Petite énigme de clemclem

Posté par clemclem clemclem

Bonjour à tous et à toutes,

Trouvez tous les couples d'entiers strictement positifs (x;y) tels que :



Bonne chance
Fin de l'énigme mardi soir

A plus

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Je trouve :

S = { (1,1) ; (27,3) ; (16,2) }

peut-être, y en a-t-il d'autres...

Philoux

Posté par philoux (invité)

Re

J'ai procédé ainsi :

y²lnx=xlny

je suis parti du fait que si cette équation se resoud avec des entiers, il faut que :
soit lnx = k lny avec k entier
soit lny = k'lnx avec k' entier

cas lnx=klny => x=y^k
y²k=x=y^k
y^k - y²k=0
y²(y^(k-2) - k)=0
y^(k-2)=k
puis j'ai fait varier k=1àn
k=1 => y^(-1)=1 => y=1 ça marche
k=2 =>y^0=2 impo.
k=3 => y=3 ça marche
k=4 => y²=4 => y=2 ça marche
k=5 => y^3=6 non et comme dès cette valeur y sera toujours<2 plus la peine de continuer.

donnons ici les solutions pour ce cas :
k=1 => y=1 et x=y^k=1
k=3 => y=3 et x=y^k=27
k=4 => y=2 et x=y^k=16

cas lny=k'lnx => y=x^k'
y²=k'x => x^(2k')=k'x
x^(2k') - k'x=0
x(x^(2k'-1) - k')=0
x^(2k'-1)=k'
puis j'ai fait varier k'=1àn
k'=1 => x^(1)=1 => x=1 ça marche (déjà trouvé)
k'=2 =>x^3=2 impo. et comme dès cette valeur x sera toujours<2 plus la peine de continuer.

Le premier cas donnait toutes les solutions.

Je ne sais pas si mon raisonnement en as oublié ?

Philoux

Posté par lyonnais lyonnais

salut clemclem et bonjour à tous :

alors :


<=>

<=>

<=>


et là, je prend ma calculatrice, et je regarde les valeurs pour lesquels ça marche ...

J'ai trouvé uniquement 3 couples solutions, mais il y en a peut-être plus : ( 1 ; 1 ) ; ( 16 ; 2 ) ; ( 27 ; 3 )

mais il y en a peut-être plus !

* image externe expirée *

merci pour l'enigme !

lyonnais

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Chapeau Clemclem, ta petite énigme .. pour une "deux étoiles" , je l'ai trouvée costaud !!

Je suppose dans ce problème que 0⁰ n'est pas défini.

Si x=y , on doit avoir x² = x, donc x = y =1  
   Solution évidente

Si x différent de y , en prenant le logarithme, on a  y² ln(x) = xln(y)
1/x *ln(x) = (1/2y²)*ln(y²)
1/x *ln(x) < (1/y²)*ln(y²)
On constate que la fonction 1/x *ln(x) est décroissant pour x>e.
donc x>y²
ln(x)/ln(y)  = x/y² = q rationnel q avec q>1

ln(x)/ln(y)  = q donc x= y^q
x = q*y²=y^q
y(q-2) =q
y = q^(1/(q-2))
x = q*y² = q^(q/(q-2))


Je vais étudier le caractère entier de y

Si q compris entre 1 et 2 (q différent de 2 pour que l'exposant soit défini), l'exposant est négatif, or l'inverse de  q est également rationnel pur dans ce cas.
Si q compris entre 2 et 3(exclus), l'exposant est positif et q est rationnel pur.
Or, il est impossible qu'un nombre rationnel pur élevé à une puissance rationnelle donne un entier.

Si q=3 y = 3 et x =27
Si q=4 y =2 et x = 16
Ensuite la fonction Y = q^(1/(q-2)) étant décroissante et ayant pour limite 1 si q tend vers +l'infini, il n'a plus de possibilités de valeurs entières pour y , donc pour x.

