Posté par
piepalm piepalm
Pour essayer de simplifier le dénombrement, on commence par remarquer que les 1 ne peuvent être utilisés que par paquets de 5: en en utilisant 0, 5, ...,100, on voit que le nombre cherché est égal à la somme des nombres de façons de faire 100, 95, ..., 5, 0 avec des jetons de 50, 25, 10 et 5. Par ailleurs, il suffit de recenser les combinaisons de 50 et 25 avec un maximum (p) de 10, et on en déduit p+1 solutions en convertissant tout ou partie des jetons de 10 en jetons de 5 (on indiquera entre parenthèses le nombre de solutions engendrées).
Ainsi 100=2*50 (1) =50+2*25 (1) =50+25+2*10+5 (3) =50+5*10 (6) =4*25 (1)
=3*25+2*10+5 (3) =2*25+5*10 (6) =25+7*10+5 (8) =10*10 (11) soit 40 solutions
De même 95=50+25+2*10 (3) =50+4*10+5 (5) =3*25+2*10 (3) =2*25+4*10+5 (5)
=25+7*10 (8) =9*10+5 (10) soit 34 solutions
Pour 90=50+25+10+5 (2) =50+4*10 (5) =3*25+10+5 (2) =2*25+4*10 (5)
=25+6*10+5 (7) =9*10 (10) soit 31 solutions
Pour 85=50+25+10 (2) =50+3*10+5 (4) =3*25+10 (2) =2*25+3*10+5 (4)
=25+6*10 (7) =8*10+5 (9) soit 28 solutions,
80=50+25+5 (1) =50+3*10 (4) =3*25+5 (1)=2*25+3*10 (4) =25+5*10+5 (6)
=8*10 (9) soit 25 solutions,
75=50+25 (1) =50+2*10+5 (3) =3*25 (1) =2*25+2*10+5 (3) =25+5*10 (6)
=7*10+5 (8) soit 22 solutions,
70=50+2*10 (3) =2*25+2*10 (3) =25+4*10+5 (5) =7*10 (8) soit 19 solutions,
65=50+10+5 (2) =2*25+10+5 (2) =25+4*10 (5) =6*10+5 (7) soit 16 solutions,
60=50+10 (2) =2*25+10 (2) =25+3*10+5 (4) =6*10 (7) soit 15 solutions
55=50+5 (1)=2*25+5 (1) =25+3*10 (4) =5*10+5 (6) soit 12 solutions
50=50 (1) =2*25 (1) =25+2*10+5 (3) =5*10 (6) soit 11 solutions
45=25+2*10 (3) =4*10+5 (5) soit 8 solutions
40=25+10+5 (2) =4*10 (5) soit 7 solutions
35=25+10 (2) =3*10+5 (4) soit 6 solutions
30=25+5 (1) =3*10 (4) soit 5 solutions
25=25 (1) =2*10+5 (3) soit 4 solutions
20=2*10 soit 3 solutions
15=10+5 soit 2 solutions
10=10 soit 2 solutions
5=5 soit une solution
sans oublier la solution composée de 100*1
Soit 40+34+31+28+25+22+19+16+15+12+11+8+7+6+5+4+3+2+2+1+1
=292 solutions