La "big" somme.

Posté par J-P J-P

Soit la somme: 1³ + 2³ + 3³ + ... + 1000002³

Quel est le chiffre des unités de cette somme ?
-----
Bonne chance à tous.

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Réponse : 9

Merci pour l'énigme,

Philoux

Posté par otto otto

Salut,
je dirais que c'est un 9.
Maintenant je n'y ai pas réfléchi dans les détails et c'est peut être un piège dans lequel il ne fallait pas tomber.
A+

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Le détail
0^3 se termine par 0
1^3 : 1
2^3 : 8
3^3 : 7
4^3 : 4
5^3 : 5
6^3 : 6
7^3 : 3
8^3 : 2
9^3 : 9

Donc une somme de dizaine complète, se termine par 0+1+8+7+4+5+6+3+2+9=Somme(1à9)=9.(9+1)/2=45
donc par 5

1000002 est composé d'un certain nombre pair de dizaines plus 1000001 plus 1000002
le nombre pair de dizaine fournira 0 comme chiffre final (5 fois un nombre par se termine par 0)
1000001^3 se termine par 1 comme 1^3
1000002^3 se termine par 8 comme 2^3

donc la somme se termine par 1+8=9

Merci pour l'énigme (sans erreur de recopie cette fois )
A moins d'une erreur de raisonnement !

Philoux

Posté par derby (invité)

j'essaie

Posté par pac (invité)

Bonjour,

Je trouve 9.

Mon raisonnement:
résultat classique 1³+2³+...+1000002³=(1+2+...+1000002)²=(1000002*1000003)²/4

Le chiffre des unités de 1000002² est 4, celui de 1000003² est 9 donc les deux premiers chiffres de (1000002*1000003)² est 36 que l'on divise par 4, on obtient 9.

Pac

Posté par papanoel (invité)

l'unité du nombre au cube détermine l'unité du résultat:
respectivement pour 0 a 9: 0,1,8,7,4,5,6,3,2,9
dans 1000002 il y a dc 100000 fois la somme de tous ces chiffres soit l'unité égal a zéro donc cela revient a faire la somme de 1+8 pour les derniers cubes finissant par 1 et 2:

l'unité est  9

Posté par Severus (invité)

Hello,

Comme a comme chiffre des unités 5 et que 1000000 est multiple de 20. aura comme chiffre des unités 0.

Donc aura comme chiffre des untiés  .

* image externe expirée *
Severus

Posté par Razibuszouzou (invité)

Si N est congru à E modulo 10, alors N au cube est congru à E au cube modulo 10.
En d'autres termes, en écriture décimale, le cube de N se termine toujours comme son dernier chiffre élevé au cube. Les derniers chiffres des cubes des nombres entiers suivent ainsi un cycle de 10 en 10 :

Tous les nombres se terminant par 1 ont leur cube qui se termine par 1
Tous les nombres se terminant par 2 ont leur cube qui se termine par 8
Tous les nombres se terminant par 3 ont leur cube qui se termine par 7
Tous les nombres se terminant par 4 ont leur cube qui se termine par 4
Tous les nombres se terminant par 5 ont leur cube qui se termine par 5
Tous les nombres se terminant par 6 ont leur cube qui se termine par 6
Tous les nombres se terminant par 7 ont leur cube qui se termine par 3
Tous les nombres se terminant par 8 ont leur cube qui se termine par 2
Tous les nombres se terminant par 9 ont leur cube qui se termine par 9
Tous les nombres se terminant par 0 ont leur cube qui se termine par 0

La somme des cubes d'une dizaine de nombres consécutifs se termine donc comme
1+8+7+4+5+6+3+2+9 = 45. La somme de 10 cubes consécutifs se termine par 5.

