propriétés des triangles

Posté par hajmbark hajmbark

Bonjour.

Je suis professeur certifié de sciences physiques, je passe le capes de mathématiques. J'ai quelques questions concernant des démonstrations:
- comment démontrer que les hauteurs d'un triangle quelconque sont concourrantes ?
- idem pour les médianes, les médiatrices, les bissectrices.
- comment démontrer ce théorème: "si on joint un point d'un cercle aux extrémités d'un diamètre, on obtient un triangle rectangle en ce point".
Je sais qu'on peut démontrer tout cela en utilisant la géométrié analytique (dans un repère orthonormé-produits scalaires...), c'est plutôt une démonstration de géométrie pure qui m'intéresse. J'enseigne en lycée, et je suis très pris en ce moment par les "TP bac", raison pour laquelle je n'ai pas trop le temps de chercher.
Si un internaute peut m'aider (le début des démonstrations me suffirait), je le remercie par avance très sincèrement.

Posté par infophile infophile

Bonjour hajmbark

Je ne suis pas très bien placé pour te réponse mais si ca peut t'aider, j'ai eu un DM récemment qui vise à démontrer que les hauteurs d'un quadrilatère convexe sont concourrantes...

Kevin

Posté par Bloomie (invité)

bon j'ai une réponse pour toi en géométrie pure pour le cercle circonscrit:
si tu considères un diametre AB et un troisieme point C sur ton cercle de centre O alors tu définis deux triangles isocèles OAC etOBC isocèles en O
(ils ont deux cotés valant le rayon de ton cercle)

si tu appelles alors   et les angles de bases de ces triangles  alors la somme des angles dans le grand triangle ANC donne : 2() +2 () = 180
or l'angle dont tu cherches a montrer qu'il est droit vaut + donc il vaut 180/2 soit 90 degrés

fais un dessin tu verras

Posté par Bloomie (invité)

PS: j'ADORE LA PHYSIQUE, il n'y en a pas assez sur ce site...

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

slt


juste HS ... ton pseudo me rappel quelqu'un


@+ sur l' _ald_

Posté par Bloomie (invité)

pat94 = bloomie

Posté par mimick (invité)

--->H_aldnoer

ca y est le topic de nightmare refait surface
a croire qu'il est inoubliable!!

mickael

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

...

ah je vois now


@+ sur l' _ald_

Posté par Bloomie (invité)

tant que jord n'est pas la je tiens a signaler que bloomie est mon nom de plume depuis tres longtemps et quil me l'avait volé. je reprends ici mes droits, n'en déplaise a nightmare qui est quand meme de cinq ans mon cadet, donc faut pas déconner

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

ouh le petit voleur ... c pas bien jord

attention !



@+ sur l' _ald_

Posté par rene38 rene38

Bonjour hajmbark
De tête et très vite :
- un point sur une médiatrice est équidistant des extrémités du segment et réciproquement.
- un point sur une bissectrice est équidistant des côtés de l'angle et réciproquement.
- hauteurs : on trace la parallèle à chacun des côtés du triangle passant par le sommet opposé.
On obtient un nouveau (grand) triangle et on démontre que les hauteurs du "petit" sont les médiatrices du "grand".

Posté par Inca (invité)

Bonjour !

Pour les médianes en géométrie pure :

Préliminaire : le théoreme du trapeze complet

Soit ABCD un trapeze non aplati de base (AB) et (CD) qui n'est ni un parallélogramme , ni un parallélogramme "croisé"

Soit I milieu de [AB]
Soit J "     "   [CD]
Soit E le point d'intersection de (AD) et (BC) et F celui de (AC) et (BD)

But : I, J, E et F alignés

On utilise le théoreme de thales dans tous les sens et on y arrive ( je le mettrais si nécessaire mais c'est pas le sujet du topic )


Dans la suite de la démonstration : On considere A, B et C trois points non alignés, et I, J et K les milieux respectifs de [BC],[AC] et [AB].

But 1 : 2 médianes sur trois sont toujours sécantes .

* Comme I et J sont les milieux respectifs de [BC],[AC] alors, par le théoreme des milieux, (AB) // (IJ) et 1/2AB = IJ

* On suppose (AI) et (BJ) parallèles . Comme (AB) // (IJ), ABJI est un parallélogramme.
D'où AB=IJ.

* On a donc  1/2AB = AB . Or, comme A B , on a AB 0 . D'où 1 = 1/2, ce qui est absurde.

* Ainsi, (AI) et (BJ) sécantes. On appelle G leur point d'intersection.


But 2 G (CK)


* On considere donc le trapeze IJAB . On est dans les hypotheses du théoreme du trapeze comlet car A, B et C sont non alignés. On a donc K, G et C alignés .

Voila !