En conclusion les trois seuls couples possibles pour (x,y) sont (1,1), (27,3) et (16,2)

Posté par Severus (invité)

Hello,

Il y a 3 couples possibles:

(1;1)
(16;2)
(27;3)

* image externe expirée *
Severus

Posté par papanoel (invité)

il y a qu une solution (1,1)

PS:je pas bien convaincu ms bon

Posté par borneo borneo

(1,1) (16,2) (27,3)

Posté par deep blue (invité)

J'exclus la solution 0⁰, non définie.
Si x=y , la solution évidente est x=y =1

Si xy, je peux écrire que y²*ln(x) =x*ln(y).
ln(x)/x =ln(y²)/(2*y²).
Je pose r= x/y²= ln(x)/ln(y) avec r rationnel et r>1 (étude de la variation de ln(x)/x décroissante).
J'en déduis que r*y²=y^r.
y = r^1/(r-2) et x= y^r.

Si y entier, x sera donc entier.Comme r>1, y ne peux être entier que si r est entier.
r2
Pour  r=3 y =3 et x=27
et pour r=4 y=2 et x=16
Pour les valeurs supérieurs de r, y sera compris entre 1 et 2 (fonction y(r) décroissante et tend vers 1 si r tend vers ). Donc plus d'autres solutions entières.

Trois couples (x,y) conviennent : (1,1), (16,2) et (27,3).

Posté par kyrandia (invité)

je trouve trois couples :

x=1;y=1
x=16;y=2
x=27;y=3

Posté par Razibuszouzou (invité)

Examinons l'égalité. En gros, nous savons que x élevé à une certaine puissance, doit être égal à y élevé à une autre puissance. Comme x et y sont des entiers, l'égalité n'est possible que si x et y sont eux mêmes puissances d'un autre entier que nous appellerons z. (exemple : 8² = 4³ = 64. Cela n'est possible que parce que 8 et 4 sont des puissances de 2)

On peut donc écrire que x = zⁿ et y = z^m avec n et m premiers entre eux, sinon on change de z.

l'égalité devient alors :

n*z^2m = m*zⁿ

Comme m et n sont premiers entre eux, m et n divisent z. On peut alors ramener cette égalité (je vous passe les détails du raisonnement) au cas où m = 1, c'est à dire z = y et x = yⁿ

L'égalité devient :

n*y² = yⁿ

Essayons en faisant croître les valeurs de n :

-avec n = 1, il faut que y² = y donc y = 1 et x = 1
-avec n = 2, il faut que 2*y² = y² impossible
-avec n = 3, il faut que 3*y² = y³ donc y = 3 et x = 27
-avec n = 4, il faut que 4*y² = y⁴ donc y² = 4 et y = 2 et x = 16

-si n>4, il n'y a pas de solution entière. En effet, posons n = 4 + p
(4 + p)*y² = y^4+p
donc y^2+p = 4 + p aucun y>1 ne convient (la courbe d'équation "puissance (2+p) est au dessus de la droite 4+p)

En définitive, il n'y a que 3 solutions entières :
x = 1 y = 1
x = 16 y = 2
x = 27  y= 3

Posté par wiat (invité)

Voilà, ily a 3 solutions : (1;1) (16;2) et (27;3)
NE me demandez pas de vous le démontrer, c'est juste de l'intuition...

Posté par ShadowLord (invité)

Pour un exercice (...), 2 étoiles me paraît peu

Ceci dit il y a 3 solutions:

(1,1), (16,2), (27,3).

Posté par bigufo bigufo

salut,
j'aimerais bien savoir comment vous allez faire pour trouver les couples autres que [b](1,1)[/b]
merci pour l'énigme

Posté par eldamat (invité)

je trouve 3 couples:
(1;1)
(16;2)
(16;4)

Posté par manpower manpower

Bonjour,

Tout d'abord il y a la solution évidente .
Ensuite, en remarquant que , je cherche une solution de la forme .
On doit avoir soit nécéssairement de la forme , d'où
donc de la forme . Ainsi, on doit avoir . Ce qui donne une unique solution, pour , . D'où .

De la même façon, pour , on arrive à , d'où puis la solution .

On continue, pour , on arrive à l'équation qui n'admet pas de solution entière.

La généralisation conduit à l'équation soit ou .
L'étude de la fonction, , décroissante sur \{2} permet de prouver que si .
Ainsi, les seules solutions possibles sont obtenues pour , et ();
c'est-à-dire les 3 solutions déjà exhibées.