Or dans 1 000 002, il y a 100 000 dizaines et 2 unités.
La somme des 100 000 premières dizaines de cubes se termine par 0
La "big somme" se termine donc comme la somme de 1 et 2 au cube, c'est à dire par 1 + 8 = 9

Le chiffre des unités est 9

Posté par otto otto

Il faut remarquer une chose:

1^3=1  6^3=6
2^3=8  7^3=3
3^3=7  8^3=2
4^3=4  9^3=9
5^3=5  0^3=0

dans Z/10Z

Notamment si on fait la somme

1^3+2^3+3^3+...+10^3
=
1+8+7+4+5+6+3+2+9+0
=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9
=5

Pour arriver jusqu'à 10^3 on le fait 1 fois
la somme vaut 5.
pour arriver jusqu'à 20^3 on le fait 2 fois
la somme vaut 5+5=0 mod 10
pour arriver jusqu'à n*10^3 on le fait n fois
Donc pour arriver jusqu'à 100000^3=(10*1000)^3=10^3*1000^3
c'est à dire un nombre pair de fois
la somme vaut 0 mod 10.
il suffit d'ajouter 1000001^3+100002^3=1^3+2^3 mod 10
=1+8=9
et c'est terminé.

Ca c'est une méthode.
Une autre méthode est de voir que
1^3+2^3+...+n^=(n(n+1)/2)² mod 10

Notamment ici n=100002
et on trouve toujours 9.

Posté par otto otto

dans ma dernière réponse il manque un zéro, le nombre est 1000002 et non 100002 mais ca marche pareil.
D'ailleurs si on fait la somme jusqu'à
102 1002 10002 100002 .... on trouve le même résultat

Posté par BABA72 (invité)

bonjour,

je ne fais que passer...

alors, perso je propose :

en faisant des paquets de 10 (nb avec unités de 1 à 0) et on trouve
comme unité de la somme : 5.
On va jusqu'à 1000002, donc 100000 paquets, donc la somme finit par 0.
restent 1000001 au cube et 1000002 au cube, somme qui finit par 1 et 8.

ma réponse est donc 9.

Chat haut
BABA

Posté par paulo paulo

bonjour,

d'apres moi :

LE TOTAL EST : 9

a plus tard

PAULO

Posté par astroximinus (invité)

Salut ,

soit y un naturel et x un naturel compris entre 0 et 10 .
on a : (10y+x)^3= 1000y^3+300xy^2+30yx^2+x^3
donc le chiffre des unités de (10y+x)^3 est celui de x^3 .
or 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3=2025
donc le chiffre des unites de cette somme est 5 et celle de la somme 10^3+11^3+12^3...+19^3 est 5 . donc le chiffre des unites de la somme 1^3+2^3...+19^3 est 0 car 5+5=10
donc le chiffre des unites de la somme 1^3+2^3...+1000002^3 vaut 9 car celui de 1000000*5/10 est 0 . donc le chiffre des unites de la BIG somme est celui de la somme 1^3+2^3 et vaut donc 9 .

Posté par ludolecho (invité)

bonjour,

Le chiffre des unités de cette somme sera 9.

au revoir

Posté par Lopez Lopez

le chiffre des unités de cette somme est 9

Posté par deep blue (invité)

On remarque que les 10 nombres allant de (1)³ à 9³ ont pour chiffres des unités les 10 chiffres de 0 à 9.
La somme des nombres de (n*10)³ à [(n+1)*10 -1]³ est donc égale à 45 et donc se termine par 5.
La somme de 1³ à (10*n)³ se termine donc par 5 si n est impair et par 0 si n est pair.
La somme de 1³ à 1000000³ se termine donc par 0
La somme de 1³ à 1000002³se termine donc par 1+8, donc par 9.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

La somme des unités des nombres de 1³ à 10³est égale à 45 (somme des chiffres de 0 à 9).
Donc la somme des nombres de 1³ à 1000000³ se termine par le chiffre des unités de 100000*5, soit 0.
La somme des nombres de 1³ à 1000002³ se termine donc par 1+8 =9

Posté par Flo_64 Flo_64

si l'on somme 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 car la somme de l'unité des terme de 1 à 9 puissance 3 correspond à cette somme
et cela vaut 45
de 1 à 100 cela fait 10*45=450 etc jusqu'à 1000000
donc en fait l'unité c'est
la somme de 1 et de 8 pour 2^3 de 1000002 dernier terme au cube
et 1+8=9
donc la somme des unités est égal à 9

Posté par eldamat (invité)

le chiffre des unités de cette somme est 9.

