Joute n°23 : La diagonale du fou

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour à tous,

Au pays de Géométria se trouve un grand champ en forme de quadrilatère convexe ABCD d'une superficie de 32 hectares. Il est traversé par un chemin tout droit (dont on négligera la surface) formant la diagonale BD.

Prudentia, jeune fille sage et respectueuse du bien d'autrui, et son frère Témérius, tête brûlée et impulsif, habitent en A et doivent se rendre chez leur grand-mère qui habite en C.
La route normale pour aller de A à C consiste à longer le champ suivant AB, puis passer sur le chemin BD et terminer par le côté DC. La distance ainsi parcourue est de 1600 mètres exactement.

Mais Témérius a hâte de déguster la délicieuse tarte aux myrtilles de sa grand-mère et décide de couper à travers le champ en empruntant la diagonale AC alors que sa sœur suit sagement le chemin normal.

Question : Quelle distance (arrondie au centimètre le plus proche) Témérius va-t-il parcourir ?

Posté par dedale dedale

bonjour , pourrais-tu m'expliquer la signification de convexe , s'il te plait ?

Posté par totti1000 totti1000

Bonjour godefroy-lehardy,

_{Pas évidente cette énigme... Quand j'ai vu 4 étoiles de ta part, je me suis dit que l'après-midi allait y passer...}

Ma réponse : Témérius va parcourir environ 1131,37 m.

Merci.

La démonstration va venir...

Posté par ksad ksad

problème difficile...
à première vue, on dirait qu'il manque une info pour pouvoir le résoudre.
toutefois, on se rend compte en écrivant les relations entre différentes inconnues qu'elles ne peuvent avoir de solution que dans un cas dégénéré, lorsque BD vaut 800m (donc AB+DC aussi) et que ces deux derniers côtés soient chacun orthogonaux à la diagonale BD (comme sur le dessin ci-dessous).

dès lors, il reste que le chemin suivi par Temerius a une longueur m.

merci et à bientôt !

Posté par LeDino LeDino

Bonjour,

Sauf erreur, le parcours de Témérius sera de 1131,37 m.

Démarche :
C'est un peu tiré par les cheveux, mais j'ai considéré le cas particulier d'un trapèze, plus facile à calculer qu'un quadrilatère quelconque.

J'ai été encouragé dans cette approche par le fait que les contraintes géométriques du problème sont en nombre inférieur au nombre d'inconnues.
J'ai donc supprimé un degré de liberté, espérant trouver une solution.

On en déduit alors une équation paramétrique à un degré de liberté, qui ne s'annule que pour une valeur qui est 800*racine(2), qui est donc la solution que je propose.

Au final, on s'aperçoit qu'un cas particulier très simple convient très bien :
C'est celui d'un triangle rectangle en B (avec C ed D confondus).
Dans ce cas :
AB = 800 m,
BC = BD = 800 m.
La superficie est immédiate : S = 800*800/2 = 320.000 m²
Et le parcours de Prudentia : P = 800+800 = 1600 m

Finalement, les 4 étoiles valent si on résoud et démontre l'intégralité du problème.
Mais il existe un raccourci pour les plus "témérius" ...

Posté par Rodival Rodival

Bonjour/Bonsoir,

J'ai trouvé 1131,37 m
pour la distance que Témérius va parcourir.

Raisonnement :

Seulement deux constantes et trop d'inconnues pour un quadrilatère quelconque... j'ai supposé que la figure du champs était plus simple...

En supposant ABD rectangle en B et BDC rectangle en D, on a :

Aire = (AB+CD) * BD/2
Chemin = AB + BD + CD
Raccourci = sqrt(BD²+(AB+CD)²)

Si de plus AB = CD, on a quelque chose qui devient facilement résolvable :

Aire = AB * BD = 320000 m²
Chemin = 2AB + BD = 1600 m
Raccourci = sqrt(BD²+4AB²)

AB = Aire/BD
BD = Chemin - 2*Aire/BD
=> BD² -Chemin*BD +2*Aire = 0
=> BD = Chemin/2 = 800
=> AB = Aire/800 = 400

D'où la longueur du raccourci :
Raccourci = sqrt(BD²+4AB²)= BD*sqrt(2) = 800*sqrt(2) = 1131,37084989848 m
Soit 113137 cm

Si ce n'est pas une démonstration générale, c'est au moins une solution indiscutable du problème.

Bien que j'ai l'impression d'avoir un peu contourné la difficulté

Merci pour vos énigmes.

Posté par frenicle frenicle

Bonjour

Je propose une distance AC de 1131,37 m soit 8002, comme sur la figure ci-dessous.
C'est un peu simple pour une énigme 4 étoiles.
Il doit y avoir un truc qui m'échappe, mais j'ai beau relire l'énoncé, je ne vois rien qui permette d'écarter cette solution
Je le verrai sûrement juste après avoir posté
Allez, j'me lance

Posté par totti1000 totti1000

Rebonsoir godefroy ,

_{Impossible de se coucher sans poster une démonstration...}

Tout d'abord, j'appelle :
- la longueur
- la longueur
- la longueur
- l'angle
- l'angle

Le quadrilatère ABCD étant convexe, et [0;180].



