Anniversaires.

Posté par J-P J-P

Monsieur et Madame Tartempion ont 6 enfants, et le hasard a voulu qu'il soit tous nés un 23 juin.

Ce 23 juin, toute la famille est donc réunie pour fêter l'anniversaire de tous les enfants.

Monsieur Tartempion, mathématicien et informaticien dans l'âme, remarque qu'en multipliant l'âge de l'un des enfants par la somme des âges de ses 5 autres enfants, il trouve respectivement les nombres suivants:

108, 145, 225, 339, 385, 3E8. Mais en habitué de l'informatique, il a exprimé ces nombres en hexadécimal.


Pourriez-vous retrouver l'âge des 6 enfants ?

Donner ces âges (en décimal (base 10)) par ordre croissant.
-----
Bonne chance à tous.

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Réponse proposée : 4, 5, 9, 15, 17, 20 ans

Merci pour l'énigme

Le développement suit

Philoux

Posté par Razibuszouzou (invité)

Transcrivons tout d'abord les nombres en base 10.

108 signifie 256 + 8 = 264
145 signifie 1*256 + 4*16 + 5 = 325
225 signifie 2*256 + 2*16 + 5 = 549
339 signifie 3*256 + 3*16 + 9 = 825
385 signifie 3*256 + 8*16 + 5 = 901
3E8 signifie 3*256 + 14*16 + 8 = 1000

Soient a, b, c, d, e et f les âges des enfants.
On a donc un système de 6 équations à 6 inconnues, qui admet une solution unique :
a*(b+c+d+e+f) = 264
b*'a+c+d+e+f) = 325
c*(a+b+d+e+f) = 549
d*(a+b+c+e+f) = 825
e*(a+b+c+d+f) = 901
f*(a+b+c+d+e) = 1000

On remarque que :
264 est divisible par 4 : 264 = 4*66
325 est divisible par 5 : 325 = 5*65
549 est divisible par 9 : 549 = 9*61
825 est divisible par 15 : 825 = 15*55
901 est divisible par 17 : 901 = 17*53
1000 est divisible par 20 : 1000 = 20*50

Nous avons ainsi de fortes présomptions pour que a = 4, b = 5, c = 9, d = 15, e = 17 et f = 20.
Vérifions avec les sommes :
b+c+d+e+f = 66
a+c+d+e+f = 65
a+b+d+e+f = 61
etc...

Tout colle parfaitement. Les âges des enfants sont :
4 ans, 5 ans, 9 ans, 15 ans, 17 ans et 20 ans.

Posté par philoux (invité)

Re

traduction hex en dec : 264, 325, 549, 825, 901, 1000

Soient a, b, c, d, e et f les âges et S la somme des âges (a+b+..+f)
On a alors :
a(S-a)=264
...
f(S-f)=1000

décomposons en facteurs premiers, les nombres dans l'ordre :
2^3x3x11
5²x13
3²x61
3x5²x11
17x53
2^3x5^3

Comme les nombres sont des âges, 3²x61 ne peut correspondre qu'à c=3²=9 et S-c=61 => c=9 et S=70
Ceci est confirmé par 17x53 => e=17 et S-e=53 => S=70
On trouve ainsi puisque la fonction -x²+Sx est croissante sur 0,S/2 des nombres en progression croissante :
a=4, b=5, c=9, d=15, e=17 et f=20

Bien entendu, on vérifie que la somme de ces âges fait bien 70 ce qui permet d'éliminer les solutions duales (a=4 ans et non a=66 ans...)

Bon(s) z'anniverssaires aux enfants !

Au fait Savez-vous comment se prénomment les 6 enfants (3 filles, 3 gars) :
Eva, Aude, Anne, Marc, Sanson, Bob,
(_{à lire rapidement})

Posté par SquaL SquaL

Bonjour,

Les 6 enfants de Monsieur et Madame Tartempion ont respectivement pour âge:

.

Merci pour l'énigme.

Posté par titibzh titibzh

Alors en base 10 et dans l'ordre croissant,
4 - 5 - 9 - 15 - 17 - 20

Posté par mauricette mauricette

bjr !!!


4 ans
5 ans
9 ans
15 ans
17 ans
20 ans


merci !