Conclusion: L'équation admet exactement solutions (couples d'entiers strictement positifs) : , et   

Posté par Myka (invité)

(1,1)

Posté par paulo paulo

bonjour,

a mon avis le seul couple d'entier  >0 solution de cette équation est:


                          x=1;y=1


si nous mettons de cote ces solutions on peut developper l'expression de la maniere suivante :



on peut passer en expression logarithmique avec pour restiction x et y different de  1,

ou

ce que l'on peut traduire en prenant k entier >0




le systeme devient :




en faisant la soustraction



y=0 est une solution impossible

et la solution de :

ne sera ja mais un nombre entier

voila ce que j'en pense

a plus tard

PAULO

Posté par Redman Redman

Un seul couple :

x = 1
y = 1

Posté par visiteur (invité)

Bonjour

Il me semble que le traitement de cette équation diophantienne ressemble à
            x^y = y^x
il faut montrer que les solutions rationnelles sont
x = (2+1/n)^(2n+1)
y = (2+1/n)^n

méthode pour trouver :

Posté par chrystelou (invité)

Bonjour,
J'ai trouvé 3 couples de solution :




En espérant qu'il n'en manque pas, à +

Posté par balisto (invité)

x^1/x = y^1/y[sup]2[/sup]

donc il ne doit y avoir que le couple (1,1) qui valide l'égalité

Posté par bonjour bonjour

Bonjour,

Jolie équation
si x^n=y^m alors x divise y, de même y divise x donc x=y=1

Enfin je crois...

Posté par franz franz

J'en ai trouvé 3

Posté par BABA72 (invité)

salut,

je sens la mauvaise blague, mais je me lance qd mm...

je ne trouve que (1;1)...

At the next one,
BABA

Posté par clemclem clemclem

Bravo à tous

Les couples attendus étaients : (1;1) , (16;2) et (27;3)

A plus

Posté par infophile infophile

Trop balèze pour moi

2 étoiles ? J'en aurais mis 3 ...

Posté par infophile infophile

Ca doit être dur à inventer ce genre d'enigme !!!

Chapeau clemclem

Posté par clemclem clemclem

Bonjour infophile,

Le nombre d'étoile est déterminé par le conseil des sages .
En ce qui concerne l'invention de l'énigme : elle est pas de moi

A plus

Posté par Razibuszouzou (invité)

Youpi ! J'avais une petite appréhension pour celle-là car je n'étais pas sûr à 100% de mon raisonnement. Ouf.

Allez, pour fêter ça j'offre une tournée génrale.

Et bravo à tous les concepteurs d'énigmes. Ce mois-ci on a été gâtés. Si ça vous intéresse j'en ai quelques unes dans mes fonds de tiroir. Si je réussis à remettre la main dessus (elles doivent être cachées entre mes chaussettes trouées et mes vieux disques vinyls) je vous les sortirai un jour.

Posté par philoux (invité)

Félicitations Razibuszouzou

Jolie performance pour une si courte présence !

Congratulations !

Philoux

Posté par lyonnais lyonnais

félicitation kevin : comme prévu, tu as fini ( encore ) devant moi ce mois-ci !

félicitations à tout les participants et bonnes énigmes pour le mois prochain lol

PS : Razibuszouzou, tu es impressionant : 47 énigmes réussi sur 47 tentées ( sur les deux derniers mois = 100 % de réussite

BRAVO
lyonnais

Posté par clemclem clemclem

Bonjour Razibuszouzou,

En ce qui concerne tes énigmes : tu peux les envoyer à Tom_Pascal (ou à d'autres posteurs d'énigmes) si tu veux qu'elle paraissent sur le forum énigme.

Ton énigme sera alors étudiée par le conseil des sages

A plus

Posté par infophile infophile

J'ai crée un topic spécial Bravo lol

>>Lyonnais

Mais le classement n'est pas très représentatif, toi tu as participé à plus d'enigme, moi j'ai sélectionné ! Par exemple celle-ci je n'ai pas eu d'idée ! Je joue la prudence

Je te félicite !

Mais je me repète, je l'ai dit dans le topic crée

Posté par manpower manpower

Bonsoir,
En effet, pas si simple pour une deux étoiles (la participation et le pourcentage en attestent).
Sinon, juste histoire de chipoter, la solution "non définie" est exclue d'emblée par l'énoncé. Mais il me semble quand même que par convention (j'en ai le souvenir ferme mais je ne me souviens pas de l'explication).