D'après l'énoncé Prudentia parcourt 1600 m, soit :
     (1)

Et l'aire du quadrilatère ABCD est de 32 hectares soit :


Ou encore : (2)


Soit .

Alors on a :
.

.

or d'après (1), .

donc on a : .

Etudions la fonction , définie par :






1^er cas :
Alors et donc ,
il vient donc que et donc
.

Donc aucune solution possible si ou .

2^ème cas :

On a alors :
(1)


soit : (2)

En remplaçant par dans (2), on obtient :


Cette équation a une racine double :.


Autrement dit les triplets solutions du problème vont être de la forme ( [0;800]).

Reste à calculer la longueur de la diagonale ...

On peut la trouver simplement, dans le cas où .
En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B :

Soit .


Bonne nuit

Posté par Nyavlys Nyavlys

Bizarre mais la seule configuration simple que je trouve est celle ou C et D sont confondus et ABD est triangle isocèle en B.
J'imagine qu'il y a plusieurs auters figures possibles...

On obtient alors une distance de 1131.37 m

merci à bientôt

Posté par frenicle frenicle

Bonjour,

Après réflexion, il est facile de prouver que les seules formes possibles pour le quadrilatère sont du type ci-dessous, avec 0 < x < 800 (ou bien sûr leurs symétriques par rapport à BD).
Dans tous les cas la distance AC est la même : 8002 1131,37 m.



En effet, avec les notations de la deuxième figure et en exprimant pour simplifier les distances en hectomètres, on doit avoir :

(m.sin + n.sin)l/2 = 32
m + n + l = 16.
Comme un sinus est 1, on a donc
(m + n)l 64 et (m + n) + l = 16
On en déduit immédiatement m + n = l = 8 puis sin = sin = 1, cqfd.

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Godefroy,

Témérieus ne va rien parcourir du tout car ce champ n'existe pas ; un quadrilatère où  AB+BD+DC = 1 600 m ne peut pas atteindre une aire de 320 000 m².

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour Godefroid.
Témérius parcourt 1131,37 mètres.
Un des quadrilatères les plus simples où l'on peut constater les mesures de l'énoncé est formé de deux triangles rectangles égaux en tête-bêche ayant en commun [BD], un côté de l'angle droit pour chacun.
BD et AB+DC ont pour somme 1600 et pour produit 640000
BD = AB+DC = 800
Avec deux autres triangles rectangles égaux aux premiers, on complète un carré dont le côté est BD et la diagonale AC.

Posté par Rodival Rodival

Re-Bonjour,

Pour me faire pardonner d'avoir règlé un peu légèrement le problème dans ma précédente réponse, voici un raisonnement complet :

Soit :
- A' la projection de A sur la droite passant par BD,
- C' la projection de C sur cette même droite,
- L la somme des distances AB et CD
- L' la somme des distances AA' et CC'

L'aire du champ est Aire = L' * BD/2 = 320000 m²
La longueur du chemin de Prudentia est Chem = L + BD = 1600 m

Par définition, L >= L',
donc Chem - BD >= 2*Aire/BD
et V = BD² - Chem*BD + 2*Aire <= 0
= Chem² - 8*Aire = 1600² - 8*320000 = 0
donne V = (BD - Chem/2)² qui n'est <= 0 que quand :
BD = Chem/2 = 800 m

Ensuite :
AB + CD = L = 1600 - BD = 800 m
AA' + CC' = L' = 2*320000/BD = 2*320000/800 = 800 m
=> AA' = AB et CC' = CD
=> ABD rectangle en B et BDC rectangle en D

Ainsi, ABD rectangle en B, BDC rectangle en D et BD = AB + CD = 800 m
donne toutes les formes compatibles du champ allant du triangle rectangle isocèle (A et B confondus) au parallélogramme (AB = CD) en passant par des trapèzes "penchés".
Toutes ces formes ont une distance AC identique = 800*sqrt(2) = 1131,37 m.

Posté par dpi dpi

Bonjour, (plutôt bonn nuit)

Impossible de dormir avec HERON ,BRAMAGUPTA et surtout J.G.DOSTOR

Il me manque au moins une donnée pour former ce maudit quadrilatère
convexe hélas quelconque

Toute solution de d donnant S = 3200000 = D x d sin a avec 1599>D>533
convient.

Posté par torio torio

800*2 m = 1'131,37 m =113'137 cm

A+
Torio

Posté par Katsuto Katsuto

Bonjour.

