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Niveau première
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Loi des tangente

Posté par
pasbois
22-01-11 à 00:10

Bonjour à tous et merci d'avance de votre aide!

Je dois prouver la relation suivante dans le triangle illustré plus bas à l'aide de développement algébrique.

[(a-b)/2]/[(a+b)/2] = tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2]

Je peux utiliser n'importe qu'elle méthode, j'en ai déjà essayer plusieurs mais je n'aboutis pas!

Loi des tangente

Posté par
dhalte
re : Loi des tangente 22-01-11 à 00:34

Une manière bien compliquée d'exprimer que a sin(B)=b sin(A)

Posté par
pasbois
re : Loi des tangente 22-01-11 à 03:51

Peux-tu m'expliquer!?

Posté par
Priam
re : Loi des tangente 22-01-11 à 10:04

Effectivement, si tu développes le second membre pour faire apparaître les sinus et cosinus des mêmes angles, puis des angles A et B, tu aboutis à la relation indiquée par dhalte.

Posté par
dhalte
re : Loi des tangente 22-01-11 à 10:35

Et comme je te sens très perdu, et que tu n'as pas cherché à donner tes propres pistes de recherche, je vais te donner une démonstration. Accroche-toi
Loi des tangente

Petits rappels :
3$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)
 \\ \sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)
 \\ \tan(\varphi)=\frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}

Maintenant, la hauteur h dans le triangle :
3$h=b\sin(\alpha)
 \\ h=a\sin(\beta)

D'où la relation dont je parlais :
3$a\sin(\beta)=b\sin(\alpha)

Et ça accélère. Cherche toi-même les calculs intermédiaires avant de venir quémander plus de détails.

5$a\sin(\beta)=b\sin(\alpha)

5$a\sin(\frac{\alpha+\beta}2-\frac{\alpha-\beta}2)=b\sin(\frac{\alpha+\beta}2+\frac{\alpha-\beta}2)

5$a\(\sin(\frac{\alpha+\beta}2)\cos(\frac{\alpha-\beta}2)-\cos(\frac{\alpha+\beta}2)\sin(\frac{\alpha-\beta}2)\)=b\(\sin(\frac{\alpha+\beta}2)\cos(\frac{\alpha-\beta}2)+\cos(\frac{\alpha+\beta}2)\sin(\frac{\alpha-\beta}2)\)

5$(a-b)\sin(\frac{\alpha+\beta}2)\cos(\frac{\alpha-\beta}2)=(a+b)\sin(\frac{\alpha-\beta}2)\cos(\frac{\alpha+\beta}2)

5$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\sin(\frac{\alpha-\beta}2)\cos(\frac{\alpha+\beta}2)}{\sin(\frac{\alpha+\beta}2)\cos(\frac{\alpha-\beta}2)}

5$\frac{\,\frac{a-b}2\,}{\,\frac{a+b}2\,}=\frac{\,\frac{\sin(\frac{\alpha-\beta}2)}{\cos(\frac{\alpha-\beta}2)}\,}{\,\frac{\sin(\frac{\alpha+\beta}2)}{\cos(\frac{\alpha+\beta}2)}\,}

5$\frac{\,\frac{a-b}2\,}{\,\frac{a+b}2\,}=\frac{\tan(\frac{\alpha-\beta}2)}{\tan(\frac{\alpha+\beta}2)}

Posté par
pasbois
re : Loi des tangente 22-01-11 à 14:24

Merci beaucoup. J'aurais une dernière question à vous soumettre.

Est-il vrai d'affirmer que : (a-b)/(a+b)=tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2] ?

Voilà mon raisonnement :

[(a-b)/2]/[(a+b)/2] = [(a-b)/2)]*[2/(a+b)]

les 2 s'annulent donc il en reste : (a-b)/(a+b) ???

Merci!!!

Posté par
dhalte
re : Loi des tangente 22-01-11 à 14:32

Félicitations,
je vois qu'arrivé en Première, tu maitrises parfaitement les règles de base du calcul des fractions.
J'imagine ton mal de crâne quand tu auras dépiauté mon propre calcul.

Citation :
Cherche toi-même les calculs intermédiaires avant de venir quémander plus de détails.


C'est exactement à ça que je pensais quand j'écrivais cette remarque.

Posté par
pasbois
re : Loi des tangente 22-01-11 à 14:42

Peut-on aussi en déduire : (a-b)/(a+b)=tan[(A-B)/2]*cotan[(a+b)/2] ??

Posté par
dhalte
re : Loi des tangente 22-01-11 à 15:00


En cherchant bien, on pourra même en déduire que 1=1



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