Enfin, bravo à Razibuszouzou et deep blue pour leur sans faute.

Posté par infophile infophile

Rohlala , je m'aperçois que mon topic ne sert strictement à rien

Donc je le redis ici :

Félicitations à tous les participants sans exception

Et bien sur un sans faute établi par Razibuszouzou, deep blue et manpower !

Posté par wiat (invité)

Oui félicitations à Razibuszouzou Tu vois, finalement, ça ne se perd pas les maths!!!
Pour la difficulté de l'énigme, d'après Shadowlord, c'est du niveau olympiades internationales de mathématiques... (enfin, bien sûr, pour les OIM, il faut fournir la démonstration, et la faire sans l'aide de la calculette...)

Posté par borneo borneo

Moins dur que "en retard". Moi, j'ai fait ça sur excel, en essayant tous les couples, tout bêtement. N'importe qui aurait dû y arriver, avec un peu de patience. Merci excel

Posté par wiat (invité)

TOUS les couples ??? Bin dis donc, tu as vraiment beaucoup de patientes pour aller jusqu'à l'infini... Je suis d'ailleurs très étonnée que tu ais déjà fini...

Posté par EmGiPy (invité)

Je ne veux pas faire le rapporteur mais eldamat n'a pas mis les bons couples :P:P

Je ne veux en aucun cas en subir les représailles, non elda ne me tue pas si tu perds ton smiley lol

++ EmGiPy ++

Posté par infophile infophile

C'est pas beau de rapporter

Kevin

Posté par wiat (invité)

Surtout qd on a l'habitude de ne pas toujours être soi-même bien honnête!
Wiat la rancunière

Posté par infophile infophile

>>wiat

Je suppose que tu parles de ce topic:



Kevin

Posté par lolo5959 lolo5959

Mais je suis sur que ses couples se sont changés tout seul après qu'il ait obteu son smiley,donc c'est pas sa faute,ils ont juste été perturbés par le smiley de clemclem

Posté par infophile infophile



Mais non c'est pas vraiment ça , en fait ce qui s'est passé c'est qu'elle a fait une erreur de frappe...

Vous comprenez (16;4) et (27;3) c'est quasi identique

Je me déclare avocat d'elda , et mes arguments sont valables

Posté par infophile infophile

De plus pour rester terre à terre avec les maths :

(16;4) --> (27;3)

D'après le théorème d'infophile, la transformation reste la même à partir du moment où l'on additionne un nombre identique au extrémité des chiffres des couples, soit :

(1+1 . 6+1 ; 4 ) --> (27; 3+1)

La démonstration confirme l'hypotèse du départ, en restant très perspicace, elda a simplement voulu attirer l'attention sur le résultat surprenant qu'elle obtient en nous bluffant grâce à ce théorème !

Quand dites-vous les juris ?

Bon ok je sors ...

Posté par lolo5959 lolo5959

->infophile

Les miens aussi ils sont valables, non mais

Posté par wiat (invité)

En effet Kevin... Mais je fais aussi allusion à celui où monsieur se permet de te faire une réflexion à ce sujet (tu comprends sans doute ce que je veux dire...)
Ceci dit, je ne suis pas là pour faire la morale, et je tiens à préciser que quand j'avais posté ce message, je ne connaissait pas du tout ce forum, et je pensais que seul celui qui organisait les énigmes recevait notre réponse (et oui, j'avias pas tout compris!! ). Car mon but n'était pas de faire étalage sur un forum public, mais juste de faire en sorte qu'Emgipy arrête ce genre de manip.. Enfin, ce n'est pas pour autant que je suis fière de l'avoir dénoncé (j'étais pas mal en colère de savoir qu'on m'avait gentiment prise pour une andouille...)
Enfin bon, errare humanus est, donc je propose le pardon génral (dans lequel j'entends que la petite faute de frappe d'Eldamat soit oubliée )

Posté par infophile infophile

mdr !



Oui c'est vrai c'est fort probable également, après réflexion

Kevin

Posté par infophile infophile

>>wiat

Ah oui j'avais oublié, mais bon ce n'est rien comme tu dis

Mais elda mérite tout de même son smiley, 2/3 réponses !

Soit indulgent clemclem si tu nous lis

Kevin