Joute n°13 : La nioumérologie

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour à tous,

Je vous souhaite une excellente année 2011 et je vous offre un nouveau moyen de savoir ce que l’avenir vous réserve !
Vous connaissez tous la bonne vieille numérologie où on attribue un nombre entier différent à chaque lettre. Un mot est alors représenté par la somme des valeurs des lettres qui le composent.

Lee Sallows a imaginé un système (baptisé new merology) où un nombre écrit en toutes lettres est dit « parfait » lorsque la somme des valeurs de ses lettres est égale au nombre lui-même. Les valeurs doivent évidemment être entières, toutes différentes et peuvent être éventuellement négatives.

En français, ça donne par exemple :
Z + E + R + O = 0,
U + N = 1,
D + E + U + X = 2.
On trouve aisément plusieurs solutions, comme par exemple :
Z = 2, E = 1, R = -1, O = -2, U = 4, N = -3, D = 3 et X = -6.

Pour la version anglaise, voir ici

Question : quelle est la plus longue suite de nombres « parfaits » positifs consécutifs en français ?
Donnez le premier et le dernier nombre de la suite ainsi que la valeur attribuée à chaque lettre (un nombre entier relatif).

Précision importante : on écrira soixante-dix et pas septante, quatre-vingt-dix et pas nonante, etc… Mais les traits d’union ne sont évidemment pas pris en compte.

PS (ajouté à 20H00) : une petite erreur s'était glissé dans l'énoncé, à la place de "U=3 et D=4", cela a été corrigé en "U=4 et D=3". Désolé ...

Posté par totti1000 totti1000

Bonsoir godefroy  

_{3 étoiles ?? Près de 8 heures d'écoulées, toujours pas de réponse...
Le jour où tu vas nous poser une 4 étoiles, je pense qu'on va tous prendre très cher...}  

Bon, après une après-midi entière de recherches, je propose (sans être sûr à 100%) enfin une solution :

Je trouve une suite de longueur 57, allant de quinze à soixante et onze...
Et voici les valeurs des lettres :
a=44; c=49; d=-213; e=83; f=-124; g=9; h=-67; i=149; n=-8; o=67; p=273; q=-185; r=136; s=-217; t=-132; u=58; v=2; x=74; z=-82 (les lettres b,j,k,l,m,w,y ne sont pas utilisées...).

Merci pour cette excellente énigme et bonne année 2011 à toi, ainsi qu'à tous les participants aux énigmes!!!

Posté par castoriginal castoriginal

Bonsoir,

voici une énigme difficile !

Je vous présente ma solution ci-dessous en image



Bien à vous

Posté par LeDino LeDino

Bonsoir,

Une énigme pas commode et épineuse à souhaits.
La prudence inspirait presque de ne pas répondre, tant les pièges sont nombreux ...

Je tente néanmoins ma chance pour le plaisir de jouer, en proposant la suite de 16 à 72 (seize à soixante-douze).

Pour celà, il faut avoir :

a = 44
c = 49
d = 84
e = -16
f = 74
g = 11
h = 32
i = -49
n = -8
o = -32
p = -123
q = 13
r = -62
s = 80
t = 66
u = -41
v = 0
x = -25
z = 17

Remarque : g et v sont liés par v+g=11 et peuvent prendre une infinité de valeurs...

Posté par dpi dpi

Bonjour,

Pour une fois ,je pense qu'il n'y aura pas de réponse commune

Il semble inutile de chercher dans les centaines et les milliers si
on n'a pas résolu les 16 premiers entiers.
Pour ma part je bloque à sept "parfaits"
5 6 7 8 9 10 11
avec c=8 d=5 e=4 f=-3 h=11 i =2 n =9 o=7 p =6 q=-14 s=1 t=-4 u=-1 x=3 z=-9

Posté par ylliw ylliw

q -37
p -23
u -16
Avec les valeurs suivantes.
r -12
n -8
o -7
i -5
g 1
e 3
s 5
x 6
h 7
d 9
v 10
t 22
z 23
f 30
a 44
c 55

16 a 71 est ausi possible, meme longeur, mais avec differentes valeurs.

