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etude de fonction logaritme

Posté par
matheux59 28-02-11 à 13:59

L'exercice se comporte en 2 parties dans la premiere partie j'ai etudié les variation de f(x) 2x²+2-lnx
Voici la partie B

Soit la fonction numerique g definie sur ]0;+&[ par g(x)=2x-1-((1-lnx)/x)

Soit C la courbe représentative de g dans le plan muni d'un repére orthogonal (O, I , J ) d'unités graphique : 3cm sur laxe (O,I) et 2 cm sur l'axe (O; J)

1) Etudier kes limites de g aux bornes de son ensemble de définition
2) en utilisant les résultats trouvés a la partie A etudier les variations de G dresser le tableau de variation de g
(dans la partie A la fonction etait f(x)=2x²+2-lnx j'ai trouver que la fonction etait decroissante sur 0;1/2 et croissante sur 1/2 ; +& )
3)Montrer que la courbe C admet deux asymptotes dont l'une D d'equation cartésiennes Y=2x-1
4)Etudier la position relative de la courbe C et de la droite D
5)a) trouver la derivée de la fonction h definie sur ]0,+&[ par h(x)=(lnx)²
        En deduire une primitive F de la fonction Z definie sur ]0; +&[ par Z(x)=(ln-1)/x
    B)Soit k un nombre réel strictement superieur a 1 . Calculer l'integrale suivante :
somme de 1 a K , (lnx-1)/x   , dx

Pour quelle valeur de k a ton : somme de 1 a k (lnx-1)/x  , dx =4

Posté par
matheux59re : etude de fonction logaritme 28-02-11 à 14:01

pour la 1ere question je trouve que la lim de g(x) lorsque x tend vers 0 et -&
mais pour la limite en +& je tombe sur une forme indeterminée ...
Merci de votre aide

Posté par
matheux59re : etude de fonction logaritme 28-02-11 à 14:07

euh si je transforme g(x) en 2x-1-(1/x)-(lnx/x)
lim 2x-1 = +&

lim 1/x = 0

lim ln/x = 0+

donc la limite de g(x) lorsque x tend vers +& serait + inf?

Posté par
Labore : etude de fonction logaritme 28-02-11 à 14:12

Bonjour,
OK pour lim en +∞
OK pour 2)
3)pour l'asymptote oblique y=2x-1
montre que lim de g(x)-(2x-1) =0 quand x tend vers +∞
4 ) tu étudies le signe de g(x)-(2x-1)
si g(x)-(2x-1)>0 alors g(x)> 2x-1  et la courbe est au dessus de l'asymptote
5) h(x)=(ln(x))^2
tu appliques la formule (u^2)'=2u'u

Citation :
Z(x)=(ln-1)/x
à vérifier

Posté par
matheux59re : etude de fonction logaritme 28-02-11 à 14:44

pour les limite jai lorsque x tend vers 0 = - &
                    lorsque x tend vers +& = + &

pour la question 3 je retrouve bien 0 en calculant la limite de -(1-lnx)/x

qui est egal a
lim -1/x =0
lim lnx/x = 0+

pour la question 4 je bloque
je fais g(x)-D = (-1-lnx)/x
je doit calculer la deriver ensuite ?
si oui j'ai trouvé -lnx / x² et que cette derivée s'annuler en 1 car ln1 =O
mais je ne sais pas faire le reste

Posté par
Labore : etude de fonction logaritme 28-02-11 à 17:13

attention aux signes...
g(x)-(2x-1)=-(\fr{1-ln(x)}{x})=\fr{-1+ln(x)}{x} \\
signe de
\fr{-1+ln(x)}{x} \\ x>0 \\ -1+ln(x)>0 \\ ln(x)>1 \\ x>e \\ \fr{-1+ln(x)}{x}>0
d'où g(x)>2x-1 pour x>e
la courbe est au dessus de l'asymptote
5)a) trouver la dérivée de la fonction h définie sur ]0,+∞[ par h(x)=(lnx)²
h'(x)=\fr{2ln(x)}{x}
        En deduire une primitive F de la fonction Z definie sur ]0; +∞[ par Z(x)=(ln-1)/x???

