logo

exercice type bac "limites et continuité" (2)


terminaleexercice type bac "limites et continuité" (2)

#msg3416245#msg3416245 Posté le 16-01-11 à 18:16
Posté par Profilbmarycats bmarycats

bonsoir à tous,

voilà j'ai un petit exercice de maths à faire et je n'y arrive pas bien :

f est la fonction définie sur IR par :
f(x) = (1+x²)

C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal R (O,,).

1/  démontrer que C a un axe de symétrie.

Ma réponse : je sais qu'il faut calculer f(a-x) et f(a+x) et si on trouve que f(a-x) = f(a+x) la droite d'équation x = a est axe de symétrie de la courbe. Sauf que là on ne nous donne pas a et je ne sais pas comment on peut le déterminer en présentant la démarche et le raisonnement comme sur une vraie copie de BAC.
Mais on peut supposer que a = 0 et dans ce cas f(0+x)=f(0-x) et la courbe C admet un axe de symétrie d'équation x=0 (=l'axe des ordonnées)


2/ étudiez les limites de f en + inf et en - inf.

Ma réponse : lim quand x-> +inf 1+x² = +inf
Et lim quand X-> +inf X = +inf  d'où lim x-> +inf (1+x²) = + inf

lim quand x-> -inf 1+x² = +inf
Et lim quand X-> +inf X = +inf  d'où lim x-> -inf (1+x²) = + inf


3/ vérifiez que pour tout réel x, f(x)-x = 1/ (x + (1+x²)

Déduisez en que C a une asymptote oblique d en +inf.
Précisez la position de C par rapport à d.

Ma réponse : f(x)-x = (1+x²) - x = ((1+x²) + x)( (1+x²) - x)/( (1+x²) + x) = 1/ ((1+x²) + x)
Lim quand x -> + inf 1/ ((1+x²) + x)= 0
C admet donc une asymptote oblique d d'équation y = x en +inf.

comme une racine est toujours positive et que l'on travaille sur +inf le dénominateur est strictement positif donc C est au dessus de d en +inf.
par contre je ne sais pas si on doit l'étudier en - inf.

4/ C' est la représentation graphique de la fonction g définie sur IR par g(x) = -f(x).
H est la réunion des courbes C et C'.
Vérifiez que H a pour équation dans R (c'est-à-dire le repère orthonormal R (O,,))
y² - x² = 1

ma réponse : je n'en ai pas et je n'ai aucune idée de comment on fait. J'aimerais bien que l'on m'explique comment faire et aussi ce qu'est une réunion de courbes parce que je ne vois pas du tout à quoi ca ressemble.

5/ on considère un nouveau repère R' (O,,) avec
u = (2)/2(+)
v = (2)/2(-+)

un point M de coordonnées (x,y) dans R a pour coordonnées (X,Y) dans R'.
Exprimez x et y en fonction de X et Y.
Donnez une équation de H dans R'.
Tracez H dans R'.

Ma réponse :
Pour les coordonnées je crois qu'on remplace et par x et y dans les expressions de et et on a :
X = (2)/2(x+y)
Y = (2)/2(-x+y)

Par contre pour la suite je ne sais pas.

Voilà merci d'avance pour vos réponses/critiques/suggestions…
re : exercice type bac "limites et continuité" (2)#msg3417380#msg3417380 Posté le 16-01-11 à 23:54
Posté par ProfilLeHibou LeHibou

Bonjour,

Pour 4 :
y²-x² = 1   courbe H
y² = 1+x²
y = +(1+x²) = f(x), courbe C
ou
x = -(1+x²) = g(x), courbe C'
Donc H = C C'
Publicité

re : exercice type bac "limites et continuité" (2)#msg3419513#msg3419513 Posté le 18-01-11 à 17:40
Posté par Profilbmarycats bmarycats

merci de m'avoir répondu et désolé du retard

je n'ai pas trop compris ce que tu as fait en fait ca me parait trop simple.
si j'ai bien suivi ton raisonnement il fallait montrer que H a pour équation (1+x²) donc l'expression de f(x) ET a pour équation -(1+x²) donc l'expression de g(x).

et aussi c'est juste ce que j'ai fait plus haut ? et encore as tu la réponse à la question 1 du du moins l'explication que je puisse répondre à la question ?

et encore une dernière question : quand on définit une réunion de courbes ça veut bien dire prendre tous les points sur l'une, tous les points sur l'autre et aussi, dans le cas ou elles se croisent, prendre tous les points d'intersection de ces courbes ?

merci encore pour tes réponses.
re : exercice type bac "limites et continuité" (2)#msg3420486#msg3420486 Posté le 19-01-11 à 00:37
Posté par ProfilLeHibou LeHibou

Pour 1), tu as effectivement f(x) = f(-x), donc l'axe Y est axe de symétrie.

La suite est bonne

Pour le reste, c'est effectivement très simple...

Et oui pour ta dernière question sur la réunion de deux courbes.