Posté par LeDino LeDino


Même si les risques d'erreurs sont élevés, je propose quand même une explication du résultat proposé (16 à 72)...

Principe :
Chaque nombre parfait (NP) retenu dans la suite maximale (SMax), impose une équation linéaire.

Chaque NP introduit dans la suite Smax, fournit également des inconnues, qui sont les lettres qui le composent.

Par exemple, CINQ=5, fournit :
1 équation  :  C + I + N + Q = 5.
4 inconnues :  C, I, N, Q.

L'ensemble des NP de SMax, impose donc un système d'équations linéaires, dont les coefficients sont entiers, et dont les solutions sont entières et distinctes les unes des autres.


La stratégie :
La stratégie générale à adopter, consiste à introduire dans Smax, des NP qui augmentent le degré de liberté du système en introduisant de nouvelles inconnues (des lettres non utilisées jusque là), tout en augmentant le moins possible le nombre de contraintes (équations non liées).

Dans la suite : DL = X - EQ, DL doit rester positif ou nul...
(DL): degré de liberté,  (X): nombre d'inconnues,  (EQ): nombre d'équations.


Unités :
Pour que Smax ait une certaine longueur, il faut espérer qu'elle contienne toutes les unités (de 1 à 9).

Ainsi, si 20 à 29 est dans Smax, alors pour avoir également 30 à 39, il suffit de rajouter une seule contrainte : TRENTE = 30. En effet, si trente est NP et que DEUX est NP, alors TRENTE DEUX est NP (et idem pour les nombres 33 à 39)...

De même, si 40 est également NP (une seule contrainte), alors tous les nombres de 41 à 49 le seront.

Pour être exact, UN ne doit pas nécessairement être NP. En fait, il faut que "ET UN" le soit, car 31 = TRENTE ET UN. De même pour 41, 51, 61.

En conclusion, il est souhaitable d'avoir les unités suivantes :
&1 (ET UN), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Retenir ces NP conduit à 9 équations pour 16 inconnues :
a, c, d, e, f, h, i, n, o, p, q, r, s, t, u, x.


Quelles dizaines retenir ?
Outre les unités (&1, 2, 3... 9), on peut encore inclure des NP dans Smax, puisqu'il nous reste 16-9 = 7 DL.

Inclure VINGT ne coûte aucun DL, puisque les lettres V et G (non encore utilisées) introduisent deux inconnues pour une équation. 'VG' sera considérée comme une variable unique.

Inclure TRENTE coûte un DL.
De même pour QUARANTE, CINQUANTE et SOIXANTE.

On peut donc retenir dans Smax, les nombres de 20 à 69.
Ces 50 NP impliquent 9+1+1+1+1+1 = 14 équations pour 17 inconnues.

Reste alors 3 DL.


Faut-il retenir 80 ?
La série de 80 à 99 pose plusieurs difficultés :

81 s'écrit QUATRE-VINGT UN, ce qui requiert que UN soit parfait, ce dont on avait fait l'économie jusqu'ici.

80 s'écrit QUATRE-VINGTS, avec un S, ce qui requiert que S soit nul, ce qui pose une contrainte supplémentaire.

82 = QUATRE-VINGT DEUX, avec QUATRE=4 et DEUX=2, n'est possible que si VINGT ne vaut pas 20, ce qui exclurait de Smax toute la série de 20 à 29.

Il y a encore une dernière contrainte avec le fait que pour atteindre 80, il faut également intégrer la série de 70 à 79 (sinon il y a rupture de la série). Or, intégrer cette série impose d'avoir 10, 11, 12, 13, 14, 15 et 16 comme NP, ce qui rajoute 7 équations, ce qui dépasse les degrés de liberté encore disponibles dans le système.

CONCLUSION : la série des quatre-vingt... est à exclure.


Faut-il retenir 10 ?
Oui.

DIX comme NP est intéressant, car il permet au prix d'une seule contrainte, d'inclure 4 NP supplémentaires, contigüs avec la série en cours (qui va de 20 à 69 pour l'instant).

Les NP intégrés seront alors 17, 18, 19 ainsi que 70.

