Casino (1/2)

Posté par Victor Victor

Dans un casino, le patron a décidé d'optimiser le travail des croupiers. Pour cela, il a décidé de créer des valeurs de jetons de telles sorte que le croupier puisse donner toutes les sommes entre 1 et 100 avec au plus 2 jetons. Toutes ces valeurs doivent donc pouvoir être obtenues avec 1 ou 2 jetons (non nécessairement différents).
Quel est le plus petit nombre de valeurs de jetons possible ?
On peut par exemple le faire avec 18 jetons de valeurs 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Pouvez-vous faire mieux ?

Bon courage...

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Les nombres de 1 à 100 ne peuvent être atteint en deux jetons que par :
- n-1 valeurs de 1 à n-1 (toutes les valeurs d'un intervalle)
- E(100/n) (ou 100/n - 1 si n divise 100) valeurs , soit n, 2n,3n…...E(100/n).(les bornes de l'intervalle)

Le nombre total de valeurs est donc E(100/n) +(n-1) ou [(100/n -1)+(n-1)].
Pour minimiser cette fonction j'annule la dérivée.
-100/n² +1 =0
Soit n=10
Je trouve donc les 18 valeurs proposées par Victor. :
9 valeurs de jetons de 1 à 9 (1 à (n-1))
9 valeurs (100/n -1) de dizaines de 10 à 90.

Pour les valeurs voisines :
Pour n= 11 E(100/11) +(11-1) =9 +10 = 19
Pour n= 9 E(100/9) +(9 -1) = 11 +8 =19

Posté par deep blue (invité)

La solution la plus efficace pour obtenir un nombre de 1 à 100 avec deux valeurs de jetons est d'écrire ce nombre en base X.
Bases X=6, ou X=7 nombre de valeurs supérieures à 18.
Base X=8 , 100 s'écrit (12)4, nécessité de 7+12 = 19 valeurs différentes
Base X=9, 100 s'écrit (11)1, nécessité de 8 + 11= 19 valeurs différentes.

Base X=10, seul 100 s'écrit avec 3 chiffres, mais peut être atteint avec plusieurs valeurs  de deux chiffres car multiple de 10 (10+90, 20+80,etc…). 9+9=18  valeurs différentes.

Base X=11, 100 s'écrit 91, nécessité de 10 + 9 = 19 valeurs différentes
Base X=12 , 100 s'écrit 84, nécessité de 11 + 8 =19 valeurs dfférentes
Base X= 13 , 100 s'écrit 79, nécessité de 12+7 =19 valeurs différentes
Base X=14, 100 s'écrit 72 , nécessité de 13+7 =20 valeurs différentes.
Base X>14 valeurs plus grandes...

Donc les 18 valeurs de jetons proposées dans l'énoncé sont minimales .
On ne peut pas faire mieux….

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Il y a 9 autres possbilités pour répartir ces 18 valeurs (soit 10 possibilités au total).

Elles comportent tous les 9 chiffres de 1 à 9, puis les 9 nombres égaux modulo 10, soit  :
11,21,31,.81,91.
12,22,32,.82,92.
13,23,33,.83,93.
etc..
19,29,39,.89,99.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

En fait il y a plusieurs autres possibilités si on considère que avec les n premiers chiffres on peut atteindre jusqu'à 2n avec 2 jetons.
On obtient ces possibilités en ajoutant aux n premiers chiffres les valeurs entre 2n+1 et 100 qui sont égales modulo (n+1).
On obtient 18 pour n=7,8,9,10,11 et 12.
Exemple Pour n= 11
1,2,3....9,10,11,23,35,47,59,71,83,95., soit 18 valeurs.

Ouf, merci Victor!!!

Posté par Razibuszouzou (invité)

Pas facile ce problème !

D'abord une remarque. Le nombre minimal de valeurs de jetons sera au moins égal à 13. En effet, s'il y a N sortes de jetons, il y a N (N + 3)/2 façons différentes de réaliser une addition d'un ou 2 jetons. Pour obtenir toutes les valeurs entre 1 et 100, il faut donc en théorie au moins 13 sortes de jetons différentes, car 13*16/8 = 104 > 100.
Le problème c'est que, quelque soient les valeurs choisies pour les jetons, il y a toujours des redondances. Dans le système proposé dans l'énoncé par exemple, on peut obtenir 10 soit avec le jeton 10, soit en faisant 1 + 9, 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6 ou 5 + 5, c'est à dire de 6 manières différentes.

