Niveau Maths sup

Montrer qu'une fonction contractante admet un unique point fixe.

Posté par
vsa 17-04-11 à 16:47

Bonjour,

J'étudie le corrigé d'une démonstration que l'on a faite en cours et je tombe sur la question du titre :

Montrer qu'une fonction contractante admet un unique point fixe f(a)=a.

Pour ce faire on a déterminé une suite u(n) convergente en a et telle que f(u(n))=u(n+1).
Ensuite, on a montré que :

Comme |u(n+1)-u(n)| = |f(u(n))-f(u(n-1)|

On a par définition de la fonction lipschitzienne.

|u(n+1)-u(n)| =< k|u(n)-(u(n-1))|

De là, on a dit qu'il y avait une récurrence à faire pour montrer que

|u(n+1)-u(n)| = |f(un)-u(n)| =< k^n|u(1)-u(0)|

Puis on a fait tendre n vers +inf pour en déduire le point fixe.

Mon problème se trouve dans la récurrence. On ne l'a pas faite pour ne pas perdre de temps, mais je n'arrive pas à la faire. Pourriez-vous m'aider ?

Merci par avance et bonnes vacances à ceux qui y sont déjà !

Posté par re : Montrer qu'une fonction contractante admet un unique point 17-04-11 à 17:19

Bonjour vsa,

Montrons par récurrence que $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} ||u_{n+1}-u_n||\leq k^n||u_1-u_0||$

Pour $n=0$ on a $\displaystyle ||u_1-u_0||\leq k^0||u_1-u_0||$

Soit $n \in \mathbb{N}$ quelqconque fixé, on suppose que $\displaystyle ||u_{n+1}-u_n||\leq k^n||u_1-u_0||$

On a $\displaystyle ||u_{n+2}-u_{n+1}||=||f(u_{n+1})-f(u_n)||\leq k||u_{n+1}-u_n||$ car f est k-contractante
Donc $\displaystyle ||u_{n+2}-u_{n+1}||\leq k\times k^n||u_1-u_0||$ par hypothèse de récurrence

Ainsi $\displaystyle ||u_{n+2}-u_{n+1}||\leq k^{n+1}||u_1-u_0||$ ce qui satisfait l'hypothèse de récurrence au rang $n+1$

Conclusion: $3$ \displaystyle \fbox{\forall n \in \mathbb{N} ||u_{n+1}-u_n||\leq k^n||u_1-u_0||}$

Un exercice des plus classiques, à comprendre et savoir refaire en temps limité

Posté par re : Montrer qu'une fonction contractante admet un unique point 17-04-11 à 19:49

Merci ! Notre prof nous a en effet prévenu que cette fonction tombait systématiquement aux concours. Mais là, je n'arrivais simplement pas à trouver le point de départ de la récurrence pour une raison que j'ignore .

Posté par Unicité du point fixe 25-04-11 à 12:38

Bonjour,
J'ai travaillé sur le même exercice ^^, et je ne sais pas comment prouver l'unicité du point fixe.
Pourriez vous m'aider ?

Merci d'avance

Posté par re : Montrer qu'une fonction contractante admet un unique point 25-04-11 à 14:19

Bonjour,

Suppose que u et v sont deux points fixes distincts. Que peux-tu dire de la distance entre f(u) et f(v) ?

Posté par re : Montrer qu'une fonction contractante admet un unique point 25-04-11 à 14:22

Bonjour,

Méthode classique, on va supposer qu'il existe deux points fixes distincts, et on va montrer qu'ils sont en réalité égaux.

Citation :
Montrons que $f$ admet un unique point fixe

Soit $x$ et $y$ deux points fixes de $f$

On a alors, puisque $f$ est $k$ contractante $||f(x)-f(y)||\leq k||x-y||$

Or $x$ et $y$ sont des points fixes donc $f(x)=x$ et $f(y)=y$

Donc $||x-y||\leq k||x-y||$

cad $0\leq (k-1)||x-y||$

Donc (puisque $0<k<1$ ) $||x-y||=0$

Et puisque $||\quad ||$ est définie $\underline{x=y}$

Conclusion $3$ \fbox{\textrm Si f est k-contractante alors f admet un unique point fixe}$

Voilà encore une fois exo très classique !!

Posté par re : Montrer qu'une fonction contractante admet un unique point 25-04-11 à 14:36

Gogodu28, pourquoi ne laisses-tu pas les intervenants chercher par eux-mêmes, à partir d'une petite indication ? Le but n'est pas d'étaler sa science, me semble-t-il...

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