Nous disposons alors d'une série qui va de 17 à 70, soit 54 NP, avec 15 équations pour 17 inconnues.


Peut-on étendre cette série ?
Oui. En ajoutant des NP contigüs à la série, et sachant qu'il reste 2 degrés de liberté.

Les nombres candidats à être NP dans Smax sont :
SOIXANTE ET ONZE, donc ET ONZE (noté &11)
SOIXANTE DOUZE, donc DOUZE
SOIXANTE TREIZE, donc TREIZE
... (puisque 60 est supposé NP)

Ainsi que :
14 pour QUATORZE
15 pour QUINZE
16 pour SEIZE

Tous ces nombres utilisent des lettres déjà présentes, PLUS le Z.
On introduit donc une inconnue de plus, ce qui autorise 3 équations pour équilibrer les DL.

Il est donc possible d'inclure soit :
14, 15, 16
15, 16, 71
16, 71, 72
11, 12, 13


Résolution :
On résout le système induit par les NP suivants :
&1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60

Le système est alors de 15 équations à 17 inconnues :
a, c, d, e, f, h, i, n, o, p, q, r, s, t, u, x, vg.

On résout chaque inconnue en fonction de deux inconnues de référence, par exemple u et e (ce choix facilite la résolution compte tenue des premières équations évidentes).

On résout le système en (u, e, z) résultant de la prise en compte des 4 cas de figure envisageables (voir chapitre précédent).

On retient le cas qui permet d'avoir toutes les solutions entières et distinctes.

16, 71, 72 convient.

On retient donc pour Smax la série de NP allant de 16 à 72.


Autres options :
J'ai envisagé des possibilités différentes en préfixant par exemple par mille.

La série 1016 à 1072 est NP et Smax également. Il suffit de choisir convenablement m et l pour que mille soit NP.

Dans ce cas, 2016 à 2072 fonctionne aussi...


En toute humilité, je pense que les occasions de se tromper étaient très nombreuses... donc je ne suis vraiment pas certain du résultat.

Le problème n'en reste pas moins passionnant.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Après de longues ...longues recherches parsemées d'erreur, je propose la suite allant de 2 à 39 inclus avec comme valeurs :
C = -2, I = -24, N = 16, Q = 15, S = 30, X = 0, E = -15, P = -25, T = 17,
H = 32, U = -17, F = 25, D = 34, O = -30, Z = 40, R = 10, A = -6, V= 21,
G = -10

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Godefroy,

A mon avis, cela vaut bien 4 étoiles, et je ne suis sûr de rien ; tout ce que je peux proposer est  :  17 à 73 ,

avec :  a=+44 , c=-24 , d=+84 , e=+57 , f=+1 , g=+5 , h=+32 , i=+24 , n=-8 , o=-32 , p=-123 , q=+13 , r=-62 , s=+80 , t=-7 , u=-41 , v=+6 , x=-98 , z=-56 , par exemple.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Le chemin parsemé d'erreurs n'avait touché à sa fin lorsque j'ai répondu...
Je n'ai pas l'habitude de donner ma nouvelle réponse lorsque je découvre une erreur, mais là le travail a été tel que je ne peux m'en empêcher.. Chapeau par avance à ceux qui ont trouvé.
je joins deux solutions de 15 à 71 et de 17 à 73.. Le V et le G peuvent être choisis tels qu'il soient différents des autres et que V+G=11.

Posté par caylus caylus

Bonjour Godefroy,

Après beaucoup de recherches, et sans être certain du maximun trouvé:
je dirai de 30 à 49 inclus.
avec
A=7,  C=-2,  D=34, E=-15, F=12,  G=11
H=45, I=-24, N=29, O=-30, P=-12, Q=2
R=23, S=30,  T=4,  U=-17, X=0,   Z=40

Merci pour la joute et le poisson ...