FIdèle à ma devise "toujours aller du simple vers le compliqué", j'ai examiné comment on pouvait obtenir, avec quelques jetons, toutes les valeurs entre 1 et 20. En théorie, 5 sortes de jetons suffiraient car 5*8/2 = 20. En pratique, il faut nécessairement 6 sortes de jetons différentes. Voici 2 répartitions possibles :
• 6 jetons de 1, 3, 5, 7, 9 et 10
• 6 jetons de 1, 3, 4, 9, 11 et 16

On voit que j'ai adopté ici un système "discontinu", où les valeurs des jetons ne se suivent pas. A l'inverse, le système proposé par l'énoncé est un système "continu", car on dispose de toutes les unités à la suite, et ensuite de toutes les dizaines. Pour obtenir un nombre quelconque, il suffit d'additionner le jeton de ses unités et le jeton de sa dizaine, ce qui revient à écrire le nombre en base 10.
Dans l'exemple précédent, pour obtenir tous les nombres entre 1 et 20 avec un système continu, il faudrait fabriquer 7 sortes de jetons, correspondant à l'écriture de chaque nombre en base 5 (7 jetons de 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15) ou en base 4 (7 jetons de 1, 2, 3, 4, 8, 12, 16).
On constate donc que pour les petits nombres (en dessous de 40) , les systèmes discontinus marchent meiux que les systèmes continus.

Par contre les systèmes "continus" deviennent plus performants au dessus de 40, en particulier pour atteindre les nombres proches du maximum.

Ainsi pour atteindre tous les nombres jusque 49, je peux bâtir un système continu qui correspond à exprimer chaque nombre en base 7. Il me suffit de choisir les jetons suivants :
• 12 setons de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 21, 28, 35, 42.
Avec un système discontinu, je ne peux pas faire mieux. En extrapolant l'un de mes systèmes précédents, j'obtiens au mieux :
• 13 jetons de 1, 3, 4, 9, 11, 16, 20, 25, 30, 34, 39, 44, 49.

On voit que la tendance s'inverse ici : les systèmes continus deviennent plus performants à partir d'un certain nombre de valeurs à obtenir (aux alentours de 50)

C'est ainsi que pour obtenir toun les nombres entre 1 et 100, il n'y aura pas de meilleure solution qu'un système continu. L'énoncé nous en propose un en 18 jetons. Je ne trouve pas mieux, par contre je peux créer d'autres systèmes continus de 18 jetons :

• 18 jetons de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 23, 35, 47, 59, 71, 83, 95 permettent par exemple d'obtenir tous les nombres jusqu'à 106.

Ma conclusion provisoire est donc qu'il  n'y a pas mieux que le système proposé par l'énoncé.

Ceci dit, on peut utiliser une petite ruse :
Considèrons que le chiffre 9 est un 6 renversé. Dans ce cas il n'y a pas besoin d'imprimer un jeton 9, il suffit d'utiliser le 6 à l'envers. Dans le système de l'énoncé, on économise déjà 1 sorte de jeton.
Si on considère également que le 1 est un simple bâton, il se lit pareil à l'endroit ou à l'envers. Dès lors, on peut construire un système continu en 16 jetons :
• 16 jetons de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86. La valeur 9 étant obtenue en retournant le jeton 6, et la valeur 91 en retournant le jeton 16.

Et si je vais jusqu'à écrire les jetons des unités sous la forme 01, 02, 03, 04, etc... le système de l'énoncé peut s'obtenir en imprimant 14 jetons, car le 10 est un 01 à l'envers, le 60 un 09 à l'envers, le 80 un 08 à l'envers, et le 90 un 06 à l'envers.

Et voilà. En résumé, il n'y a pas de solution mathématique en moins de 18 jetons.
Par contre, j'ai des solutions "analogiques" en 17, 16, voire 14 jetons. Evidemment elles ne s'avèrent pas pratiques, car je n'imagine pas le croupier devoir mettre dans le bon sens chaque jeton ambigü !

Posté par lyonnais lyonnais

salut Victor

je vais surment répondre une énorme bétise, mais comme je ne vais plus venir sur l'île pendant 3 jours ( cause de bac ) , je vais répondre ceci ( faute de temps pour réfléchir ) :

il est impossible de faire mieux que les 18 jetons suivants :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90

merci pour l'énigme et à moi le

@+ sur l'
lyonnais

Posté par manpower manpower

Hum... pas très prisée comme énigme _{(pour une deux étoiles...)}

Je capitule après moulte feuilles de brouillons.
Je n'ai pas mieux que (et simplement des esquisses de méthodes).
Il y a plusieurs solutions possibles avec 17 entiers.
La première :
1-3-5-7-9-11-13-15-16-33-34-51-52-69-70-87-88
par exemple (car il y a des variantes) permet la décomposition sous forme de deux entiers jusqu'à 104
Ma préférée :
1-3-5-7-9-11-13-15-17-19-21-23-24-49-50-75-76
qui répond exactement à la question (la décomposition s'arrête pile à 100)

Voilà. C'est largement l'heure d'aller au lit... Bonne nuit.

