sont les points d4='Euler du triangle ; () est le cercle d'Euler du triangle (ou cercle des neufs points).

Posté par dolphie (invité)re : Le cercle des neufs points d un triangle 10-05-05 à 19:40

Salut,

1. il suffit d'utiliser la relation de Chasles:
\vec{\Omega P}=\vec{\Omega O}+\vec{OP}
\vec{\Omega P}=-\frac{1}{2}\vec{OH}+\vec{OA}+\vec{AP}
\vec{\Omega P}=-\frac{1}{2}\vec{OH}+\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{AH}
\vec{\Omega P}=-\frac{1}{2}\vec{OH}+\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{AO}+\frac{1}{2}\vec{OH}

je te laisse terminer.

2. \vec{OA'}=\vec{OB}+\vec{BA'}
\vec{OA'}=\vec{OC}+\vec{CA'}
puis tu calcules 2OA' = ...

***Edit Nightmare : probléme LaTeX arrangé***

Posté par chirry (invité)re : Le cercle des neufs points d un triangle 10-05-05 à 20:02

pour la 1 je trouve que P=OA + 1/2AO

Posté par chirry (invité)re : Le cercle des neufs points d un triangle 10-05-05 à 20:28

est-ce que quelqu'un pourrrait m'aider pour la suite?



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