Le bijou.

Posté par J-P J-P

Un orfèvre désire réaliser un bijou dont on peut voir le dessin ci-dessous.

Les arcs (AB), (BC) et (AC) (en passant par D) sont des demi cercles.
Les arcs (AB) et (AC) sont tangents en A et les arcs (AB) et (BC) sont tangents en B.

La distance de A à B est égale à 19 mm et la distance de B à C est égale à 94 mm.

Le segment DB (qu'on supposera infiniment fin) est tangent en B aux deux arcs (AB) et (BC).

Les 2 cercles jaunes représentent des pastilles d'or.

Chacun de ces cercles est tangent au segment [BD]

Un de ces cercles est tangent aux arcs (AB) et (AC) et l'autre cercle est tangent aux arcs (AC) et (BC) comme montré sur le dessin.

Les 2 cercles jaunes ont le même diamètre, pouvez-vous trouver ce diamètre ?

La solution sera arrondie au dixième de mm le plus proche.
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Bonne chance à tous et de grâce pas de remarque sur le nombre d'étoiles attribué à l'énigme, considérer 1 étoile si cela vous convient.

Posté par Razibuszouzou (invité)

Ouah elle est belle cell-là. ça faisait longtemps que je n'étais pas amusé comme ça avec de la géométrie. Bravo pour l'énigme.

Alors. Il faut construire plein de points supplémentaires pour y voir clair (voir la figure).
Tout d'abord, comme les cercles AB, AC et BC sont tangents entre eux 2 à 2, leurs centres sont alignés. Soient E, F et G ces centres respectifs.

Comme l'énoncé dit que les deux cercles sont égaux, nous n'allons nous intéresser qu'au premier des cercles d'or, celui qui est tangent au cercle AB. Nous l'appellerons le cercle O. Ce cercle est défini par ses trois points de tangence :

-Il est tangent au cercle AB en H
-Il est tangent au cercle AC en I
-Il est tangent à la droite BD en J

Soit K le centre du cercle O.

Nous observons que :
• E, H et K sont alignés, parce que les centres de 2 cercles adjacents et leur point de contact sont alignés.
• IF est un rayon du cercle AC, et IK un rayon du cercle O. Comme ces 2 cercles sont tangents en I, K est sur IF
• Enfin, le cercle O étant tangent à la droite "verticale" BD, le rayon KJ est "horizontal" : perpendiculaire à BD et parallèle à AB

Soit r le rayon du cercle O. Nous avons donc IK = KH = KJ = r

Soit L le projeté orthogonal de K sur AB. KJ est parallèle et égal à LB. Les triangles FKL et ELK sont rectangles en K. Appliquons le théorème de Pythagore dans ces 2 triangles :

KF° = LK° + LF°
et EK° = EL° + LK°
En rapprochant les deux expressions de LK°, nous obtenons une équation qui va nous permettre de calculer r :
KF° - LF° = EK° - EL°

En effet, toutes ces longueurs dépendent uniquement de r, AB et BC :

KF = IF - IK = (BC + AB)/2 - r
LF = LB + BF = LB + AF - AB = (BC - AB)/2 + r
EK = EH + HK = AB/2 + r
EL = EB - LB = AB/2 - r

Après simplification notre équation devient :

AB*BC = 2 r (AB + BC)
Soit d = 2 r le diamètre du cercle O.
Nous avons d = AB*BC/(AB + BC) = 1786/113 = 15,8 mm

On obtiendrait le même résultat en se penchant sur le cas du second cercle d'or, et en établissant des relations similaires ne mettant en cause que r, AB et BC.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je me place dans un repère de centre B, d'axe des abscisses B vers C et d'axe des ordonnées B vers D.
Le demi-cercle AB a pour centre le point d'abscisse (-9,5) et de rayon 9,5 .
Le demi-cercle BC a pour centre le point d'abscisse (+ 47) et de rayon 47 .
Le demi-cercle AC a pour centre le point d'abscisse (+37,5) et de rayon 56,5.

Soit M(x,y) le centre de pastille d'or.

D1 (par rapport au demi cercle AC) = 56,5 - ((x-37,5)² +y²)
D2 (par rapport au demi-cercle BC) = -47  +((x-47)² +y²)

D3 (par rapport à la droite BD) = x

Le cercle étant tangent aux demi-cercles  et à la droite , on a D1=D2=D3.