PS: Merci pour l'énigme, je sens que je vais cauchemarder d'avance pour la future Casino (2/2)

Posté par Lopez Lopez

non, je n'ai pas pu faire mieux
j'ai trouvé plusieurs séries de valeurs mais à chaque fois leur nombre était 18 ou supérieur à 18

Posté par Gallas132000 (invité)

Cher Victor,

Il ne me semble pas (et g surement tort) que cette enigme ne puisse etre resolue em ameliorant les 18 jetons proposes.

En effet, le fait de travailler en base dix exclut les autres possibilites.

Cependant, il se peut ke cette enigme soit resolue mais dans ce cas ce pb merite plus de 2 etoiles (Pt etre jouer sur le fait que le nombre 9 permet de donner bcp de combinaisons)

J abdique en tt cas pour cette enigme..

J attends la solution avc impatience.

Posté par daniel12345 (invité)



     je pense que cette solution est optimum (base 10) !?

Posté par sucrdorg (invité)

il faut que le croupier puisse donner toutes les SOMMES entre 1 et 100 avec au plus 2 jetons.

Si on raisonne simplement en additions et avec les chiffres il est mathématématiquement impossible de descendre au dessous de 18 jetons.

La question posée est formulée ainsi: quel est le plus petit nbre de valeurs de jetons possible?

je répond alors 10 valeurs: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

il suffit ensuite d'attribuer des couleurs différentes pour chaque dizaines, par exemple blanc de 1 à 10, jaune de 11 à 20, rouge de 21 à 30, vert de 31 à 40...etc...

ainsi si le croupier veut donner une somme de 25 il lui suffira de fournir un jeton rouge comportant le chiffre 5

Posté par paulo paulo

bonjour,

j'ai couvert 10 pages de chiffre en esayant avec 1;5  1;6  1;7  1;8  1;9  1;11  1;12 . J'arrive tojurs a un minimum de 18 chiffres .
avec 17 chiffres je n'arrive qu'a 98 ;

enfin bref ma reponse est que l'on ne peut pas faire mieux qu'avec 18 jetons;

voila bonsoir et bienvenu au poisson

Paulo

Posté par Victor Victor

Peu de réponses pour cette énigme. C'est vrai que j'avais un peu sous-estimé la difficulté de celle-ci.
Il n'y a aucune bonne réponse...

En effet, il était possible de faire mieux que 18 jetons. On peut faire toutes les valeurs entre 1 et 100 avec au plus deux jetons en utilisant seulement 16 valeurs de jetons différentes :
par exemple 1,3,4,9,11,16,20,25,30,34,39,41,46,47,49,50.

J'attends un peu pour mettre l'énigme Casino(2/2) mais rassurez-vous, elle sera plus facile.
Merci à ceux qui ont participé à celle-ci.

Posté par borneo borneo

Allez, je m'en doutais... j'ai bien fait de ne pas répondre...

Posté par infophile infophile

Eh beh c'est un carton cette enigme !

Comme borneo j'ai bien fait de ne pas y participer, de toute façon je n'y est pas réussi !

Victor : il y a un raisonnement logique pour aboutir à cela ?

Posté par Razibuszouzou (invité)

Mon premier poisson. Il faut fêter ça, les amis !

C'était vraiment vicieux, ce truc. J'avais pourtant essayé dans cette direction là, mais je n'ai pas trouvé la logique pour établir quels nombres il fallait choisir. Au départ, jusque 20 ou 30, j'avais trouvé plusieurs solutions, mais après c'était trop dur pour moi.  la solution est très jolie. Le croupier a interêt à être bon en calcul mental.

Posté par Razibuszouzou (invité)

A relire mon début de solution, j'avais bon jusqu'à 39. C'est râlant, j'aurais du persévérer un peu...
En fait j'ai abandonné pour des raisons psychologiques : je me suis dit "d'habitude quand ils demandent s'il y a une meilleure solution, c'est qu'il y en a une. Aujourd'hui ils ont voulu chager et présenter une situation où il n'y a pas de meilleure solution, d'autant que l'énigme n'a que 2 étoiles".

