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Niveau seconde
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Fonctions + Géométrie ... :/

Posté par
Strawberry95
24-01-11 à 13:36

Bonjour!

J'ai un petit problème avec mon devoir maison de mathématiques.
Voici l'énoncé :

ABC est un triangle rectangle tel que AB = 3 BC = 4.
Les points D, E et F appartiennent respectivement aux segments [AB],[AC] et [BC].
BDEF est un triangle rectangle.
Où faut-il placer le point E pour que la longueur DF soit minimal ?

Fonctions + Géométrie ... :/

Merci d'avance! =)

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 13:50

Bonjour,

Comment par choisir opportunément une inconnue x.
Puis exprimer DF en fonction de x.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 13:52

Par exemple, pose AE = x.

En utilisant le théorème de Thalès, exprime DE en fonction de x.

En utilisant le théorème de Thalès, exprime EF en fonction de x.

Déduis-en l'expression de DF² en fonction de x.

Posté par
Strawberry95
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 14:15

DE en fonction de x :
AE/AC = DE/BC = AD/AB  donc X/5 = DE/4 = AD/3
DE = Xx4/5
   = 4X/5


EF en fonction de x :
AE/AC = BF/BC = EF/AB donc X/5 = BF/4 = EF/3
EF = Xx3/5
   = 3X/5

DF² = DE² + EF²
    = (4X/5) + (3X/5)
    = 7X/5
    = ...
    

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 14:16

Attention, pour "EF en fonction de x", tu utilises mal le théorème de Thalès.

Posté par
Strawberry95
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 14:21

CE/CA = CF/CB = Ehttps://www.ilemaths.net/sujet-fonctions-geometrie-404621.html#msg3429980F/AB
CE/5 = CF/4 = EF/3

Euh...à part ça je vois pas. =S

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 14:26

OK.
CE/5 = EF/3
donc EF = 3.CE/5
Reste à exprimer CE en fonction de x. Ce n'est pas bien dur.

Posté par
Strawberry95
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 14:31

CE = 5 - X
Donc EF = 3.5-X/5

DF² = DE² + EF²
DF² = (4X/5) + (15X/5)
DF  = 19X/5

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 14:33

Je ne comprends pas ton "EF = 3.5-X/5"
EF est égal à 3*(5-x)/5

La suite du calcul (DF²) est fausse. Où est passé le "5-x" ?

Posté par
Strawberry95
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 14:35

Oups' j'ai oublié de mettre au carré!

DF² = (4X/5)² + (15X/5)²
    = 16X²/25 + 225X²/25
DF  = 241X²/25

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 14:37

Je ne comprends toujours pas.
EF = 3*(5-x)/5
Comment passes-tu à EF² = (15x/5)² ?

Posté par
Strawberry95
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 14:41

Désolé, le point voulait dire fois.
. = *

3 . 5-X/5 = 3 * 5-X/5
J'avais oublié les parenthèses donc maintenant avec les parenthèses : 3*(5-X)/5
EF = 3*(5-X)/5
EF = 15-3X/5

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 14:43

Attention, il manque des parenthèses dans la dernière ligne.
EF = (15-3x)/5

Finalement, quelle expression de DF² en fonction de x trouves-tu ?

Posté par
Strawberry95
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 14:50

Ah oui merci!

DF² = (4X/5)² + ((15-3x)/5)²
    = 16X²/25 + ((15-3X)²/25)

Il faut que je développe (15-3x)² là, non?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 14:51

Développe, mets sur le même dénominateur, etc... jusqu'à avoir une expression propre.

Posté par
Strawberry95
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 15:12

16X²/25 + (225-90X+9X²)/25
16X² + 225-90X+9X²/25
25X²+225+90X /25

à partir de là je bloque et je ne suis pas sûre que le calcul soit fini.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 15:16

Je n'ai pas vérifié ton calcul.
Apparemment, tu peux un peu simplifier.
Puis trouve le minimum (c'est un trinôme du second degré).

Posté par
Strawberry95
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 15:22

25x²+45*5-90X/5*5

25X²+45-90X/5

Par contre, j'ai pas encore appris le trinôme du second degré

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 15:26

La première ligne est fausse.
Il manque encore des parenthèses.
DF² = (25x²-90x+45*5)/(5*5)
Continue en simplifiant numérateur et dénominateur par 5.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 15:43

Tu peux plutôt en rester à :
DF² = ( 25x² - 90x + 225 ) / 25
Tu reconnais dans la parenthèse le début d'une identité remarquable :
DF² = ( (5x)² - 2*5x*9 + 225 ) / 25
DF² = ( (5x)² - 2*5x*9 + 9² - 9² + 225 ) / 25
DF² = ( (5x-9)² - 9² + 225 ) / 25
DF² = ( (5x-9)² + 144 ) / 25
Un carré est toujours positif.
Donc DF² est minimum quand ce carré est nul, c'est-à-dire quand x = 9/5.
Sauf erreur.

Posté par
Strawberry95
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 15:44

J'ai déjà simplifié numérateur et dénominateur.

(25X²+45-90X) / 5   => J'ai supprimé le chiffre 5 en haut et en bas
(25X²+45-30X²) /5   => 90X = 30X²
(-5X²+45) /5

Posté par
Strawberry95
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 15:45

Mais où faut-il placer le point E dans ce cas?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 15:47

Non, non.
Quand tu simplifies par 5, il faut diviser tous les termes du numérateur par 5, pas uniquement celui du milieu !
Nouvelle erreur dans la ligne d'en-dessous : tu écris que 90x = 30x², c'est-à-dire que x = 3. Rien ne te permet de dire cela !

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 15:49

Citation :
Mais où faut-il placer le point E dans ce cas?

Rappelle-toi ce que représente x.

Posté par
Strawberry95
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 15:50

(5X²+45-18X) / 5

Voilà j'ai tout divisé par 5! =)

Posté par
Strawberry95
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 15:53

Ah oui, d'accord!
x représente AE. Donc DF est minimum à 9/5 donc C'est ici que ce trouve le point E!

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 15:54

OK avec ta division par 5.

Posté par
Strawberry95
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 16:00

Merci beaucoup!!

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 24-01-11 à 21:00

(réalisé avec Geogebra)

Fonctions + Géométrie ... :/

Posté par
Strawberry95
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 25-01-11 à 04:18

Merci aussi pour le graphique! Normalement, j'ai compris ^^

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 25-01-11 à 10:10

Je t'en prie.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Fonctions + Géométrie ... :/ 01-04-14 à 22:34

Une version interactive et dynamique de l'image ci-dessus est disponible au bout du lien suivant : http://www.geogebratube.org/student/m102599
(déplacer le point E à la souris et la figure s'adapte automatiquement)



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