D2 = D3 donne y² = 188*x
D1 = D3 donne , en remplaçant y² par sa valeur en x
226*x = 1786
Soit x = 7,903 mm
Le diamètre de la pastille est donc égal à 2*x = 15,8 mm

J'ai vérifié (oui oui, juré !!), que le même raisonnement avec l'autre cercle donnait le même résultat…
Ca doit pouvoir se démonter facilement en donnant des valeurs a et b aux abscisses des centres des cercles AB et BC et en démontrant que les diamètres sont égaux quelques soit a et b.

Posté par manpower manpower

Bonjour,

Je me place dans un r.o.n d'origine B d'unité le mm.
Je note E,F,G les centres des cercles (voir figure) et H le projeté orthogonal du centre M(x;y) du permier disque jaune sur l'axe des ordonnées. Enfin, je note R le rayon commun des deux disques.

Le disque jaune étant tangent à (BD), on a nécessairement x=-R. D'où M(-r;y).
Ensuite le disque jaune étant tangent à l'arc (AB) (tangente en rouge),
on a alignement du point de tangence avec les centres E et M.
D'où l'égalité de distance : .
De même, le disque jaune étant tangent à l'arc (AC) (tangente en vert),
on a alignement du point de tangence avec les centres F et M.
D'où l'égalité de distance : .
Enfin, par identification,
équation d'inconnue R, qui s'écrit .
Finalement, .
Ainsi, le diamètre commun des deux disques jaunes est D=.

Posté par deep blue (invité)

Je n'ai trouvé qu'une méthode analytique.

Soit le repère (B,BC,BD), d'unité le mm.
La distance d'un point à un cercle est égale à :
- la distance du point au centre moins le rayon, si le point est extérieur
- le rayon moins la distance du point au centre si le point est à l'intérieur.
La distance d'un point à la droite des ordonnées BD est égale à x.

SI j'égale ces distances , je trouve :
1.pour le cercle du bas
y² = -38x
-188 x + y² = 56,5² -37,5² = 1786
-226x = 1786
x= -7,90 mm
Le diamètre de la pastille du bas est donc égal à D=|2x | =15,8mm

2.pour le cercle du haut
y² = 188x
38 x+ y² = 56,5² -37,5² = 1786

226x = 1786
x= 7,90 mm
Le diamètre de la pastille du haut est donc égal à D=|2x | =15,8mm

Diamètre des deux pastilles (arrondi au  dixième de mm )= 15,8 mm

Sur le nombre d'étoiles..no comment,J-P!
En tout cas, cette énigme était très sympa.

Posté par Razibuszouzou (invité)

J'ai oublié de vous dire que dans ma notation, LK° signifie LK au carré. Désolé, j'ai oublié de corriger en recopiant ma solution.

Pour le fun, je me suis amusé à faire le raisonnement pour l'autre cercle. Soit P le centre de ce cercle et R son projeté othogonal sur la droite BC. Soient respectivement M, N et Q ses points de tangence avec la droite BD, le cercle BC et le cercle AC.

Pythagore dans les triangles RPF et RPG nous donne :

RP° = PF° - RF° = PG° - RG°
Or PF = QF - QP = (AB + BC)/2 - r
RF = BF - BR = (BC -AB)/2 - r
PG = NG + PN = BC/2 + r
RG = BG - BR = BC/2 - r

En définitive, on arrive à la même relation que précedemment :
2r = AB*BC/(AB + BC)

CQFD

Posté par philoux (invité)

Bonsoir,

Réponse : 15.8 mm exactement 2.19.47/113 mm

Merci pour l'énigme,

Philoux

J-P : Pourquoi ne pas avoir demander une valeur fractionnaire ?
(pour "déjouer" les utilisateurs de logiciel graphique ?)

Posté par lolo5959 lolo5959

Bon, ma boule de cristal me conseille 15.1 mm

Posté par franz franz

Le diamètre cherché vaut

Posté par Nofutur2 Nofutur2

C'est bien ce que je pensais.
Si on prend -a et b les abscisses des centres des cercles AB et BC (avec a et b positifs) .
On trouve pour le cercle équidistant à AC et BC : x1 = a*b/(a+b) donc x1 positif.
Et pour le cercle équidistant à AC et AB : x2 = -a*b/(a+b) donc x2 négatif, mais tel que x1=-x2 >0.
Les deux cercles désignés par J-P sont donc bien égaux quelle que soit la valeur des rayons des deux cercles AB et BC.

