exo barycentre

Posté par marocB marocB

Soient A et B deux points distincts du plan et G barycentre du système de points pondérés:{(A,2);(B,-1)}.
1°)Démontrer que le point A est le milieyu du segment[GB].
2°)Montrer que l'ensemble T des points N tels que NB/NA= racine de 2 est un cercle de centre G dont on précisera le rayon en fonction de AB.
3°)Soit C un point de T et (D) l'ensemble des points M du plan tels que:2MA au carré -MB au carré -MC au carré =0
a) Montrer que le point C appartient à (D).
b)En écrivant vec MA = vec MC + vec CA et vec MB=vec MC+CB,montrer que pour tout point M de (D),on a vec MC.vec CG=0.Déterminez alors l'ensemble (D).

voilà par ou  j'ai commencé mais je bloque
1°)G vérifie:
   2 vec GA- vec GB = vec 0
2 vec GA - (vec GA + vec AB) = vec 0
vec GA + AB = vec 0
vec AG = vec -AB
voila dois-je introduire un point M ?

2°)NB/NA= racine de 2
NB= racine de 2 NA
NB au carré = 2NA au carré
NB au carré - 2NA au carré =0
G barycentre de {(A,1),(B,-2)
ensuite que dois- je faire svp?

Posté par marocB marocB

bonjour à tous merci de m'aider svp je suis en 1 er S et cette année j'ai des difficultés c'est pourquoi je fais appel à vous pour m'éxercer svp merci d'avance de me donner un peu de votre temps

Posté par Priam Priam

2° Ce que tu pourrais faire, c'est créer un point H projeté orthogonal de N sur la droite AB et exprimer NA² et NB² en fonction de NH².

Posté par marocB marocB

merci de ton aide mais je n'ai pas compris ce que vous vouliez dire je dois introduire un point H pour trouverl'ensemble T je ne comprend pas ?

Posté par Priam Priam

As-tu essayé de faire ce que je t'ai conseillé ?

Posté par marocB marocB

mais je n'ai pas compris ce que vous m'avez expliqué?

Posté par dhalte dhalte

priam, mauvaise piste

introduis donc le point G dans ton équation grâce à la relation de Chasles.
Développe et simplifie;

Posté par marocB marocB

ah okok merci donc ça donne ça ou pas?
vec GA- vec 2GB = vec 0
GA-2G(GA+AB)=0
GA+AB=0
AG=AB
c'est tout en vecteur biensur c'est juste?

Posté par dhalte dhalte

l'idée est là, mais il y a 2 erreurs virgule 5 par ligne de calcul.

A part ça, tout va bien.

Posté par marocB marocB

oui mais cela répond à la question demander?

Posté par dhalte dhalte

mais non, puisque je te dis qu'il y a des erreurs de calcul.
corrige d'abord tes erreurs.

Posté par marocB marocB

donc GA-2GB=0
GA-2(GA+AB)=0
-GA+AB=0
-GA=-AB
AG=-AB
cé ça?et merci de m'aider!=)

Posté par dhalte dhalte

tu as un problème sérieux avec l'algèbre

2(a+b), tu le développes et ça donne quoi ?

Posté par marocB marocB

2a + 2b non?

Posté par marocB marocB

ah okok dsl cé:
GA-2GB =O
GA-2(GA+GB)=0
-GA + 2AB =0
-GA= -2AB
AG= -2AB
volà c'est bien ça?

Posté par dhalte dhalte

oui

alors revois calmement ton calcul de

puisque tu connais la règle du développement que je viens de rappeler, il est inconcevable que tu fasses les erreurs de tes précédents messages.

Un peu de sérieux.

Posté par marocB marocB

oui alors 'et AG=2AB
je me suis trompée cette fois c'est juste j'espere

Posté par dhalte dhalte


faux

en plus, c'est du délire complet

Enoncé :
G barycentre de (A,2) , (B,-1)

Définition du barycentre


toi, tu es partie de

pour écrire malgré tout des horreurs dans les calculs qui ont suivi :
les prémisses étaient fausses, les développements étaient faux, le résultat était faux.
La totale.