Posté par lyonnais lyonnais

salut J-P et bonjour à tous :

Alors tout d'abord, merci J-P, tu m'a fais connaître une nouvelle base ( la base 16 ) grâce à CE site :


Conversion hexadécimale vers décimale :

108  ->   4224
145  ->   5200
225  ->   8784
339  ->   13200
385  ->   14416
3E8  ->   16000

Posons :

x = âge premier enfant
y = âge du second enfant
z = âge du troisuème enfant
t = âge du quatrième enfant
u = âge du cinquième enfant
v = âge du sixième enfant

Il nous faut donc résoudre le système suivant :



système de 6 équations à 6 inconnus qu'il est possible de résoudre.

On trouve finalement :

x = 16 ans
y = 20 ans
z = 36 ans
t = 60 ans
u = 68 ans
v = 80 ans

j'ai surement du me tromper quelque part ( à cause du 80 ans ) mais je ne vois pas où

En tout cas, si j'ai bon, Monsieur Tartempion doit commencer à se faire vieux ( autour des 100 ans )

@+ sur l'
lyonnais

Posté par Nofutur2 Nofutur2

On remarque assez facilement que les âges sont dans le même ordre que le produit de l'âge par la somme des autres
exemple : si a*(b+c+d+e+f) = 264 , a sera le plus petit .. et ainsi de suite.
Si on décompose les valeurs obtenues en base 10 en nombres premiers, on trouve assez rapidement e=17, b=5 et c=9.
On obtient 3 valuers possibles pour d+f, et la seule possible est 35, donc a =4.
Puis d=15 et f=20.
Résultat :a=4, b=5, c=9, d=15, e=17 et f=20.

Posté par StephDhid (invité)

Les enfants ont 4 ans, 5 ans, 9 ans, 15 ans, 17 ans et 20 ans.

Posté par gaelmessager (invité)

bon je trouve dans l'ordre croissant:
4 ans 5 ans 9 ans 15 ans 17 ans 20 ans (chapeau pour la mère pour le 6 fois 23 juin elle s'est gavée) parcontre je crois pas que cette énigme est du niveau seconde mais bon sympas tout de même.

Posté par jo15 (invité)

1ere difficulté : transformer l'hexadécimal en décimal
Solution : la calculatrice Windows (l'un des rares programmes pour lequel je n'ai jamais rencontré de bugs !)

Cela nous donne : 264, 325, 549, 825, 901 et 1000

2eme difficulté : trouver la solution demandée
Solution : se creuser un peu la tête (c'est bête, mais il fallait y penser !)

On notera a, b, c, d, e et f les âges recherchés.
Les âges étant des entiers, on va tenter la décomposition.

Je passe les détails : 901 ( = 17 x 53 ) est le seul nombre décomposable en 2 facteurs premiers (car 1 n'est pas premier, mais c'est un autre débat !).

On déduit que a+b+c+d+e+f = 17+53 = 70.
Puis on résoud les équations :
-> a x (70 - a) = 264
-> b x (70 - b) = 325
-> c x (70 - c) = 549
-> d x (70 - d) = 825
-> e x (70 - e) = 901
-> f x (70 - f) = 1000

Chaque équation admet 2 solutions :
-> a =  4 ou 66
-> b =  5 ou 65
-> c =  9 ou 61
-> d = 15 ou 55
-> e = 17 ou 53
-> f = 20 ou 50

Les seules valeurs qui vérifient a+b+c+d+e+f = 70 sont donc, dans l'ordre :
  4, 5, 9, 15, 17 et 20

Posté par papanoel (invité)

Salut,
Les ages sont les suivant:
4,5,9,15,17 et 20
@+
PS:merci matlab et sa resolution d equation non lineaire

Posté par gabs4556 (invité)

bonjour,
alors par ordre croissant ca donne :
4 ans , 5 ans , 9 ans , 15 ans , 17 ans et 20 ans
A plus

Posté par deep blue (invité)

4 ans
5 ans
9 ans
15 ans
17 ans
20 ans

Posté par chrystelou (invité)

Bonjour,

Pour commencer, je convertis les hexadécimaux en décimaux :







L'âge des 6 enfants est :







On a bien :

Posté par Fractal Fractal

Salut,
Les enfants ont respectivement 4,5,9,15,17 et 20 ans.

Posté par manpower manpower

Bonjour,

Avec E=14, la conversion en base décimale donne dans l'ordre les nombres : 264,325,549,825,901 et 1000.