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Avec un peu de temps, voici la mise au propre pour ceux qui désirent le détail de la résolution (sachant qu'il y a peut être plus simple...).
Prenons l'origine du repère en B => 3 cercles C1 [D(-9.5;0);R1=9.5], C2 [E(37.5;0);R2=56.5] et C3 [F(47;0);R3=47].
Appelons G(-X,Y1) le centre du cercle tangent aux cercles C1, C2 et Oy : ce cercle a pour rayon X.
Appelons H(X,Y3) le centre du cercle tangent aux cercles C2, C3 et Oy : ce cercle a également X pour rayon.
Nous allons écrire les relations de Pythagore issues des triangles rectangles obtenus par projection de G et H sur Ox : I et J.

Pour G, nous avons 2 triangles rectangles, où BE=R3-R1 et R2=R3+R1 :
Dans EIG : EG²=IE²+IG² => (R2-X)²=(BE+X)²+Y1² => Y1²=-2(R2+BE)X+R2²-BE² = -4R3X+4R1R3
Dans DIG : DG²=DI²+IG² => (R1+X)²=(R1-X)²+Y1² =>Y1²=4R1X
En égalant Y1², -4R3X+4R1R3 = 4R1X => X =R1R3/(R1+R3)
Le diamètre D vaut donc 2X= 2R1R3/(R1+R3)=D1D3/(D1+D3)

1/D =1/D1 + 1/D3 (*)

Vérifions pour H, nous avons 2 triangles rectangles, où BE=R3-R1 et R2=R3+R1 :
Dans FJH : FH²=JF²+JH² => (R3+X)²=(R3-X)²+Y3² => ... =>Y3²=4R3X
Dans EJH : EH²=JE²+JH² => (R2-X)²=(BE-X)²+Y3² => ... =>Y3²=-4R1X+4R1R3
En égalant Y3², 4R3X=-4R1X+4R1R3 => X =R1R3/(R1+R3) : on trouve bien la même valeur littérale.

J'ai voulu aller plus loin en calculant les Y1 et Y3 : Y1=2R1racine(R3/(R1+R3)) et Y3=2R3racine(R1/(R1+R3)).
La nature duale des expressions m'incita à exprimer la distance entre les deux centres des pastilles d'or.
On trouve, toutes simplifications faites, une expression très simple en fonction de D1=19mm et D3=94mm.
GH = racine(D1D3) - D1D3/(D1+D3)
qui fait intervenir les moyennes géométrique et harmonique des diamètres D1 et D3.

Merci J-P pour cette belle énigme,

Philoux

(*) : une nouvelle fois, l'ayant fait rapidement, je ne me souviens plus si c'est cette valeur que j'ai indiquée hier
(Ce serait bien d'avoir la possibilité de relire ses réponses aux énigmes)
Mais l'important, comme disait PolytechMars et son chat...

Posté par Choun (invité)

Les cercles jaunes ont un diamètre = 15.8 mm

Posté par Lopez Lopez

le diamètre des cercles en jaune est : 15,8 mm

je suis arrivé à la formule suivante

rayon  = (AC²-AB²-BC²)/2(AB+AC+BC) = 3572/452 = 7,9 mm

Posté par Yalcin (invité)

R=7.75 mm

Posté par paulo paulo

bonsoir,

si ma reponse est bonne , au depart , l'énigme meritait 4 etoiles et a l'arrivée une seule.

D'apres moi le diametre des 2 cercles est de :


                      15,8 mm


a plus tard ;

merci

PAULO


                    

Posté par daniel12345 (invité)




   Diametre =  ( AB * BC) / AC

                =  ( 19 * 94) / 113 = 15,8

Posté par Severus (invité)

Bien l'bonsoir,

En appliquant 2 fois Pythagore sur le cercle jaune de droite, je trouve que le diamètre de ce cercle est de 15.8 mm.