Bon
Définition du barycentre


Chasles


Développement


Simplification


on rappelle que


Multiplication des deux membres de l'égalité par -1


Ajout de aux deux membres



Simplification






ou encore (c'est peut-être plus visuel) :


C'est une des relations qui caractérisent le milieu A du segment [BG]

Posté par marocB marocB

Ah mais oui merci beaucoup vraimment je suis débile je fais toujours des erreurs d'innatentions ça me bousille tout

Posté par dhalte dhalte

Allez, on attaque NB/NA=2

tu avais bien débuté

et ma remarque précédente :
introduis donc le point G dans ton équation grâce à la relation de Chasles.
était destinée à poursuivre dans cette voie.

Je ne pensais pas qu'on allait passer autant de temps à démontrer que A était milieu de [BG]

Posté par marocB marocB

mdr oui si ça ne te derange pas merci!
alors ça donne:
NB/NA=racine de 2
NB=racine de 2 NA
NB au carré =2NA au carré
NB au carré -2NA au carré =0
donc G barycentre de {(A,-2),(B,1}

Posté par dhalte dhalte

NB/NA=racine de 2
NB=racine de 2 NA
NB au carré =2NA au carré
NB au carré -2NA au carré =0

jusque là, hourra (même si on ne sait pas si tu parles de distances ou de vecteurs)

donc G barycentre de {(A,-2),(B,1}



le donc me laisse sur les fesses.
oui, G est bien défini ainsi, mais qu'est-ce que ça vient faire dans ton raisonnement, à ce moment précis ?

un "donc", ça se justifie. On n'est pas avocat devant une cours de justice, mais en mathématiques.

Posté par marocB marocB

donc ça donne
(NG+GB)au carré -2(NG+GA) au carré =0
c'est ça je peux continuer?

Posté par marocB marocB

ah okok mais je sais pas en cours on a directement dis donc G bary c'est parce que ce sont les coefficients et oui c'est en vecteur mais je trouve pas le signe sur l'ordi

Posté par dhalte dhalte

on dit donc G barycentre quand la relation est effectivement celle d'un barycentre.

mais là tu as des carrés. Il n'y a pas de carrés dans une relation qui définit un barycentre.









Tout ça, c'est vrai avec les distances.

Maintenant, on passe aux vecteurs, en utilisant la relation suivante :

pour tout couple de points U et V, nous avons
: le carré de la longueur UV est égal au produit scalaire du vecteur par lui-même.
D'ailleurs, on note ce produit scalaire d'un vecteur par lui-même sous la forme d'un carré, comme pour les réels, ce qui vous embrouille bien l'esprit...


et c'est tellement important, qu'on a définit la racine carrée de ce produit scalaire comme la norme du vecteur



On repart de


et on passe donc aux vecteurs :



et on introduit G grâce à la relation de Chasles (sans oublier les parenthèses)


Il se trouve que les produits scalaires obéissent à certaines règles de calcul très proches de celles des réels. En particulier les identités remarquables que tu connais. ça tombe bien



devient


On simplifie


or justement
parce que (et là tu peux le dire) G est le barycentre de (A,2),(B-1)

Puisque , alors



Il reste



et comme on a la relation entre produits scalaires et vecteurs


c'est pas fini

il faut que tu trouves combien vaut en fonction de AB.

Posté par marocB marocB

merci pour ton aide alors j'ai continué et ça donne ça :
c'est tous en vecteur sauf pour les carré:
2GA-GB=0
on introduit M
2(MG+GA)au carré - (MG+GB) au carré =0
2(MG au carré+2MG.GA+GA au carré)- MG au carré +2MG.GB + GB au carré=0
2MG au carré + 4MG.GA+2GA au carré - MG au carré +2MG.GB+GB au carré=0
MG au carré + 4MG.(GA+GB)  2GA au carré + GB au carré=0
MG au carré + 2GA au carré +GB au carré =0
calcul de GA et GB
c"est tous en vecteur
GA+GB=0
GA+(GA+AB)=0
2GA+AB=0
2GA= -AB
2AG=AB
aprés je sais pas?

