Intégrale et encadrement

Posté par lilierose8 lilierose8

Bonjour à tous, après de nombreuses tentatives, je n'arrive pas à faire ce dm que je dois rendre lundi...! Je vous laisse imaginer dans l'état de stress que je suis !

Le signe de l'intégrale sera fait de cette manière vu que je ne sais pas comment on le fait! donc ce sera pour intégrale de 0 à 1 par exemple "0=>1" !

Alors voici mon exercice: (question 1 fait)

On se propose d'encadrer l'intégrale: I= 0=>1 (e^(-x^2))/(1+x)dx.

1. En étudiant les varietions des fonctions u et v définies sur l'intervalle [0;1] par :
u(x)=(e^-x)+x-1 et v(x)=1-x+((x^-2)/2)-e^-x , prouvez que pour tout réel x dans [0;1],

1-x < e^-x < 1-x+((x^2)/2) [1]

2. Déduisez-en un encadrement de e^(-x^2) lorsque x est dans l'intervalle [0;1] puis prouvez que pour tout x dans l'intervalle [0;1] :

1-x < (e^-x^2)/(1+x) < 1-x+((x^4)/2(1+x))  [2]

3.a) Vérifier que pour tout x dans l'intervalle [0;1] ,

(x^4)/(1+x)= x^3-(x^2)+x-1+ (1/1+x)

b) Déduisez alors de [2] que

1/2 < I <(5/24)+(1/2)ln2, puis donnez une valeur approchée de I à 3*10^-2 près.

Un grand merci à ceux qui prendrons la peine de m'aider!!

Posté par Yzz Yzz

Salut,
Tu dois donc étudier la fonction u : u(x)=e^-x+x-1.
Tu as calculé u'(x)?

Posté par lilierose8 lilierose8

Oui, j'ai fais la 1ère question et je trouve u'(x) = -e^^-x+1

Posté par Yzz Yzz

Maintenant, son signe...
u'(x)>0 si 1-e^-x>0 , soit 1>e^-x , soit 0>-x , donc si x>0.
OK?

Posté par lilierose8 lilierose8

Oui c'est bon

Posté par Yzz Yzz

Donc la fonction u est croissante sur [0;1].
Calcule u(0) et déduis-en le signe de u(x) pour tout x dans [0;1].

Posté par lilierose8 lilierose8

J'ai donc u(0)=0 et u(1)= e^-1
u(x) est croissante sur [0;1] donc la fonction est positive pour tout x dans [0;1] ?

Posté par Yzz Yzz

Oui.
u croissante et u(0)=0 suffit.
Donc, pour tout x dans [0;1] , on a e^-x+x-1>0 , donc e^-x>1-x : c'est le début de la double inégalité à prouver.
Pour l'autre partie, faut recommencer avec v(x) : calculer v'(x), signe de v'(x), calculer v(0) ...

Posté par lilierose8 lilierose8

j'ai besoin de faire le tableau de variation ou je note juste ces phrases?

Posté par Yzz Yzz

Pas besoin de tableau.

Posté par lilierose8 lilierose8

d'accord je rép pour v(x) dans 2 minutes

Posté par Yzz Yzz

Oké !

Posté par lilierose8 lilierose8

je trouve v'(x)=e^-x+x-1

Posté par Yzz Yzz

Oui.
Tu le reconnais? On l'a déjà vu...

Posté par lilierose8 lilierose8

là je fais la dérivée seconde de v'(x) et un tableau non?

Posté par Yzz Yzz

Pas la peine...

Posté par lilierose8 lilierose8

ah oui exact c'est u(x) !

Posté par Yzz Yzz

Et en plus, on sait que u est positif sur notre intervalle.
Elle est pas belle, la vie?

Posté par lilierose8 lilierose8

d'accord donc ça veut dire que u(x)=v'(x)>0 donc v'(x) tjs positive sur [0;1] car u(x)>0
v(0)=1-0+(0^2/2)-e0 = 0
donc v(x) est positif sur 0;1 donc 1-x+(x^2/2)superieur ou egale a  e-x^

Posté par lilierose8 lilierose8

elle est magnifique la vie!!

Posté par Yzz Yzz

Super !
On a donc résolu la question1.
Pour la 2 , raisonnement un poil délicat :
L'inégalité du 1 est vraie pour tout X dans [0;1].
Or, si x est dans cet intervalle, x² y est aussi.
La double inégalité précédente reste donc vraie en remplaçant X par x².
OK?

