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Integrer dérivées partielle

Posté par
decoh 14-01-11 à 12:52

Bonjour,
Je cherche à résoudre le problème suivant: la différentielle totale d'une fonction de 2 variables s'écrit:

\[df\left( {x,y} \right) = \frac{{\partial f\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}dx + \frac{{\partial f\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}}dy\]

Je connais explicitement les dérivées partielles de f par rapport à x et y que je note g et h respectivement:

\[g\left( {x,y} \right) = \frac{{\partial f\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}\\ \\ h\left( {x,y} \right) = \frac{{\partial f\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}}\]

Ma question est comment trouver explicitement la fonction f(x,y) ?

Il faut bien sure intégrer l'expression:
\[\int {df\left( {x,y} \right)}  = \int {\left( {g\left( {x,y} \right)dx + h\left( {x,y} \right)dy} \right)} \]

Mais que vaut alors cet intégrale ?

Par avance merci.

Posté par
Camélia Correcteurre : Integrer dérivées partielle 14-01-11 à 14:07

Bonjour

En effet, ton écriture intégrale ne veut rien dire! De plus, si on se donne les fonctions g et h, rien ne dit qu'elles sont les dérivées partielles d'une fonction f... mais si tu le sais, ça marche de la manière suivante:

Je prends un exemple simple: g(x,y)=y et h(x,y)=x+2y.

Comme \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y, on a f(x,y)=xy+\varphi(y) où \varphi est une fonction dérivable de y (c'est la "constante" d'intégration). Mais alors

\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x+\varphi'(y)=x+2y

donc \varphi(y)=y^2+C où C est une constante.

Donc f(x,y)=xy+y^2+C

Posté par
decohMerci 14-01-11 à 18:40

Donc ça fonctionne bien comme je l'imaginais au départ un grand merci.

Posté par
magoxre : Integrer dérivées partielle 13-08-16 à 03:57

Bonjour,

S'il vous plait, comment intégrer une dérivée partielle d'une fonction a 4 variables (3 coordonnées et le temps), par rapport à une de ces variables, quand celle ci est nulle.

La fonction est elle constante?

Posté par
Recomic35re : Integrer dérivées partielle 13-08-16 à 10:28

Non. Si \dfrac{\partial f}{\partial x} = 0, c'est que f ne dépend pas de x. Mais f dépend a priori des autres variables et n'a aucune raison d'être constante.


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