Posté par marocB marocB

je crois je me suis trompéée est-ce que
GB-2GA=0 c'est pareil que 2GA-GB=O c'est en vecteur biensur ?

Posté par dhalte dhalte

Tes efforts sont louables.
Mais mal dirigés.

Résumé des épisodes précédents :
A et B sont deux points donnés, ils ne varient pas, ils sont fixés, constants.

G est défini comme barycentre de (A,2),(B-1)
donc il ne dépend que de A et B qui sont fixés -> G est aussi un point fixé, qui ne varie pas, qui est donc constant.

Ce barycentre vérifie par définition


De cette expression, on en déduit que

Autrement dit : A est le milieu de [GB]

Maintenant on s'intéresse à l'ensemble des points du plan qui vérifient une certaine relation

C'est quoi, ce point N ? C'est ce qu'on appelle "une inconnue", comme le "x" dans les équations.
Il faut trouver une relation qui nous permette de décrire comment trouver tous les points qui vérifient une telle relation.

Dans une équation x+5=0, on a une seule solution, x=-5, terminé

Dans une équation , on va voir qu'on n'a pas une seule solution (même si parfois ça peut arriver, ici ce n'est pas le cas).

L'épisode précédent t'a montré que si N est une solution de cette équation, alors N doit vérifier aussi la relation

Ce sont des distances au carré, pas des vecteurs, je t'ai expliqué comment passer des uns aux autres.

mais cette expression , elle est constante car elle fait intervenir uniquement les points G, A et B qui sont constants, comme je te le rappelais au début de ce message.

Puisque A est le milieu de [GB], alors

GB=2AB
GA=AB
Ce sont des distances !

Et

Finalement,
Ce sont des carrés de distances, pas de vecteurs. On peut alors affirmer que



ou encore

car ce sont des distances, NG=GN

comment interpréter cette relation ?

Le point N est tel que la distance entre N et G est constante, elle vaut

Quels sont tous les points N qui vérifient une telle relation : ils forment le cercle de centre G (ce que l'énoncé voulait nous faire démontrer), et dont le rayon est

Est-ce clair ?

Posté par marocB marocB

merci beaucoup pour toute cette aide  mais je ne comprend pas cette ligne si ça ne te déranges pas de me l'expliquer s4il vous plait
GB au carré - 2 GA au carré = 4AB au carré - 2AB au carré = 2AB au carré
je ne comprends pas cmt vous trouvez ceci et merci encore

Posté par dhalte dhalte

ça me dérange un peu parce que j'aurais préféré que tu le comprennes tout seul...

GB=2AB
GA=AB
Ce sont des distances !

Ca, tu l'as compris ?

GB²=4AB²
GA²=AB²

je ne fais qu'élever au carré les deux expressions ci-dessus
ça va ?

GB²=4AB²
2GA²=2AB² : j'ai multiplié les deux membres de l'égalité GA²=AB² par 2

tu suis ?

Donc dans l'expression GB²-2GA², je remplace GB² par 4AB² et 2GA² par 2AB², et je trouve
GB²-2GA²=4AB²-2AB²

et maintenant, je simplifie 4AB²-2AB² qui devient 2AB²

GB²-2GA²=2AB²

Est-ce si difficile à trouver tout seul ?

Posté par marocB marocB

dmerci et dsl mais j'ai des difficultés mais merci j'ai compris ce que vous m'avez expliquée
pour la question 3 j'ai fais ça pouvez vous me dire si je dois faire ça:
2MA² - MB²-MC²= 0
2(+)-(+)-(+()=0
et je trouve 2GA²+GB²+GC²=0
et je troouve =1/4(+)
je dois faire quoi aprés?merci

Posté par marocB marocB

c'est tous en vecteur
2(MG+GA)²-(MG+GB)²-(MG+GC)²=0
Je trouve 2GA²+GB²+GC²+0
AG=1/4(AB+AC)

Posté par dhalte dhalte

A mon avis, tu ne devrais pas sauter des étapes de calcul.
En tout cas, si tu veux que je t'indique où tu fais des erreurs, j'ai besoin des détails...
et pas de codage du style 2(+)-(+)-(+()=0, s'il te plait

convention :
tu vas noter AB la longueur du segment [AB]
et v(AB) le vecteur

si tu veux de l'aide, si tu veux progresser, détaille et justifie chaque opération un peu compliquée.