Posté par lilierose8 lilierose8

OK

Posté par lilierose8 lilierose8

mais si je remplace dans l'inégalité précédente x par x² je ne trouve pas le même résultat :-/

Posté par Yzz Yzz

Bon.
On passe à la suite?
On a donc :
1-x²<e^-x²<1-x²+x⁴/4.
Or 1-x² = (1-x)(1+x).
On obtient donc l'inégalité demandée en divisant tout ça par (1+x) , en disant bien au préalable que sur [0;1], 1+x>0 (donc les inégalités ne changent pas de sens).
OK toujours?

Posté par Yzz Yzz

On obtient l'inégalité de mon post précédent, non?

Posté par Yzz Yzz

...Avec une petite rectif : la fin, c'est x⁴/2 , bien sûr...

Posté par lilierose8 lilierose8

J'ai donc :

1-x² < e^-x2 < 1-x²+ (x⁴/2) ?

Posté par lilierose8 lilierose8

je n'avais pas vue la rép entre temps je vais le refaire en vitesse!

Posté par Yzz Yzz

Impec'...

Posté par lilierose8 lilierose8

C'est parfait! je trouve le bon résultat! j'avais fais une petite erreur de signe!
On peut donc passer à la suite

Posté par Yzz Yzz

La suite, c'est :

Il suffit de partir de x³-x²+x-1+1/(1+x) , de tout mettre au même dénominateur...
Et ça marche.
Tu veux le vérifier tout de suite, ou on continue?

Posté par lilierose8 lilierose8

Si ça te dérange pas j'aimerais le vérifier mais si tu es pressé je peux faire ça toute seule

Posté par lilierose8 lilierose8

C'est bon tout va bien !!
On peut continuer

Posté par Yzz Yzz

Allons-y :
x³-x²+x-1+1/(1+x) = [(x³-x²+x-1)(x+1)+1]/(1+x)=[x⁴-x³+x²-x+x³-x²+x-1]/(1+x)=x⁴/(1+x)

OK?

Posté par Yzz Yzz

Une seconde (je vais me faire un déca...)

Posté par lilierose8 lilierose8

oui

Posté par lilierose8 lilierose8

ok

Posté par Yzz Yzz

C'est reparti !
On se résume :
On a donc :
1-x < e^-x²/(1+x) < 1-x+x⁴/2(1+x)
et
x⁴/(1+x) =  x³-x²+x-1+1/(1+x)
Donc :
1-x < e^-x²/(1+x) < 1-x+(1/2).(x³-x²+x-1+1/(1+x))

OK?

Posté par lilierose8 lilierose8

Oui

Posté par Yzz Yzz

Donc l'intégrale I cherchée est encadrée par les intégrales de 0 à 1 des deux expressions qui encadrent e^-x²/(1+x).
OK?

Posté par lilierose8 lilierose8

Ah non j'ai pas bien compris le < 1-x+ (1/2)*(x³-x²+x-1+ 1/(1+x)!!!!

Posté par Yzz Yzz

On a trouvé x⁴/(1+x) =  x³-x²+x-1+1/(1+x)
Mais dans le membre de droite de la double inégalité, ce n'est pas x⁴/(1+x) mais x⁴/2(1+x) , autrement dit, c'est (1/2).(x⁴/(1+x)) ...

Posté par lilierose8 lilierose8

ah oui d'accord excuse moi !!

Posté par Yzz Yzz

Bon, bon, ça ira pour cette fois-ci...
Bref, il nous faut donc intégrer les deux côtés, OK?

Posté par lilierose8 lilierose8

ahah oui

Posté par Yzz Yzz

A gauche :
Une primitive de 1-x est x-x²/2. On calcule ça entre 0 et 1 : ça donne (1-1²/2)-(0-0²/2) = 1-1/2 = 1/2.
OK?

Posté par lilierose8 lilierose8

oui

Posté par Yzz Yzz

Bon.
On a déjà le côté gauche !
A droite, même chose, en plus musclé :
Une primitive du paquet est :
x-(x²/2)+(1/2).((x⁴/4)-(x³/3)+(x²/2)-x+ln(1+x))

OK?

Posté par lilierose8 lilierose8

parfait !

Posté par Yzz Yzz

Y'a plus qu'à calculer ce truc pour x=1 et pour x=0 , puis soustraire :
En 1 : ça donne 1-1/2+1/2.(1/4-1/3+1/2+ln(2)
En 0 : ça donne : 0.
La soustraction des deux doit donner (5/24)+(1/2)ln2 , ou alors on est vraiment des moins que rien...
Qu'est-ce que t'en penses?