Et pour 5), tu dois résoudre un système d'inconnues x et y :
x+y = ???
x-y = ???
Je te laisse continuer...
re : exercice type bac "limites et continuité" (2)#msg3421238#msg3421238 Posté le 19-01-11 à 16:14
Posté par Profilbmarycats bmarycats

bonjour et merci pour tes réponses

pour la question 5 pourquoi je dois résoudre ce système ? je veux dire il sort d'où ?
et c'est juste ce que j'ai écrit ?

sinon voici ce que je propose pour la résolution (en suivant tes conseils et en supposant que ce que j'ai écrit pour la 5 est juste) :

X = (2)/2(x+y)
Y = (2)/2(-x+y)

x+y = 2*X/(2)
x-y = - 2*Y/(2)

par soustraction x+y-x+y = 2y  et on a 2*X/(2)+ 2*Y/(2) + (2X + 2Y)/(2)

d'où y = [(2X + 2Y)/(2)] / 2 = (X+Y)/(2)

en remplacant dans x+y = 2*X/(2) y par son expression trouvée plus haut et en isolant x on a x = (X+Y)/(2)

dis moi c'est normal que je trouve la même expression pour x et y ? en tout cas j'espère que j'ai juste.
re : exercice type bac "limites et continuité" (2)#msg3421592#msg3421592 Posté le 19-01-11 à 18:22
Posté par ProfilLeHibou LeHibou

Pour la 5), on va faire autrement.
Le point M est tel que, en égalant ses coordonnées dans les 2 repères :
xi + yj = Xu + Yv
avec, en posant a = 2/2 :
u = a(i+j)
v = a(-i+j)
et donc :
xi + yj = Xa(i+j) + Ya(-i+j)
et en regroupant à droite selon i et j :
xi + yj = a(X-Y)i + a(X+Y)j
et égalant les coefficients de i et j des deux côtés :
x = a(X-Y)
y = a(X+Y)
pour exprimer H dans le nouveau repère, il n'y a plus qu'à se rappeler que dans l'ancien tu as :
x²-y² = 1
et donc, dans le nouveau :
a²(X-Y)²-a²(X+Y)² = 1
développe, simplifie, tu auras une bonne surprise...
re : exercice type bac "limites et continuité" (2)#msg3421949#msg3421949 Posté le 19-01-11 à 19:58
Posté par Profilbmarycats bmarycats

bonsoir

ok alors si j'ai bien compris tout ce que j'ai fait jusqu'à présent est totalement faux, tant pis...

quand je développe puis simplifie a²(X-Y)²-a²(X+Y)² = 1

je trouve, sauf erreur de ma part, -a²4XY = 1 et en remplaçant a on a -2XY = 1

et désolé si tu pensais que j'allais avoir une illumination mais rien ne me saute aux yeux.

et au passage comment peux tu déterminer que " Le point M est tel que, en égalant ses coordonnées dans les 2 repères :
xi + yj = Xu + Yv "

est-ce de l'intelligence pure ou alors tu as une technique parce que moi personnellement jamis je n'aurais trouvé ça.

et aussi ca veut dire quoi égaler les coordonnées d'un point ?
re : exercice type bac "limites et continuité" (2)#msg3422260#msg3422260 Posté le 19-01-11 à 22:13
Posté par ProfilLeHibou LeHibou

Ce que tu avais n'était pas faux, mais c'était l'application mécanique d'une règle mal comprise, et qui t'a amené à une erreur de calcul...

En fait, je me suis mal exprimé, j'aurais dû dire "égaler les représentations vectorielles du point dans les deux repères". Ce n'est pas de l'intelligence pure, c'est la base de la représentation vectorielle : si un point M a les coordonnées (x1,y1) dans un repère (u1,v1) et (x2,y2) dans un repère (u2,v2), alors x1.u1+y1.v1 = x2.u2+y2.v2. C'est le même vecteur OM, exprimé dans deux repères différents.  

Ton développement est correct, mais j'avais une faute. En fait, c'était :
y²-x² = 1
a²(X+Y)²-a²(X-Y)² = 1
4a²XY = 1
2XY = 1
L'étape d'après, c'est d'écrire :
Y = 1/(2X)


Interprétation géométrique de tout ceci : trace sur un même schéma les couples de vecteurs (i,j) et (u,v), tu réaliseras que (u,v) est déduit de (i,j) par une rotation de /4. La courbe H est la même, mais dans la base (i,j) c'est une hyperbole dont les asymptotes sont les deux droites obliques y = x et y = -x. Le changement de repère fait en sorte que les asymptotes, qui sont inclinées de +/-/4 par rapport à OX dans l'ancien repère, deviennent les axes du nouveau repère, d'où la forme simplifiée.

Voir le dessin ci-dessous, en rouge les asymptotes qui sont aussi les axes dans le repère (u,v).

