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Equivalent et DL
Bonjour à tous.
J'ai pour exercice de trouver certains DL et equivalents de fonctions assez chiante 
.
1) Un équvalent simple quand x tend vers 
/2 de
f(x) = sin(x) + cos(2x).
2) Un équivalent quand x tend vers +oo de la fonction
g(x) = xsin(1/(x[sup]2+1))[/sup] - 1
3) Un équivalent quand x tend vers +oo de la fonction
h(x) = ln(x2+1) - ln(2x2- 1)/(ln(x3+1) - ln(x3-1))
Bonjour,
rôôô c'est pas aussi rébarbatif que ça quand même!! 
1) Fais un à l'ordre
de ta fonction en
, sa partie principale en sera un éqiivalent simple.
Justement peut tu m'expliquer ?
c'est le point noir du cours!
Coment trouver un équivalent d'une fonction quelconque 
Bon, tu connais sans doute le DL en des fonctions de référence, comme sinus et cosinus?
Là tu es en donc on fait un petit changement de variable, du type
, avec du coup u qui tend vers 0.
Vas-y, qu'obtiens-tu en remplaçant tous les de la fonction par leur expression en fonction de
Ouh là, c'est faux!
Il faut remplacer x, donc on aura , ok? Et que vaut cette dernière expression (formule de trigo) ?
Pour l'ordre, on verra après.
Justement je voit pas pourquoi on pose ce u qui doit tendre vers 0
euh on esssaye d'utiliser le DL en 0 avc u et ca nous donnu un DL en pi/2 c'est ca ?
Ben on veut un équivalent simple, donc avec le moins de termes possibles!
Il te reste à combiner tes deux DL pour n'en faire qu'un à présent, puis remplacer les u pour revenir à x.
Ca marche avec l'ordre 1, j'ai le terme en puissance 4 qui n'est plus là mais il me reste les u² donc c'est bon
En fait, toute partie principale , tronquée à tout degré, est un équivalent.
Mais là oui, on va prendre le DL d'ordre , qui est, qui est... ah ben tu l'as pas encore écrit!
Ca marche avec l'ordre 1, j'ai le terme en puissance 4 qui n'est plus là mais il me reste les u² donc c'est bon
-> Dis donc, tu es bien sûr d'avoir compris ce qu'est l'ordre d'un DL?? C'est la plus haute puissance de x qui apparaît dans la partie principale du DL!
Donc toi pour l'instant, tu m'as fait des DL à l'ordre 4, pas 2!
OUla ... il y a un problème.
Dans mon cours un DL a l'ordre n de cos est :
cos(x) = 1 - x²/2 + ... + (-1)nx2n/(2n)! + o(x2n+1)
Donc à l'ordre n j'obtient des puissance d'ordre 2n+1
Pareil ici non ? a l'ordre 2 j'obtient des puissance d'ordre 5 mais cela reste un DL de cos en 0 d'ordre 2
Ah non, c'est faux! Ca, c'est un DL en d'ordre
!
Donc ici limite-toi à l'ordre (aux termes de degrés inférieurs ou égaux à
).
Mais je comprend pas wikipdia se trompe ?
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_limit%C3%A9
Tu as raison ils se sont trompé sur wikipedia
Donc je fait la différence et j'obtient
3/2(x - /2)2.
Ce qui es la bonne réponse
Donc je garde le monome de plus f
Non non, c'est la bonne définition sur Wiki (heureusement pour un truc aussi simple en même temps!), pourquoi?
Ok ta réponse est correcte.
Donc je garde le monome de plus faible degré ?
-> Non, tu prends tout jusqu'au terme de plus haut degré, c'est un équivalent de ta fonction au voisinage du point considéré.
Parce que descend vers le bas de la page.
Ils donnent des DL de fonctions usuelle a l'ordre n et ils font apparaitre des puissance 2n+1. Je comprends pas
Et puis si je garde tout alors c'est pas ce que j'ai trouvé il manque le reste..
Parce que descend vers le bas de la page.
Ils donnent des DL de fonctions usuelle a l'ordre n et ils font apparaitre des puissance 2n+1. Je comprends pas
-> Ah oui ça y est je comprends ce que tu veux dire! En effet, les fonctions paires comme cosinus n'ont dans leur DL que des termes de puissances paires, et donc on donne toujours un DL d'ordre 2n (et même 2n+1 puisque le terme suivant est nul)
du cosinus.
Mais du coup, c'est vrai qu'ils ont oublié de le signaler: ils ont écrit à tort qu'ils donnaient tous les DL usuels à l'ordre n alors qu'il n'en est rien. Tu peux donc corriger cette (petite) faute sur Wikipedia, à juste titre.
Plus sérieusement, ton prof a peut-être fait la même coquille dans son cours, et tu as mal interprété.
Et puis si je garde tout alors c'est pas ce que j'ai trouvé il manque le reste..
-> Mais non: si tu gardes "tout" (avec les degrés
A ce compte, tu peux aussi aller jusqu'à l'ordre
Ahhh tout es clair a présent
Merci beaucoup a toi.
Je comprend aussi j'ai gardé que le premier terme qui est moins précis mais le plus simple.
Merci
Donc la 2) j' réussi en posant u = 1/x
et j'ai trouvé comme équivalent : lnx/x²
Par contre la 3 je bloque. Je pose u = 1/x encore
Je t'en prie.
J'ai un peu cherché pour la troisième mais je ne parviens pas à simplifier le résultat obtenu.
Tu es sûr qu'il n'y a pas de parenthèses au numérateur, aussi?
Hum! Ce serait mille fois plus simple avec des parenthèses au numérateur, décidément!!! 
Je vais finir par croire que tu les as vraiment oubliées!
Effectivement il y a des parenthese
Desolé! ce sont les 2 logarithme qui sont divisés par les 2 autre logarithmes
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