Barycentre, DM.

Posté par megan414 megan414

Bonjour, j''aurais aimé avoir un petit coup de main sur un DM de Mathématiques, sur les Barycentres..

Voici l'exercice :

ABC est un triangle isocèle en A, de hauteur [AH], tel que AH=BC=4 (unité : 1cm)
1) PLacez le point G barycentre des points pondérés (A;2), (B;1), (C;1).
2) M désigne un point quelconque.
a- Prouvez que le vecteur V = 2MA-MB-MC est un vecteur de norme 8.
b- Trouvez l'ensemble E1, des points M du plan tels que //2MA + MB +MC// = //V//. TRacez E1.

3) On considère les points pondérés (A;2), (B;n) et (C;n), où n est un entier naturel fixé.
a- Démontrez que le barycentre Gn appartient au segment [AH].
c- Calculez la distance AGn en fonction de n. Quelle est la limite de AGn quand n tend vers + oo (plus l'infini) ?
Précisez la position limite du point Gn quand n tend vers +oo.
d- E(n) est l'ensemble des points M du plan tels que //2MA + nMB +nMC// = n// V //.
Prouvez que E(n) est un cercle qui passe par A. Préciez son centre et son rayon noté Rn. Construisez E2.


Avec //, représentant la Norme.


J'espère que quelqu'un pourra m'aider, surtout pour le 3) . Après pour les schémas, j'essaierais de me débrouiller, mais c'est surtout pour les calculs.
Merci d'avance

Posté par Priam Priam

Où en es-tu ? As-tu placé le point G ?

Posté par megan414 megan414

Eh bien, je ne suis pas sur de mon placement. Je ne sais pas s'il faut que je place G avec ses données, ou si je le place par associativité avec H.
Je me suis peut-être trompé, mais quand j'essaie les deux façons, G n'est pas au même endroit.
Quand j'utilise l'associativité avec H, je trouve à la fin AG = 1/2AH
et, quand j'utilise les données je trouve AG = 1/4AB + 1/4AC  ..
:/

Posté par Priam Priam

Est-ce que ce ne serait pas la même chose ?

Posté par megan414 megan414

Eh bien... Je dois pas savoir placer mes points alors ^^.
Mais est-ce que G est au milieu de AH ?

Et surtout pour le 3.), j'arrive pas du tout à répondre au question, et je dois rendre ce devoir pour lundi.. :s c'est embetant.

Posté par Priam Priam

Oui, G est au milieu de AH.
3) Gn est barycentre des points (A,2),(B,n),(C,n). Fais ici intervenir le point H, isobarycentre des points B et C, puis écris la relation vectorielle correspondante.

Posté par megan414 megan414

a

Posté par megan414 megan414

Ah oui, je comprend pour ça. Mais pour le 3b), où il faut calculer la distance AGn en fonction de n ?
On utilise G=bar {(A,2),(H;2)} ? mais y'aura plus n dans ce cas la ?

Posté par Priam Priam

Sachant que H est barycentre de (B,1),(C,1), par quoi peux tu remplacer (B,n),(C,n) dans la définition de Gn ?

Posté par megan414 megan414

Alors on remplace (B;n) et (C;n) pâr (B;1) et (C;1) ?

donc après, on  calcule par rapport à G qui est barycentre de (A;2), (B,1) (C;1)

2GA + GB + GC = 0
4GA = -AB -AC
GA = -1/4AB -1/4AC
AG = 1/4Ab + 1/4AC

mais c'est pas en fonction de n, dans la formule on devrait trouver n.
Vous auriez pas la solution s'il vous plait ?

Posté par Priam Priam

Non, on remplace (B,n),(C,n) par (H,2n).

Posté par megan414 megan414

Je vois, mais après on trouve ça

2GA + 2nGA + 2nAH = 0
Si je simplifie sa ferait ça : 2(GA + nGA +nAH) = 0
mais sa m'avance pas, parce que je vois pas comment finir le calcul ??

Posté par Priam Priam

???
Quand tu fais le remplacement que je t'ai indiqué, tu obtiens   Gn bar(A,2),(H,2n) , soit  Gn bar(A,1),(H,n), ce qui prouve que le point  Gn  appartient au segment [AH].

Posté par megan414 megan414

ah oui, ça d'accord, mais pour calculer AGn ??

Posté par Priam Priam

Ecris la relation vectorielle traduisant  Gn bar ....

Posté par megan414 megan414

Mais on trouve en vecteur :

AGn = 1/2AHn

Mais la distance ?

Posté par Priam Priam

???
Cette relation vectorielle que je te demandais d'écrire, c'est  GnA + nGnH = 0 , d'où on peut déduire la distance AGn.