Posté par Rodival Rodival

Bonjour/Bonsoir,

J'ai trouvé une suite de :



avec les valeurs :
A = 44
C = 49
D = -213
E = 83
F = -124
G = 11
H = -67
I = 149
N = -8
O = 67
P = 273
Q = -185
R = 136
S = -217
T = -132
U = 58
V = 0
X = 74
Z = -82

(en fait, V et G peuvent encore être ajustés en gardant V + G = 11)

Il y a d'autres séquences de longueur 57 débutant en 16 et 17.
Puis le schéma se répète par exemple en :
- 1015, 1016 et 1017
- 1115, 1116 et 1117
...
mais pas en :
- 115, 116 et 117
- 215, 216 et 217
...

Merci pour vos énigmes.
Celle-ci a été difficile pour moi
Que d'erreurs de calcul...
Que de pages chiffonnées :

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Basta, je n'y passerai pas quinze jours ...  

Voici une solution avec 55 nombres parfaits consécutifs.

Premier nombre: 16
Dernier nombre: 70

Valeur des lettres:
a = 44
c = 87
d = -102
e = 8
f = -12
g = 11
h = -30
i = 37
n = -8
o = 30
p = 125
q = -111
r = 62
s = -106
t = -20
u = 21
v = 0
x = 75
z = 69

A noter qu'avec z = -7, on obtient la suite de 17 à 71.

En commençant à 0, on arrive au maximum à 13 (14 nombres)

Merci pour cette intéressante énigme, qui valait bien ses trois étoiles. (surtout si je me suis planté )

Posté par gloubi gloubi

Re-

Evidemment, je suis tombé dans le panneau.  
Dans ce genre de problème, on suppose généralement qu'aucun nombre ne commence par "0".
Et j'ai bêtement mis, pour 20, v = 0. Il m'aurait suffi d'inverser les valeurs de "v" et "g": v = 11 et g = 0.

_{Ceci dit, j'ai peut-être commis d'autres erreurs ...}  

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Clôture de l'énigme :

Apparemment, on ne pouvait pas trouver plus de 57 nombres consécutifs. Bravo à ceux qui ont trouvé.
Je vous invite à lire la très belle démonstration de LeDino.

J'avoue que j'étais un peu inquiet en voyant qu'au bout de 8 heures, il n'y avait toujours pas de réponse.
Je ne pensais pas que cette joute était si effrayante (ou alors vous n'étiez pas remis des fêtes ).

Promis, il y en aura des plus faciles.

Posté par LeDino LeDino

Bonjour,

Je me doutais que l'énigme ferait des dégats... les recherches d'extrema sont souvent difficiles et celle-ci était en outre remplie de pièges...

Je profite de l'occasion pour faire une proposition d'aménagement du règlement. Celui qui est en vigueur actuellement a fait ses preuves et il n'est pas vraiment contestable. Mais il y a toutefois un "détail" qui me chiffonne et que je livre à votre appréciation.

Lorsqu'une énigme apparait vraiment très difficile, comme c'était le cas pour celle-ci, un joueur qui recherche la victoire au classement final du mois, pourrait être tenté de ne pas répondre du tout, pour laisser les plus téméraires prendre le risque de se tromper.

Pour ma part, j'ai sérieusement été tenté de ne pas répondre. Mais le plaisir de jouer l'a emporté sur l'envie de gagner ... Toutefois, il me semble qu'il y aurait un moyen d'aménager le règlement pour permettre à ceux qui le souhaitent de "tenter leur chance" en étant un peu moins pénalisés en cas d'erreur.

Ne pas répondre rapporte un zéro.
Donner une réponse erronée inflige un moins un...

Je comprends qu'on ne veuille pas encourager les erreurs, mais d'un autre coté, si l'erreur est corrigée par le joueur avant la fin de l'énigme, ne pourrait-on pas considérer qu'il a quand même produit un travail de meilleure qualité que celui qui a préféré garder le silence par crainte de se tromper ?

Ma suggestion pour l'avenir, à condition qu'elle ne demande pas un travail supplémentaire de correction, serait donc d'accorder 1 point à un joueur qui aurait commis une erreur dans un premier temps, mais qui l'aurait ensuite réparée avant la fin de l'énigme.