Posté par
matheux59re : etude de fonction logaritme 28-02-11 à 21:08

Z(x)=(lnx-1)/x désolé

Posté par
Labore : etude de fonction logaritme 28-02-11 à 22:03

  en écrivant Z(x) ainsi :
Z(x)=\fr{ln(x)}{x}-\fr{1}{x}
tu peux trouver une primitive

Posté par
matheux59re : etude de fonction logaritme 02-03-11 à 22:19

ln(x)-ln(x) ?

Posté par
matheux59re : etude de fonction logaritme 02-03-11 à 22:20

f(x) = ln(x).1/x - 1/x
F' = lnx²-ln(x) ?

Posté par
Labore : etude de fonction logaritme 03-03-11 à 08:48

corrige une erreur
ok pour \fr{1}{x}==>ln(x)
h(x)=(ln(x))^2==> h'(x)=\red 2\fr{ln(x)}{x}
d'où \fr{ln(x)}{x} ==>

Posté par
matheux59re : etude de fonction logaritme 03-03-11 à 10:51

1/2.(ln(x))^2

Posté par
Labore : etude de fonction logaritme 03-03-11 à 11:04

Posté par
matheux59re : etude de fonction logaritme 03-03-11 à 12:49

maintenant la derniere question ...
1/2.(ln(k))^2-1/2.(ln(1))^2 ?

Posté par
matheux59re : etude de fonction logaritme 03-03-11 à 18:03

sa ferais 1/2.(ln(k))
car ln1 vaut 0

Posté par
matheux59re : etude de fonction logaritme 03-03-11 à 18:04

1/2.(ln(k))² pardon

Posté par
Labore : etude de fonction logaritme 03-03-11 à 18:41

\int_1^k\fr{ln(x-1)}{x}dx=[\fr{1}{2}(ln(x))^2-ln(x)]_1^k=4
posons lnk=X
0,5X^2-X-4=0
X_1=4 \\ e^{lnk}=k=e^4
l'autre solution ne convient pas ...(aire négative...)
  remarque d'où sort ce calcul d'aire car aucun rapport avec la fonction g???

Posté par
matheux59re : etude de fonction logaritme 03-03-11 à 20:28

okay d'accord merci
je ne comprend pas la derniere ligne aussi e lnk =k ?
je ne sais pas du tout c'est l'exercice comme ca ...

Posté par
Labore : etude de fonction logaritme 03-03-11 à 20:36

on cherche k
or X=ln(k)
X=4=ln(k)
4=ln(k) et
e^4=e^{ln(k)}=k

Posté par
matheux59re : etude de fonction logaritme 03-03-11 à 21:33

ok Merci
par contre pour la question
2) en utilisant les résultats trouvés a la partie A etudier les variations de G dresser le tableau de variation de g
(dans la partie A la fonction etait f(x)=2x²+2-lnx j'ai trouver que la fonction etait decroissante sur 0;1/2 et croissante sur 1/2 ; +& )
je ne vois pas comment utiliser les reponse de la question A

Posté par
Labore : etude de fonction logaritme 03-03-11 à 22:26

la dérivée de g est de même signe que f(x)
montre que f(x)>0
calcule son minimum en x=1/2

Posté par
matheux59re : etude de fonction logaritme 05-03-11 à 14:16

comment je sais que la dérivée de g est de même signe que f(x) ?
f(1/2)=2.1/2²+2-ln1/2
=5/2-ln1/2>0

Posté par
Labore : etude de fonction logaritme 05-03-11 à 16:21

Citation :
comment je sais que la dérivée de g est de même signe que f(x) ?

car   [g'(x)=\fr{f(x)}{x^2}

Posté par
matheux59re : etude de fonction logaritme 05-03-11 à 17:10

d'accord merci

Posté par
Labore : etude de fonction logaritme 05-03-11 à 17:33


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