Posté par infophile infophile

Bonjour

Réponse en image

Merci pour l'enigme J-P

_{PS: Si l'image ne passe pas, ma réponse est}

Posté par franz franz



Donc


Le chiffre des unités est

Posté par franz franz



Donc


Le chiffre des unités est

Posté par mauricette mauricette

je trouve 9 ...

Posté par Yalcin (invité)

BOnjour

On a S_n=1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2

Or n ici se termine par 2 , donc on a 1*3 à la fin, donc c'est 3 l'unité de la somme S_1000002.

Posté par zboubi (invité)

Salut !

Le chiffre des unités de cette somme est : 9.

En effet, le (big)résultat de cette (big)somme est :
250002500009250015000009

Posté par EmGiPy (invité)

Hello

sachant que la somme des cubes s'écrit ainsi:



En remplaçant n par la valeur appropriée (1000002) on trouve pour unité 9...

++ EmGiPy ++

Posté par cqfd67 cqfd67

salut,

au pif 9

merci pour 'l enigme

Posté par lolo5959 lolo5959

La somme faisant 250002500009250015000009, le chiffre des unités est donc  
Merci qui? merci Maple:P

Posté par snakmorph (invité)

le résultat de la somme est
250002500009250015000009

d'ou le chiffre des unité de la somme est 9

Posté par pinotte (invité)

Le chiffre des unités est le 9.

Posté par lyonnais lyonnais

salut J-P et bonjour à tous :

Alors moi je trouve que :



Ici n = 1 000 002 je trouve donc finalement en faisant le calcul à la main que le dernier chiffre de cette somme est un :



mais je peux me romper ...

@+
lyonnais

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

Avec la somme des 10 premiers entiers, on obtient les dix chiffres unités possibles.
De plus, leur somme se termine par 5 (elle vaut 55).
Par ailleurs, on montre aisément que si alors le dernier chiffre de est celui de .
Donc, par paquet de dix, toutes les sommes suivantes se terminent aussi par 5.

Enfin, avec pair.
Ainsi, la somme des cubes jusqu'à 1000000 se termine par 0 (un nombre pair de fois 5)
et la somme proposée se termine par le même chiffre que la somme .

J'en conclus que le chiffre des unités de la somme indiquée est .

Posté par borneo borneo

neuf

Posté par Myka (invité)

L'unité des 20 premiers nombres est 0 et tout les multiples de vingt ont une somme des unités des nombres précédents de zéro (je ne le prouve pas)

donc 1 000 000 / 20 = 50 000 et il reste seulement 2 nombres :
1 000 001³ et 1 000 002³

Donc l'unité du nombre final est égale a l'unité de 1³ + 2³ = 9

Donc l'unité final est 9

Posté par doc_78 doc_78

Bonsoir,
Comme le chiffre des unités de la somme des 10 premiers cubes des chiffres de 1 à 10 est 5, on peut déduire que jusqu'à 10 000 000, le chiffre des unités de la somme sera 0. Il reste donc à additionner un chiffre qui finit par 1 et un chiffre qui finit par 8...
Le chiffre des unités sera 9

Posté par Ptit_belge Ptit_belge

Bonjour,

Le chiffre des unités est 9 car 1³ +...+ 1000002³ = (1 +...+ 1000002)²
et 1 +...+ 1000002 = 1000002*1000003/2

Posté par visiteur (invité)

