Bonjour.

Qu'as tu fait pour la question 1 ? As-tu au moins essayé d'écrire ce qu'il faut prouver ? Il suffit d'écrire ce que l'on cherche et d'utiliser l'hypothèse de réversibilité.

PS : Je ne voudrais pas paraître désagréable, mais je pense qu'une des raisons pour lesquelles tes demandes d'aides n'ont pas beaucoup de succès, outre le fait qu'il n'y a pas beaucoup de probabilistes sur ce site, vient du fait que tu ne dis pas explicitement ce que tu as cherché, et que tu sembles attendre une correction sans avoir cherché, même si ce n'est certainement pas le cas.

Merci,vous avez raison, mais je mets toujours mes énoncés avant de commencer à chercher,
car ca m'a souvent aidé à mieux voir les choses demandées.
C'est vrai que cela n'est pas la meilleure manière à faire...

Pour répondre....
J'ai prouvé le 1) et pour le 2) je suis en train d'essayer d'utiliser la propriété de Markov

Ok le 2) j'ai fait:

et puis on utilise la réversibilité.
J'ai toujours des problèmes à trouver des exemples, avez-vous une idée?

Ok pour les 2 premières questions.

Pour la 3ème, si on écrit les équations explicitement pour , on obtient .
Est-ce que tu ne vois pas un choix judicieux des coefficient de de façon à ce que ces équations impliquent ?

Merci
Dans les équations, les termes n'interviennent pas!
Donc peut-on prendre la matrice identité?

Pour la 4.
je distinque les deux cas, je voulais essayer d'argumenter avec l'unicitè de la proba invariante mais pour cela il fallait qu'il n'y a qu'une seule classe de communication récurrente.

On a bien que 0 car m est une mesure positive, mais après je sais pas comment trouver la réversibilité?!

La matrice identité ne va pas convenir, elle est réversible, puisque n'importe quelle mesure convient ...
Pour forcer les coefficients à être nuls, il faut bien au contraire choisir convenablement les valeurs des coefficients de A qui interviennent dans le système, comment veux-tu faire, autrement ?

Pour la 4), écris explicitement le système pour trouver les coefficients . Il est relativement particulier et simple à résoudre.

pour la 3) je vais encore voir demain...

pour la 4) j'ai écrit le système
et il me reste que  
                    
                    
                   etc. car pour les autres on trouve un coefficient 0
Mais comment est-ce que je montre que p.ex.

Le système qu'on obtient dans 4) est

Comme tous les coefficients qui apparaissent ici sont non nuls par hypothèse, on peut en partant du bas, exprimer en fonction de , puis en fonction de (et donc en fonction de ) etc
Conclusion, tous les s'expriment en fonction de , et en prenant on obtient une solution admissible.

Ok j'ai fait le 3) et pour le 4) j'ai aussi trouvé en fonction de
Mais le système que vous avez écrit, n'est-ce pas le système de révesibilité?
Mais on doit en fait montrer que P réversible si on a les deux propriétés

Pour le 5)
Est-ce qu'il suffit de dire que x et x' sont des voisins et donc |x-x'| =1 et P(x,x')> 0
et donc P est réversible?!

l'exo continue encore et j'ai encore des problèmes, mais j'ai déja cherché.

S.q. E un réseau électrique muni d'une fonction K t.q. K(x,y)=K(y,x) x,y E
Soit C(x) = K(x,y) et s.q. C(x) > 0
On a A(x,y)= K(x,y)/C(x) x,y E
On s.q P est irréductible!

6) M.q. A est réversible.
j'ai essayé de travailler avec la symétrie mais il y a un probleme avec la somme!
mA = A(x,y) = K(x,y)/C(x) = K(y,x)/C(x)  
Est-ce que j'introduis encore la somme C(x) ou ai-je fait une faute?

7) Fixons 2 parties de E, A et B, disjointes non vides de temps d'atteinte et et posons x E  V(x) =
   M.q. V vérifie sur E\(AuB): V = PV
Je regarde V comme une matrice colonne
mais si je travaille sur E\(AuB), ni A ni B n'est atteinte?!
   Que vaut V sur AuB?
J'ai essayé d'utiliser la propriété de Markov forte,mais j'ai pas encore trouvé un résultat

Je vous remercie déjà pour votre aide et j'espère que vous pouvez encore me donner quelques indications.