exercices matrices

Posté par nutella-02 nutella-02

Bonjour,
Voilà mon énoncé, j'ai déjà fait quelques questions, pouvez-vous me dire si elles sont exactes et pouvez-vous me débloquer pour certaines ? Merci

Une certaine espèce de scarabée ne vit au maximum que 3 ans. Une année 0, on considère une famille de ces scarabées, composée de trois groupes d'âges : x sont dans leur première année; y dans leur deuxième et z dans leur troisième (avec x,y et z entiers naturels). On note cette composition par le vecteur-ligne X0 = (x;y;z).

1. Un premier modèle
- une moitié des scarabées meurt dans sa première année;
- parmi les survivants, les deux-tiers meurent durant leur deuxième année;
- ceux qui restent la troisième année, donnent naissance à 6 scarabées avant de mourir.

a) Expliquer pourquoi au bout d'un an la composition de la famille est donnée par le vecteur-ligne
X1 = (6z; 1/2x; 1/3y)

Au bout d'un an, 6 scarabées sont nés lorsque leur parents sont morts; 1/2 scarabée est mort et 1/3 scarabée survit puisque 2/3 des scarabées survivants de la 1ère année meurent. Donc on a :
6z : petits des scarabées dans leur 3ème année qui sont morts
1/2x : scarabées morts dans leur 1ère année
1/3y : scarabées survivants de la 2ème année

b) Vérifier que X1 = X0*A où A est la matrice :
      0 1/2 0
A =  0 0 1/3
      6 0 0

        0x 1/2x 0x
X0*A =  0y 0y 1/3y       donc X0*A = X1 = (6z; 1/2x; 1/3y)
        6z 0z 0z
c) On suppose que X0 = (1000;1000;1000)
Calculer X1, X2, X3 et X4.
Que constate-t-on ?

     0 500 0
X1 = 0 0 333.33...
     6000 0 0
Je ne pense pas que ce soit correct et pour X2 X3 et X4 je ne sais pas comment faire.

2.Un deuxième modèle
On suppose que la mortalité des scarabées est régie par les mêmes lois qu'a la question 1 mais qu'en ce qui concerne les naissances :
- chaque scarabée vivant donne naissance à un scarabée durant sa deuxième année
- chaque scarabée vivant donne naissance à trois scarabées durant sa troisième année

a) Quelle est la matrice A telle que X1 = X0*A ?

b) Avec la calculatrice, calculer jusqu'à X20. Que peut-on conjecturer ?


Merci pour l'aide

Posté par Keron Keron

Bonjour !

Lorsque tu as X1, c'est un peu comme si tu avait un deuxième X₀, il suffit donc d'appliquer la matrice A à X_n pour avoir X_n+1.

Je ne comprends pas ta notation de X₁ : c'est censé être un vecteur-ligne... Mais si tu voulais dire X₁(6000; 5000; 1000/3), alors c'est juste.

En ce qui concerne le a. de la deuxième question, il faut modifier la matrice A de telle sorte que X0(x;y;z)*A=X1(y+3z;x/2;y/3).

Je te laisse faire la dernière question...

Posté par nutella-02 nutella-02

Pour la question 2.a), je ne comprend pas comment vous faites pour trouver que X1=(y+3z;x/2;y/3). Pouvez vous m'expliquer ?
Sinon, merci pour le vecteur-ligne, j'ai rectifié !

Posté par Keron Keron

Bonjour.

Bien sûr que je peux t'expliquer.
Tout d'abord, on commence par calculer le nombre de nouveaux-nés (x) : chaque scarabée de deux ans (y) en produit un, et chaque scarabée de trois ans (z) en fait trois. On a donc : le nombre de nouveaux-nés = y + 3z.
Ensuite, pour le nombre de scarabée de deux ans, on prend le nombre de scarabée de un ans (x) et on le divise par deux car la moitié meurs : le nombre de scarabée de deux ans = x/2.
En ce qui concerne le nombre de "vieillards", un tiers des scarabées de deux ans (y) meurent avant d'avoir atteint cet âge : nombre de "vieillards" = y/3.

Même si je n'y vois pas d'inconvénient, personnellement, je ne pense pas que ton ou ta prof soit d'accord avec la notation X1=(y+3z;x/2;y/3). Il ou elle te dira sûrement qu'on écrit plutôt X1(y+3z;x/2;y/3).

Voilà, as-tu compris ?

PS : Tu peux me tutoyer.

Posté par Keron Keron

Si tu veux mieux comprendre les matrices, tu peux aller à cette adresse :
http://www.siteduzero.com/tutoriel-3-421542-les-matrices.html

Salut !

Posté par nutella-02 nutella-02

Merci pour le lien

Lorsque l'on multiplie cette matrice A par X0 comme il est dit dans l'énoncé, cela nous donne des carrés, non ?

Posté par Keron Keron

Attention !

Dans les matrices, X0*AA*X0 ! Il n'y a pas de commutativité, comme avec les nombres...
Donc tu ne multiplie pas A par X0 mais X0 par A, ce qui est différent.

Désolé, mais je e comprends pas ta question :


Que veux-tu dire exactement ?

Posté par Labo Labo

Bonjour,
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