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Calculer une distance sur un graphique.
Bonjour,
donc voici l'énoncé d'un exo pour Dm, j'ai fait toutes les questions sauf la dernière qui est facultative, même si elle n'est pas obligatoire j'aimerais bien comprendre comment la résoudre car je n'arrive à rien je ne sais pas quoi faire.
Donc je vous donne tous les énoncés :
On considère les fonctions f & g respectivement définies sur R par :
f(x): -1/2x² + 3x + 7/2 et g(x)= 3/2x -3/2
On appelle Cf et Cg leurs courbes représentatives dans un repère (O,I,J)
1)a. Montrer que f(x)=-1/2 (x-3)² +8 (FAIT)
b.Construire les deux courbes (FAIT)
c.Résoudre graphiquement les équations ou inéquations suivantes:
f(x)=3,5 / f(x)≥3,5 / f(x)≤g(x) / -6≤g(x)≤ 6
(FAIT)
Et voilà la questions facultative :
3)Dans cette question vous pouvez prendre toutes les initiatives que vous voulez ...
Soit x∈[-2:5], M le point de Cf d'abscisse x et N le point de Cg d'abcisse x.
La distance MN est alors l'écart entre les deux courbes.
Prouver que MN admet un maximum. Quel est ce maximum? En quelle valeur de x est-il atteint?
Argumentez soigneusement vos réponses.
Merci d'avance de votre aide.
Donc f(x)-g(x)=
-1/2x² + 3x + 7/2 - 3/2x -3/2
-1/2x² + 4/2 + 6/2x - 3/2x
-1/2x² + 3/2x + 4/2
c'est bon?
C'est -1/2x² + 3x + 7/2 - 3/2x + 3/2
= -1/2x² + 3/2x + 5 Ceci est l'équation d'une parabole
Que sais-tu de l'aspect d'une parabole ax²+bx+c quand le coefficient de x² (a) est négatif ?
Très bien ! Elle présente donc un maximum , cela signifie que notre différence atteindra pour une certaine valeur de x un maximum . C'est ce qu'il fallait montrer.
Sais-tu pour quelle valeur ax²+bx+c arrive à un extremum ? ( maximum ou minimum )
L'extremum est sur le point (3;8), pour la fonction f ... c'est ça que vous me demandez ou j'ai mal compris?
De façon générale , le max (ou le min) se produit quand x = -b/2a
Ici on a MN = -1/2x² + 3/2x + 5 donc le maximum est en x = (-3/2)/2*(-1/2) = 3/2
Pour calculer ce maximum , on remplace dans -1/2x² + 3/2x + 5 , x par 3/2
-1/2x² + 3/2x + 5 , x par 3/2
-1/2 x (3/2)² + 3/2 x 3/2 + 5
-1/2 x 9/4 + 9/4 + 40/8
-9/8 + 18/8 + 40/8
49/8
j'ai du faire une grosse erreur de calcul là ...
Ah d'accord, je pensais que ça tomberait sur un compte rond.
Par contre, je n'ai pas compris, quand vous faites cela:
x = (-3/2)/2*(-1/2) = 3/2
Tu peux aussi faire la vérification suivante
f(1,5) = -1/2*1,5² + 3*1,5 + 7/2 = 6,875
g(1,5) = 3/2*1,5 -3/2 = 0,75
f(1,5)- g(1,5) = 6,125
On peut essayer de trouver une identité remarquable en factorisant le début de l'expression
-1/2x² + 3/2x + 5
= -1/2 ( x² -3x - 10) ( la partie soulignée peut être considérée comme le début de la 2ème identité remarquable )
= -1/2 [(x-3/2)²-9/4 +5 ]
= -1/2 [(x-3/2)² +11/4]
Cette quantité est maximale quand x-3/2 = 0 donc x = 3/2
D'accord, je comprend mieux comme ça.
En tout cas, merci beaucoup d'avoir prit du temps pour m'expliquer c'est très gentil.
Bonne soirée.
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