Posté par marocB marocB

oui je lé ai mais calcule sur la feuille je n'ai pas sauté les calcules mais je ne sais pas comment vous faites pour mettre en vecteur je ne trouve pas la touche ?

Posté par dhalte dhalte

lis mon message entièrement et pose des questions si tu ne comprends pas certaines de mes propositions.

je t'ai proposé des conventions d'écriture : suis-les pour pouvoir détailler tes calculs

Posté par marocB marocB

2MA²-MB²-MC²=0
2(

Posté par dhalte dhalte

ça progresse dans la maitrise de l'écriture.
mais je n'en te demande pas tant.

écris donc v(AB), on comprendra que ça signifie un vecteur et on fera la différence avec les longueurs.

Je ne sais pas comment te le dire pour que tu comprennes.

Posté par marocB marocB

2MA²-MB²-MC²=0
2(v(MG)+v(GA))² - ( v(MG)+v(GB))² - (v(MG+v(GC))²=0
2MG²+4v(MG).v(GA)+2GA²- MG²+2v(MG).v(GB)+GB²-MG²+2v(MG).v(GC)+GC²=0
2v(MG).(v(2GA)+v(GB)+v(GC))+2GA²+GB²+GC²=0
2GA²+GB²+GC²=0
Calcule de GA et GB
2 v(GA)+(v(GA)+v(AB))+( v(GA)+v(AC))=O
4v(GA)+v(AB)+v(AC)=0
4v(GA)=-v(AB)-v(AC)
v(AG)=1/4(v(AB)+v(AC))

Posté par dhalte dhalte

première erreur : erreur de signe

tu as développé -(v(MG)+v(GB))² et ça a donné -MG²+2v(MG)v(GB)-MG² : erreur de signe du double produit;
corrige
(et évidemment, c'est la même erreur pour le suivant -(MG+GC)²

Posté par marocB marocB

okok mercie j'ai rectifié
2MA²-MB²-MC²=0
2(v(MG)+v(GA))²-(v(MG)+v(GB))²-(v(MG)+v(GC))²=0
2MG²+4v(MG).v(GA)+2GA²-MG²-2v(MG).v(GB)-GB²-MG²-2v(MG).v(GC)-GC²=0
2GA²-GB²-GC²=0
calcule de GA et GB
2v(GA)-(v(GA+v(AB))-(v(GA)=v(AC))=v(0)
v(AB)+v(AC)=0

Posté par dhalte dhalte

2MG²+4v(MG).v(GA)+2GA²-MG²-2v(MG).v(GB)-GB²-MG²-2v(MG).v(GC)-GC²=0
ok
2GA²-GB²-GC²=0
tu es repassé aux distances ?
de toutes façons, c'est erroné, mais comme il n'y a pas les détails de tes calculs...

Posté par marocB marocB

j'ai tous mis c'est juste qe les vecteurs s'annule je sais pas en cour en passe au distance car c'est au carré et

Posté par marocB marocB

mais aprés je developpe pas 2GA²-GB²-GC²

Posté par marocB marocB

je comprends pas ou voulez-vous en venir car en cours en fais comme ça mais cmt voulez-vous que je fasse?