Posté par Victor Victor

Désolé Razibuszouzou pour ce premier poisson (même si je suis assez fier que ce soit sur une de mes énigmes ).
C'est vrai que j'ai un peu brouillé les pistes avec les deux étoiles en difficulté mais pour être honnête, j'ai vu la solution de cette énigme avant d'avoir essayé de la chercher réellement ; ensuite quand j'ai essayé de la résoudre tout seul, j'avais déjà pas mal d'indication sur ce que l'on cherchait.
La solution que j'ai indiqué permet d'aller jusqu'à 100 uniquement mais on peut en trouver d'autres.
En voilà une autre qui permet d'aller jusqu'à 104 toujours avec 16 jetons :
1;3;4;5;8;14;20;26;32;38;44;47;48;49;51;52.
Pour répondre à infophile, il n'y a pas vraiment de raisonnement logique, c'est principalement du tâtonnement. Une difficulté supplémentaire pour cette énigme serait de démontrer l'optimalité de cette réponse et ça, je ne sais pas si cela a été démontré. En tout cas, 16 jetons semblent être le minimum.

@+

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

100% de poissons, ça jette tu égales le record de J-P avec son énigme du sultan (avec néanmoins 21 participants).

D'ailleurs, je trouve inadmissible qu'il y aît 100% de poissons donc, comme ma réponse s'approche le plus du minimum,
je propose d'échanger mon contre un ? Comment ça "pas d'accord" ?

Les solutions proposées sont vraiment admirables !
Bravo pour cette bien belle colle qui finalement ne nécessitait aucune connaissance particulière (à part l'addition ).
Chapeau !

_{PS: Tu as bien raison d'attendre pour Casino(2/2)... il faut qu'on digère celle-ci}

Posté par manpower manpower

J'oublais... merci de nous avoir prouvé que personne n'est infaillible,
même Razibuszouzou malgré une série d'au minimum 56 énigmes résolues sans faute (et sans en écarter).
On ne peut qu'applaudir Razibuszouzou pour cet exploit... et Victor son tombeur !

_{PS: Victor, Nettoyeur ? ... personne ?}

Posté par Lopez Lopez

eh bien, quelle hécatombe !!

Bravo Victor, que de poissons !

Posté par philoux (invité)

Félicitations à manpower qui mériterait un ... poisson sourrillant !

Il est en effet le seul à être descendu sous la barre des 18 !

Ayant cherché cette énigme sans pouvoir descendre sous cette fatidique barre, je n'ai pas posté car j'étais cependant convaincu de "ça devait le faire". Mais, sans méthode, l'examen des cas possibles devenait très lourd.

De là à lire que ça pouvait se faire avec 16 jetons ! je comprends ton désarroi, manpower

A noter aussi que si Victor n'avait pas fourni une ébauche de solution pour expliquer l'énoncé, nous aurions été plus à répondre 18 jetons et que la distribution de eut été plus généreuse
Que va être le casino 2/2


Etonnant aussi que des programmeurs fous (joke) n'ai pas fait tourné leur machine pour tenter tous les cas, exhaustivement.
Une série de n boucles imbriquées (n<18) devrait nous donner la/les réponses...
Si j'avais su le faire, je l'aurai tenté mais avec un à la clé car je n'aurais pas imaginé qu'on puisse descendre à 16 !

Bravo à toi, manpower !

Philoux

Posté par paysan77 (invité)

comment faites vous avec un 1 et un 3 pour faire 2 sans faire une sousstraction je comprend pas car dans la reponse du moderateur il y a  1 3 .... mais il est impossible de faire 2 peut on m'exppliquer?

Posté par philoux (invité)

Bonsoir paysan77

2 = 2 jetons 1

Comme dit l'énoncé : ...avec 1 ou 2 jetons (non nécessairement différents).

Philoux

Posté par Nofutur2 Nofutur2

J'ai essayé en faisant des choix (p= de 1 à 16) parmi les n premiers nombres et en essayant d'en déduire les autres  et ne n'avoir à en rajouter que 16-p à la liste) .
Pour n=25, on a
10 nombres : 1 3 4 7 8 9 16 17 21 24 qui permettent de déduire les autres en y ajoutant 6 autres : 35 46 57 68 79 90.
C'est la seule solution..
Si on augmente n, il faut des ressources informatiques trop importantes .. avec ce programme du moins.!!!
Bref, il fallait être très fort pour trouver les 16 valeurs...

Posté par paysan77 (invité)


je suis d'accord mais alors ca rajoutte un jeton de 1 car dans la solution il n'y a pas deux jeton de 1 no?????

Posté par philoux (invité)

>paysan77

Le croupier a , comme tout croupier :
- autant de jetons de valeur 1,
- autant de jetons de valeur 3,
...
qu'il veut (mais il n'a pas de jetons de valeur 2 !)

Comme une banque a :
- autant de billets 10 €,
- autant de billets 20 €,
...
qu'elle veut (mais elle n'a pas de billets 15 € !)

Philoux

Posté par paysan77 (invité)

ah d'accord voila le truc je te remercie je me coucherai moins bete