Les décompositions en facteurs premiers sont :







La décomposition de 901 impose un âge égal à 17 et une somme restante ègale à 53.
Ainsi, un enfant est âgé de 17 ans et la somme totale est de 70 ans.
Le reste se résout très rapidement, soit à partir de déduction via les décompositions (dans l'ordre 549,325,1000 et les deux dernières par exemple) soit (moins fin) via des équations polynomiales du second degré (du type d'où a=4...)

Conclusion: Les âges, par ordre croissant, des mômes Tartempion sont :

Merci pour l'énigme.

Posté par franz franz

        

Posté par Lopez Lopez

alors cela fait une famille nombreuse !!!

donc l'âge des enfants du  plus jeune au plus vieux : (en base 10)
4 ans , 5 ans , 9 ans , 15 ans , 17 ans et 20 ans

Posté par cinnamon cinnamon

Salut, voici ma réponse : les âges des enfants de M. Tartempion sont
.

Pour parvenir à ce résultat, j'ai d'abord converti les résultats de M. Tartempion en base 10... puis j'ai obtenu le système suivant (en appelant a,b,c,d,e et f les différents âges des enfants et en posant a<b<c<d<e<f) :

a(b+c+d+e+f) = 264
b(a+c+d+e+f) = 325
c(a+b+d+e+f) = 549
d(a+b+c+e+f) = 825
e(a+b+c+d+f) = 901
f(a+b+c+d+e) = 1000

J'en ai déduit que a divise 264, b divise 325,...etc
J'ai fait ensuite la décomposition en facteurs premiers de 264,325,549,825,901 et 1000.  J'ai déduit de mes décompositions ceci :
- b,c,d et e sont impairs donc b+c+d+e est pair
- e = 17 (je me suis dit que les âges devaient en gros être inférieurs à 30 et comme 901 = 17 *53, j'ai pris e = 17, c'est pas très mathématique mais bon...).
Ensuite comme 1000 = 2³*5³, je me suis dit que f = 20 ou f =25...(même raisonnement pas très mathématique).
Ensuite, j'ai beaucoup tatonné... A partir de mes décompositions, j'ai sélectionné les valeurs qui me paraissaient "possibles" pour chaque âgeen tenant compte de la parité et du fait que je voulais des âges croissants.
J'ai donc testé ce que je trouvais sur la première équation et par chance le premier résultat qui vérifiait la première équation vérifiait aussi les autres équations du système...


à +

Posté par piepalm piepalm

Les enfants ont 4, 5, 9, 15, 17 et 20 ans.
Les produits hexadécimaux ont des valeurs décimales de:
264=4*66
325=5*65
549=9*61
825=15*55
901=17*53
1000=20*50

Posté par SAKDOSS SAKDOSS

Les 6 enfant ont 4 - 5 - 9 - 15 - 17 et 20 ans

Posté par Yalcin (invité)

BOnjour
On pose
a(b+c+d+e+f)=264=(2^3)*3*11
b(a+c+d+e+f)=325=(5^2)*13
c(a+b+d+e+f)=549=(3^2)*61
d(a+b+c+e+f)=825=3*(5^2)*11
e(a+b+c+d+f)=901=17*53
f(a+b+c+d+e)=1000=(2^3)*(5^3)
Donc on a :
264/a-b=325/b-a
549/c-d=825/d-c
que des équations .....
En plus avec 17*53 et 9*61 , on voit que 17 et 9 sont des âges des deux enfants , car ils ne peuvent avoir ni 61 ans ni 53 ans.
etc........
et on arrive à
4,5,9,15,17,20
Cordialement Yalcin

Posté par DiabloBoss (invité)

Ils ont : 4 / 5 / 9 / 15 / 17 / 20 ans

Posté par touran (invité)

4 ans 5 ans 9 ans 15 ans 17 ans et 20 ans

Posté par Shadyfj (invité)

4-5-9-15-17-20

Posté par lyonnais lyonnais

Re

je viens de m'appercevoir ( grâce à une personne que je remercie ) que j'avais mal traduit les hexadécimal en décimal

108, 145, 225, 339, 385 et 3E8 hexadecimal correspondent en fait à 264, 325, 549, 825, 901 et 1000 décimal.

ceci change donc le système et à la fin on trouve que les âges des enfants sont de 4 , 5 , 9 , 15 , 17 , 20

Ce qui semble un peu plus logique lol

merci pour le

@+
lyonnais

Posté par paulo paulo

bonsoir

tout cela est un peu loin mais apres quelque tatonnements les ages des enfants de monsieur et madame Tartempion sont en base 10 et en ordre croissant :


          4 , 5 , 9 , 15 , 17 , 20


en fait le premier a trouver est celui qui a 17 ans puis vient celui de 9 ans et les autres par deduction.

salutations,

je crois que je suis a jour

PAULO

Posté par J-P J-P

Enigme clôturée.