  

exercice type bac  limites et continuité  (2)
re : exercice type bac "limites et continuité" (2)#msg3424496#msg3424496 Posté le 21-01-11 à 21:23
Posté par Profilbmarycats bmarycats

c'est vraiment sympa d'avoir pris le temps de me répondre

j'ai compris en (très) gros tes explications, non pas que tu expliques mal mais c'est moi qui ais du mal à assimiler autant d'infos en même temps.
le truc, c'est que je n'arrive pas à me représenter le changement de repère (quoique ça à la limite ça va car ton dessin est très clair) et plus particulièrement comment on passe des coordonnées d'un repère aux coordonnées d'un autre repère.

j'aimerais cependant te poser (encore ^^ ) des questions :

- "c'était l'application mécanique d'une règle mal comprise, et qui t'a amené à une erreur de calcul..."
cette application mécanique, c'était bien l'idée que j'ai eue de remplacer i par x et j par y dans les expressions de u et v données dans l'énoncé ? et comment aurais-je dû comprendre cette règle, c'est à dire, comment fallait-il faire si je voulais partir du fait de remplacer i par x et j par y dans les expressions de u et v ?

- la formule que tu m'as donnée " x1.u1+y1.v1 = x2.u2+y2.v2 " est-elle applicable à tous les repères et pour n'importe quel point d'un repère ?
De plus, est-elle au programme de terminale (ou alors cela aurait-il dû être vu plus tôt) ?
et si j'écris cette formule dans un sujet de BAC, puis-je l'écrire telle quelle ? je veux dire sans démontrer quoi que ce soit avant ?

- enfin, pour en revenir aux questions de l'exercice, l'équation de H dans R' c'est donc Y = 1/(2X) (comme tu l'as écrit) mais je me rends compte que les expressions de x et de y en fonction de X et Y me sont toujours inconnues puisque tu n'y a pas répondu et puisque je ne sais pas le faire seul (étant donné que ce que j'ai fait est faux )
pourrais tu alors me donner ces expressions ?

merci d'avance
re : exercice type bac "limites et continuité" (2)#msg3424748#msg3424748 Posté le 22-01-11 à 01:09
Posté par ProfilLeHibou LeHibou

Citation :
- "c'était l'application mécanique d'une règle mal comprise, et qui t'a amené à une erreur de calcul..."
cette application mécanique, c'était bien l'idée que j'ai eue de remplacer i par x et j par y dans les expressions de u et v données dans l'énoncé ? et comment aurais-je dû comprendre cette règle, c'est à dire, comment fallait-il faire si je voulais partir du fait de remplacer i par x et j par y dans les expressions de u et v ?


Remplacer i par x et j par y n'a pas de sens. i et j sont des vecteurs, x et y sont des coordonnées dans un repère. Tu ne peux remplacer un objet mathématique par un autre objet de même nature - ou alors c'est une "recette de cuisine" que je ne connais pas.

Citation :
- la formule que tu m'as donnée " x1.u1+y1.v1 = x2.u2+y2.v2 " est-elle applicable à tous les repères et pour n'importe quel point d'un repère ?
OUI

De plus, est-elle au programme de terminale (ou alors cela aurait-il dû être vu plus tôt) ?
DESOLE, JE NE SAIS PAS, POUR MOI C'EST A PEINE UNE FORMULE, PRESQUE L'ENONCE D'UNE EVIDENCE

et si j'écris cette formule dans un sujet de BAC, puis-je l'écrire telle quelle ? je veux dire sans démontrer quoi que ce soit avant ?
JE PENSE QUE OUI, MAIS IL FAUT VERIFIER AVEC LE COURS ET PEUT-ETRE LE PROF


Citation :
- enfin, pour en revenir aux questions de l'exercice, l'équation de H dans R' c'est donc Y = 1/(2X) (comme tu l'as écrit) mais je me rends compte que les expressions de x et de y en fonction de X et Y me sont toujours inconnues puisque tu n'y a pas répondu et puisque je ne sais pas le faire seul (étant donné que ce que j'ai fait est faux )
pourrais tu alors me donner ces expressions ?

Je l'ai déjà fait dans le post du 19 à 18h22, je te les recopie :
x = a(X-Y)
y = a(X+Y)
avec a = 2/2
re : exercice type bac "limites et continuité" (2)#msg3426827#msg3426827 Posté le 23-01-11 à 10:36
Posté par Profilbmarycats bmarycats

merci à nouveau pour tes réponses et ta patience

cette fois c'est bon j'ai définitivement tout compris à cet exercice notamment grâce à ton dernier post
je pense que je saurai refaire maintenant et je t'en suis très reconnaissant !!
re : exercice type bac "limites et continuité" (2)#msg3426855#msg3426855 Posté le 23-01-11 à 10:49
Posté par ProfilLeHibou LeHibou

Je t'en prie... Et bon courage !
LeHibou

exercice type bac  limites et continuité  (2)

Répondre à ce sujet

réservé Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster
attention Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

  • Ce topic

    imprimer Imprimer
    réduire la tailleRéduire   /   agrandir la tailleAgrandir

    Pour plus d'options, connection connectez vous !
  • Fiches de maths

    * fonctions en terminale
    3 fiches de mathématiques sur "fonctions" en terminale disponibles.


maths - prof de maths - cours particuliers haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2014