Palindromes en bataille

Posté par Keron Keron

Bonjour.

J'ai un petit exercice, pas trop difficile je pense, qui tient en une seule phrase : Trouvez le 199^e palindrome. D'une façon plus générale, on peut avoir une méthode permettant de trouver le n^ème palindrome.

Autres questions : 999999 est le palindrome numéro combien ? Quel est le 254^e palindrome ?

Pour ceux qui ne savent pas ce qu'est un palindrome : c'est un nombre, un mot, ou tout autre ensemble de caractères, qui peut s'écrire en inversant l'ordre caractères (le premier devient le dernier, le deuxième l'avant-dernier, etc). Par exemple, 525 est un palindrome, comme "BOB" ou même "engage le jeu que je le gagne"...

PS : 0, 1, 2...9 sont considérés comme des palindromes.

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour Keron.

Posté par Keron Keron

Pour le raisonnement de Eric1, je peux l'expliquer, puisque c'est celui que j'ai utilisé, mais par contre, je ne comprend pas très bien ce que plumemeteore a fait. Pourrais-tu m'expliquer ? (tu as du écrire 210^2p à la place de 2*10^2p...)

Posté par Keron Keron

En fait, je crois que j'ai compris ce qu'a fait plumemeteore :

On considère qu'il y a 9*10^x-1 palindromes ayant x chiffres (un chiffre répété deux fois ne compte que pour un), plus le zéro pour les palindromes de la forme A (un seul chiffre).
Par exemple, pour les palindromes de la forme ABCCBA ou ABCBA, il y a 3 chiffres (A, B et C), 9 possibilités pour A, 10 pour B (le zéro en plus) et 10 pour C, soit 9*10² possibilités.
De 0 jusqu'à 10^2x-1 (99...9, soit x fois le chiffre 9), on a donc la somme des nombres de palindromes avec de 1 à x chiffres (un chiffre ne compte pas s'il est en double), soit 1 _{(pour le zéro)} +2*(9*10⁰+9*10¹+...+9*10^x-1).
Or, on remarque que 9+90+900+...+9*10ⁿ=10ⁿ⁺¹-1. Donc, 1+2*(9+90+...+9*10^x-1)=1+2*(10^x-1)=2*10^x-1.

Au final, on a donc de 0 à 10^2x-1, un nombre de palindromes égal à 2*10^x-1.


PS :
-> L'étude des palindromes en langage formel doit être rudement complexes !!
-> Si tu n'a pas eu ce raisonnement, peux-tu me le donner, s'il te plait ?