Un moyen rapide de trouver était:

La transformation des 6 nombres hexadécimaux en décimal donnait: 264, 325, 549, 825, 901 et 1000

On a 901 = 53 * 17 avec 53 et 17 des nombres premiers.
Donc soit un des enfants à 17 ans, soit 53 ans mais on sait que la somme des âges de tous les enfants est 17 + 53 = 70.

On doit donc décomposer chacun des 6 nombres en un produit de 2 facteurs a et b tel que:
a*b = N (N étant un des 6 nombres)
a+b = 70

La résolution du système donne :
et

En remplaçant N successivement par les 6 nombres, on a directement:

264 = 4*66
325 = 5*65
549 = 9*61
825 = 15*55
901 = 17*53
1000 = 20*50

Dont on déduit facilement l'âge des enfants: 4, 5, 9, 15, 17 et 20
-----

Pour manpower,

Je viens de voir par hasard, une question que tu m'avais posée il y a un petit temps et qui m'avait échappé.

C'était: "PS: Au fait J-P, et ta finale des championnats des Jeux Mathématiques ?"

Je réponds avec un peu de retard:

Ce jour là, un samedi, je n'ai pas eu le courage de faire les 300 km aller-retour pour me rendre à l'endroit où se déroulait la finale, j'ai préféré partager un bon gueuleton avec ma famille.

Il faudra que j'essaie d'avoir les questions qui y ont été posées et j'en chercherai les solution calmement chez moi pour le fun.

@+
-----

Posté par lyonnais lyonnais

bon ba voila : une seule personne a eu un poisson et devinez qui c'est : c'est moi

Que d'erreurs d'inatention dans ces énigmes ... je sui totalement déprimé, bien que ce ne sois qu'un jeux

@+ sur l'
lyonnais

Posté par SAKDOSS SAKDOSS

Merci pour l'énigme qui m'a forcé a demandé gentiment a mon frere qu'il m'explique ce que c'est que l'hexadécimal !

...sisi je savais pas

Posté par infophile infophile

Bonjour

--> Moi j'ai du ressortir le cahier de MPI

--> C'est bête je n'avais pas remarqué la division possible , car en essayant de résoudre le système je me suis un peu emmelé les pinceaux

Merci

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

Merci pour ta réponse J-P.
D'ailleurs si tu dégottes une version électronique des questions, je suis preneur même si je n'ai pas encore regardé les demi-finales.

_{PS: Un bon gueuleton, ça se refuse difficilement... tu as raison !}

Posté par J-P J-P

Manpower,

Les questions sont disponibles ici:

Posté par J-P J-P

Manpower,

J'ai oublié de le préciser, si pour certaines questions, il y a plusieurs solutions possibles, il faut en général en donner 2 et donner aussi le nombre total de solutions possibles.

Les calculettes et syllabus divers sont interdits (ce qui exclut l'utilisation dans les résolutions de logarithmes ou fonctions trigonométriques ... sauf bien-entendu celles qu'on est sensé connaître par coeur).

Bon amusement.

Posté par lolo5959 lolo5959

Merci infophile! C'est gentil à toi d'y avoir pensé
ça fait 10 min que je me demande comment tu savais la date, mais je viens de me rappeler que j'avais répondu à ton sondage

Pendant que j'y suis, bonnes vacances à tous,je ne vais plus venir ici pendant un 'tit moment (appro BAFA suivi de colo avec des petits nenfants...)et bon séjour aux Baléares pour celui qui y va

@+

Posté par infophile infophile

Eh eh !

De rien

Tu nous quittes ?

M'enfin c'est très bien de s'occuper des nenfants , passe de bonne vacances et si on te revois pas cet été : A l'année prochaine

Pour les baléars il n'y a pas de soucis ca risque d'être génial !

Merci

@+ sur l'
Kevin