Bonjour
  Je pense que c'est un exercice sur les congruences

   Soit n un entier naturel
  si n = u (mod 10), alors u est le chiffre des unités de n
on sait aussi que
   S=1^3+2^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2 (se démontre par récurrence) dans notre cas n=1000002

  n=2 mod 10
n+1 = 3 mod 10
n(n+1)=6 mod 10
n(n+1)/2 = 3 ou 8 mod10
  on ne peut pas trancher car S=9 ou 4 mod10

S est il un nombre pair ?

parité de :  s=n(n+1)/2

si n=4k  s est pair
si n=4k+1 s est impair
si n=4k+2 s est impair
si n=4k+3 s est pair

n=1000002 donc n=2 mod 4, s est impair et S aussi, on en déduit que
S=9 mod 10

cordialement

Posté par raulic (invité)

Je dirais 9

Posté par wiat (invité)

Bonjour
afin de montrer que je n'ai pas résolu ce problème avec l'aide de l'outil informatique, je vais tenter de justifier ma réponse :
tous les nombres qui se terminent par 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, une fois élevés au carré, donnent un résultat qui se termine respectivement par 0,1,8,7,4,5,6,3,2,9. Si l'on fait la somme de ces valeurs, on obtient un résultat qui se termine par 5. Dans 1 000 002, il y a 100 000 paquets de 10 (et oui, je vous apprend quelquechose là!). Et comme 100 000*5 se termine par 0, le dernier chiffre de la somme totale ne dépend que de 1^3+2^3. 1^3+2^3=9. La grande somme se termine donc par 9.

Posté par Fabien (invité)

Si ma tête ne m'a pas laché, cette somme vaut:

250002500009250015000009

Donc le chiffre des unités est 9

Posté par paysan77 (invité)

je dirai 9 ?
tout les 9 cela donne 45.
¨1^3 ...+0^3 donne au unité 45
cela ajouté 100000fois donne 4500000 + 1^3+2^3 donne un 9 a la fin

Posté par Fractal Fractal

Le dernier chiffre est 9.

Posté par soizic (invité)

Sans être vraiment sûre mais je vais dire que le chiffre des unité est un 1

Posté par chrystelou (invité)





Le chiffre des unités de cette somme sera donc un

Posté par Yalcin (invité)

vous donnez quand la réponse ?

Posté par CEL (invité)

on calcule dabord le chiffre des unités des premiers termes
1^3 -> 1
2^3->8
3^3->7
4^3->4
5^3->5
6^3->6
7^3->3
8^3->2
9^3->9
la somme de tous ces resultas fait 5.jusqua 100^3 on obtiendrait 0 ;..jusqua 1000000^3 on obtient 0,il reste donc les unités de 1000001^3 et 1000002^3 a ajouter,soit 1 + 8 ce qui vaut 9

Posté par kyrandia (invité)

le chiffre des unités de cette somme vaut 9

Posté par aris20 (invité)

jusqu'a 1000002 il y a (1000002-2)/10+1 nombre dont le chiffre des unités est 2 c'est a dire 100001 nombres dont le chiffre des unités est 2 c'est le meme nombre pour les nombres dont le chiffre des unités est 1 pour tous les autres nombres dont le chiffre des unités est soit 0 , 3,4,5,6,7,8,9 le nombre est 100000
les nombres dont le chiffre des unites est 2 ; au cube leur chiffre des unités est 8 , on aura donc 100001 nombres dont le chiffre des unités est  8 soit 100001*8 ;le chiffre des unités de ce nombre est 8
on fait la meme chose pour les 100001 nombres dont le chiffre des unités est 1 on trouve que le chiffres des unités de 100001*1 est 1
pour les autres leur chiffre desunités dans la somme 1*1*1+2*2*2....
EST 0 car 100000 multipliée par n'importe quelle nombre donne 0 pour chiffre des unités le chiffre des unites de la somme
1*1*1+2*2*2+......+1000002*1000002*1000002 est donc 8+1 soit 9

donc le chiffre des unités de la somme1*1*1+2*2*2+......+1000002*1000002*1000002  est  9