Posté par dhalte dhalte

2MG²+4v(MG).v(GA)+2GA²-MG²-2v(MG).v(GB)-GB²-MG²-2v(MG).v(GC)-GC²=0
ok

mais comment passes-tu à la ligne suivante :
2GA²-GB²-GC²=0

tu dis "en cours on fait comme ça"

mais comment "comme ça" ?

en cours, vous appliquez des règles de calcul qui justifient le passage d'une équation à une autre.
Le prof peut éventuellement appliquer simultanément plusieurs règles de calcul en estimant que vous êtes capable de suivre, il se trompe. En tout cas en ce qui te concerne, mais je suis certain que tu n'es pas le seul

Je vais détailler pour essayer de te faire comprendre qu'on ne sort rien de son chapeau comme le ferait un prestidigitateur :

2MG² + 4v(MG).v(GA) + 2GA² - MG² - 2v(MG).v(GB) - GB² - MG² - 2v(MG).v(GC) - GC²=0
je regroupe les termes MG² en début d'équation (règle dite de la commutativité de l'addition)

2MG² - MG² - MG² + 4v(MG).v(GA) + 2GA² - 2v(MG).v(GB) - GB² - 2v(MG).v(GC) - GC²=0

J'ajoute alors ces termes entre eux, ce qui me donne une somme à 0 (ça, tu l'avais vu)

0 + 4v(MG).v(GA) + 2GA² - 2v(MG).v(GB) - GB² - 2v(MG).v(GC) - GC²=0

4v(MG).v(GA) + 2GA² - 2v(MG).v(GB) - GB² - 2v(MG).v(GC) - GC²=0

je regroupe les termes ayant un facteur en commun : 2v(MG) en début de l'équation (toujours la commutativité)

2*2v(MG).v(GA) - 2v(MG).v(GB) - 2v(MG).v(GC) + 2GA² - GB² - GC²=0

Je factorise ce facteur commun

2v(MG)(2v(GA) - v(GB) - v(GC)) + 2GA² - GB² - GC²=0

Je fais intervenir la définition de G, barycentre de (A,2),(B-1), qui fait que
2v(GA)-v(GB)=v(0)
ce qui simplifie (mais n'annule pas) les termes entre parenthèses

2v(MG)(v(0) - v(GC)) + 2GA² - GB² - GC²=0

2v(MG)(-v(GC)) + 2GA² - GB² - GC²=0

-2v(MG)v(GC) + 2GA² - GB² - GC²=0

Pourquoi chez toi n'arrive-t-on pas à la même conclusion ?
Et ce n'est pas fini.

Posté par marocB marocB

ah merci mais oui j'ai trouvé exactement ça la derniere ligne mais ma prof nous à di que -2v(MG).v(GC) ça s'annulé c'est pourquoi on garde que 2GA²-GB²-GC² non?

Posté par dhalte dhalte

il vous a peut-être dit ça un jour, mais pas lors de cet exercice.
ou s'il l'a vraiment fait, il s'est trompé.

et ton sens critique devrait rester en éveil.
Même s'il l'a dit, il doit y avoir une justification mathématique à cela.

Pour quelle raison aurait-on -2v(MG).v(GC)=0 ?
Peux-tu me dire dans quel cas cela se présente ? quand le produit scalaire de deux vecteurs est-il nul ? comment l'interprète-t-on géométriquement ?

Si ton prof est farceur, et qu'il te dit un jour d'aller te jeter dans le fleuve parce que c'est comme ça, j'espère que tu réfléchiras avant de l'écouter.

Posté par marocB marocB

ah d'accord ça y est je viens de comprendre pourquoi ça ne s'annule pas merci maintenant je doit dévelloper ceci?

Posté par marocB marocB

dans tous les exercice qu'on a vu ça s'annulé c'est pour ça on avait pas vu le cas ou ça ne s'annulé pas dsl =(

Posté par dhalte dhalte

non, tu dois laisser tomber le calcul actuel et relire ton énoncé : il te demande de suivre un cheminement différent.
Ce n'est pas que le tien est une impasse, il peut mener à la solution. On y reviendra si tu veux. Mais là, il est toujours préférable de suivre d'abord l'énoncé.

donc ton énoncé disait :
En écrivant v(MA) = v(MC)+v(CA) et v(MB)=v(MC)+v(CB),
montrer que pour tout point M de (D),on a v(MC).v(CG)=0

je répète : avec G, on aurait aussi pu arriver à ce résultat. Simplement, lorsque l'énoncé donne une indication, il est préférable de la suivre.