Comme l'énoncé stipule que les deux diamètre sont identique, j'affirme que celui de gauche a aussi 15.8 mm

* image externe expirée *
Severus

Posté par chrystelou (invité)

Coucou ,
Aprés de longues réflexion, je tente une réponse.
Je pense que le diamètre des cercles jaunes vaut :
soit, arrondie au dixième de mm :

Posté par pisur2 pisur2

j'ai essayé de conjecturer avec Géoplan. Je suis parti de la conjecture (peut-être fausse!) que la tangente à la médaille de droite et à l'arc BC passait par A............
Je trouve 7,90 mm

Posté par pisur2 pisur2

ou bien 532/75 égal environ 7,093

Posté par pisur2 pisur2

En définitive : r = 893/113 égal 7,903 environ

Posté par paulo paulo

bonjour,
je voudrais juste vous donner ma methode de calcul maintenant que j'ai reussi a attacher ma figure.

O_aG²+GE²=O_aE²
GE²+GO_c²=O_cE²
GB=m = rayon du cercle cherche=EJ
EG=n

ce qui nous donne en remplacant par les valeurs numeriques et en tenant compte des cercles tangents:
n²=38m=94(19-2m)

m=7,902

2m=diametre=15,8 mm

voila sauf erreur de ma part

PAULO

Posté par J-P J-P

Enigme clôturée.

La solution attendue était 15,8 mm.

Dommage pour les distraits qui ont indiqué une valeur moitié (et donc vraisemblablement calculé le rayon au lieu du diamètre).

Posté par infophile infophile

Waouh!

Finalement la remarque de J-P était véridique. Ce n'était pas très dur (je me réfère à la méthode de Razibuszouzou très claire à mon sens), mais il fallait mettre d'autres points.
Pas mal du tout cette enigme, maintenant que je vois la correction, je m'en veut de ne pas y avoir pensé

Merci J-P

Kevin

Posté par lolo5959 lolo5959

Bon, ben ma construction n'était pas assez précise, mais bon, pour 0,7 millimètres, c'est rien:P

Posté par infophile infophile

C'est deja bien d'y avoir participé lolo5959 !

Bon allez j'arrête de parler dès le matin, direction les magasins

Bonne journée à tout le mathîliens !

Kevin

Posté par franz franz

De manière un peu prétentieuse et parce que j'ai un peu honte de n'avoir donné que le résultat "violemment" voici la méthode que j'ai utilisée.

Je me suis servi des propriétés des inversions du plan .

J'ai considéré l'inversion de pôle B et de rapport 94*19=1786

Cette transformation transforme
- le demi-cercle orange en la demi-droite orange,
- le demi-cercle orange en la demi-droite orange et
- le segment en la demi-droite bleue.

L'inversion préservant la tangence des cercles-droites :
* le cercle rouge est transformé en un cercle tangent aux droites orange et verte et a donc pour diamètre 94+19=113
* le cercle jaune C1 est transformé en un cercle tangent aux droites orange et bleue ainsi qu'au cercle rouge.

Le diamètre du cercle C'1 vaut donc 94.

Il suffit de faire deux petits coup de Pythagore pour déterminer la distance séparant B au centre du cercle C'1.

La diamètre du cercle C1 vaut (par involutivité de l'inversion)


On parvient ainsi sans trop de calculs au résultat.

Posté par pisur2 pisur2

-1 point c'est pas cool! J'ai donné le rayon au lieu du diamètre...
La multiplication par deux n'était pas bien compliquée!

Posté par pisur2 pisur2

On peut utiliser le résultat suivant :
D'une part :
Soit un cercle de centre C rayon r tangent à deux cercles de centre O et O' et de rayons R et R' (avec R > R') eux-mêmes tangents entre eux
Soit h la distance du centre C du cercle à l'axe des deux centres O et O'
Alors h² = -4 R R' r (r - R + R')/(R - R')²

D'autre part :
Soit un cercle de centre C et de rayon r, tangent à un cercle de centre O et de rayon R' et à une droite D, elle-même tangente au cercle de centre O
Alors h² = 4R'r

Ainsi : r = (R - R')R'/R

Posté par infophile infophile

Pour l'histoire rayon/diamètre c'est vraiment dommage, les personnes comme pisur2 ont en effet réussi l'enigme !

Les fautes bêtes ca me connait

@+
Kevin