Un joueur a illustré parfaitement mon propos ce mois ci. Il s'agit de nofutur2, qui s'est trompé, mais a ensuite mis un point d'honneur à trouver la bonne réponse. Le voir sanctionné par un -1, alors que nombre de joueurs ont purement et simplement renoncé à tenter d'aller au bout du problème, me semble assez injuste.

Je ne fais pas cette suggestion pour qu'elle ait un effet rétroactif : la regle est la regle et nofutur2 a pris ses risques en toute connaissance de cause. Mais si à l'avenir on pouvait adopter le petit correctif que je propose, j'ai le sentiment qu'on aurait un système à la fois plus juste et plus stimulant, car la crainte de "l'erreur fatale" serait un peu moins paralysante.

Mais j'attends vos commentaires .

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour à tous,

Je proposerais plutôt de donner un point de plus aux gagnants quand il y a moins de 15 réponses au total !

Posté par LeDino LeDino

Pourquoi pas : cela ferait une plus belle "carotte" pour stimuler les joueurs sur une énigme d'apparence difficile.

Mais l'un n'empêche pas l'autre. Que penses-tu de l'aménagement que je propose ?

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Le Dino,

Je ne suis ni pour ni contre. En fait, les énigmes m'intéressent et m'amusent, mais je ne suis pas très motivé par le classement. Et il ne faudrait pas que ça se traduise par un travail supplémentaire (et avec risque d'erreur) pour ceux qui consacrent déjà leur temps à l'intérêt public en nous proposant et en corrigeant ces énigmes ...

Posté par rogerd rogerd

Bonjour à tous!

J'ai découvert un peu tardivement cette énigme fort intéressante (merci à Godefroy).

Je pense pouvoir prouver que, aussi loin qu'on aille (même dans les millions et les milliards) , il n'y a pas de suite de plus de 57 entiers parfaits consécutifs.

Même si l'énigme est close depuis un certain temps, il y a peut-être des mathiliens intéressés par la démonstration? S'ils le désirent, j'essaierai de  rédiger proprement cette preuve.

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour rogerd,

Merci pour ta proposition.
Je pense que plus d'un sera intéressé (moi le premier, qui me suis contenté de le conjecturer après quelques essais infructueux ).

Nous attendons impatiemment ta démonstration.

Posté par rogerd rogerd

Bonsoir Godefroy

En gros (je détaillerai plus tard)

La plus longue sequence  entre 1 et 100 a pour longueur 57

Je m'intéresse aux nombres strictement compris entre deux multiples de 100:
100k<x<100(k+1).
Dans leur écriture en lettres, ils sont tous précédés par le même groupe G de lettres.
J'ai déjà 26 inconnues (a,b,..z) pour mon problème
J'adjoins une inconnue supplementaire, T
qui est : (valeur de G quand on donne une valeur à a,b,..z) -100k .

Je considère 58 équations consécutives, par exemple
x1.a+x2.b+...+x26.z+x27.T=4
...(analogue)            =5
......                   =..
...                      =61 et je montre que ce systeme n'a pas de solution

(je me suis aidé de l'ordinateur)
Il me reste à adapter la méthode au cas où la séquence est à cheval sur un multiple de 100.

Est-ce à-peu-près clair pour l'instant?

Bien amicalement à tous

Posté par rogerd rogerd

Bonjour Godefroy le Hardi

L'énigme étant close et déjà loin dans la liste, j'ai l'impression que peu de mathiliens ont remarqué que nous prolongions la question par: "on ne peut trouver plus de 57 parfaits consécutifs".

Si tu ne t'y opposes pas, je vais poser la question dans le forum "détente".

Comme il ne s'agit pas de l'énigme elle-même mais d'un prolongement,
je pense que cela ne pourra pas être considéré comme du multipost.

Je suis encore en train de peaufiner la réponse.

PS: j'ai oublié de te remercier pour toutes tes belles énigmes!

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour rogerd,

Pas de problème pour moi. Je ne pense pas non plus que cela sera considéré comme du multipost.
Ca offre même l'avantage d'ouvrir la question à un public plus large, qui ne participe pas forcément aux énigmes officielles (surtout celle-ci )

Posté par rogerd rogerd

Bonjour godefroy_lehardi

Je viens de poster la question sur le forum "détente".