Je propose AC = 800 * 2 m

soit AC 1131.37 m

Posté par caylus caylus

Bonjour Godefroy,

Après avoir beaucoup cherché!
Témérius va parcourir une distance de 282,28 (m)
Une image parmi d'autres...


Merci pour la joute.

Posté par caylus caylus

C'était bien la peine de chercher!
8²+8²=128 et V128=11,313708 (hm)
=>1131,37 (m)

Posté par castoriginal castoriginal

Bonsoir,

considérons le figure 1. Soit le quadrilatère ABCD. On sait que la surface vaut 32ha soit 320000m2 et que le trajet normal ABDC vaut 1600m.
La surface du quadrilatère ABCD vaut la somme des surfaces des triangles ADB soit m*h1/2 et BCD soit m*h2/2         S=m/2*(h1+h2)

640000 = m*(h1+h2)   or 640000 = 2^10*5^4

Recherchons les valeurs de m<1600 combinant les facteurs premiers de 640000; on obtient le tableau 2



avec les valeurs de (h1+h2) associées et de (a+c).
D'autre part on voit que h1 = a*sin et h2=c*sin
soit h1+h2= a*sin+csin avec m=1600-(a+c).
Suivant la figure 1 (a+c)>= (h1+h2)
Dans le tableau 2 ce n'est possible que si m=800.
(h1=h2)=800 et (a+c)=800     avec h1=a et h2=c.
Cette égalité n'est possible que si sin=sin=1 ==90°
On a alors une infinité de parallélogrammes (figure 2) pour lesquels la valeur de la diagonale n est constante, elle vaut (a+c)*2
soit 800*2=  1131,37m

Posté par geo3 geo3

Bonjour
Après de nombreuses recherches en prenant BD = 8000m et l'angle aigu entre les diagonales = 45°
je propose |AC|=1131,37 m
A+

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Bonjour

Cela doit faire dans les 1131,37 mètres ... il me semble

MM

Posté par geo3 geo3

Rebonjour
C'est plustôt |BD| = 800 au lieu de 8000   et  l'angle aigu entre les diagonales = 45°  =>  640000 = AC.800.sin(45°)   => |AC| = 1600/2   =>
je propose |AC|=1131,37 m

A+

Posté par alisponge alisponge

AD

Posté par gloubi gloubi

Bonjour godefroy_lehardi,


Pourquoi tant d' étoiles ?  

Ma réponse: 1 131,37 m en arrondissant au cm le plus proche, soit 82 hm.

La diagonale BD a une longueur de 800 m.
Les côtés AB et DC sont parallèles, perpendiculaires à BD, et la somme de leurs longueurs vaut 800 m.  

Posté par natylilou natylilou

bonjour,

Témérius va parcourir 1131,37 m .

Je propose une solution dans laquelle le champ ABCD est un trapèze dont les côtés (AB) et (CD) sont parallèles. (BD) est perpendiculaire aux côtés (AB) et (CD), et BD=800m. De plus, AB+DC=800m.
La longueur AC est fixe ... voir exemples ci-dessous.
sur les dessins, le chemin suivi par Prudentia est en violet, il mesure 1600m, celui suivi par Témérius est en rouge.

AC = (800²+800²)
AC = (2*800²)
AC = 8002
AC 1131,37

Posté par louloudel94 louloudel94

La réponse est de 1602,0 metres ( arrondi au centimetre près): soit la valeur exacte est de 80 401

Posté par Nofutur2 Nofutur2

J'ai essayé bêtement de trouver une formule générale qui mette tout ce petit monde en relation...
Que nenni, il fallait considérer les données du problème qui permettent de trouver AC=800*21131,37 m

Posté par Rodolphe Rodolphe

Bonjour Jamo

Je viens de revoir mes bases de géométrie plane pour redécouvrir des résultats surprenants que j'avais un peu oubliés.

Ma réponse est donc 1131,37 mètres

Merci pour cette énigme et joyeuses Pâques

Posté par Pierre_D Pierre_D

Salut Godefroy,

C'est juste pour dire que je me suis grossièrement trompé, et qu'une solution est  

Posté par miahh miahh

je crois qu'il va parcourir environ 1654.576666 mètre.

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Clôture de l'énigme :

Visiblement, pour certains, l'énigme ne valait pas ses 4 étoiles …
C'est vrai que j'ai hésité entre 3 et 4 mais je l'avais trouvée personnellement plutôt difficile.
Du coup, je suis assez admiratif devant l'intuition de nos champions.

Bravo à tous ceux qui ont trouvé (même du deuxième coup )

Posté par Pierre_D Pierre_D

Merci pour la consolation du "deuxième coup", Godefroy, et surtout merci pour toutes ces énigmes.

Posté par totti1000 totti1000



Disons que l'on avait pour référentiel la nioumérologie à 3 étoiles... :D

Posté par dpi dpi

Je n'ai pas osé
Quand on me dit quelconque ,je ne tente même pas de
prendre un cas particulier,je l'aurai un jour...