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Joute n°25 : L’addiplication

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
28-04-11 à 10:04

Bonjour à tous,

Après avoir péniblement inculqué les notions d'addition et de multiplication à Jacquouille la fripouille (voir ici Joute n°8 : Jacquadomia), le frère Carl Friedrich, un éminent moine mathématicien allemand, essaye de lui apprendre à manier les nombres décimaux.

Il lui donne donc 3 nombres comportant chacun un ou deux chiffres après la virgule et lui demande d'en faire le produit.
Précision : les chiffres après la virgule ne sont pas égaux à zéro tous les deux.

Mais Jacquouille trouve cela trop difficile et il se contente de les additionner avant d'annoncer le résultat (sans montrer comment il a fait) : 6,42.
On suppose évidemment que l'addition est juste.

A sa grande surprise, le frère Carl Friedrich le félicite pour avoir trouvé si rapidement le résultat.

Question : quels sont les 3 nombres utilisés ?


Joute n°25 : L’addiplication

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°25 : L’addiplication 28-04-11 à 10:27

gagnéJ'ai trouvé 1,07 - 1,60 - 3,75.

Posté par
totti1000
re : Joute n°25 : L’addiplication 28-04-11 à 10:35

gagnéBonjour godefroy,

Les trois nombres sont :
1,07
1,6
3,75

Merci.

Posté par
evariste
re : Joute n°25 : L’addiplication 28-04-11 à 11:02

gagné1,07
1,60
3,75

Posté par
LeDino
re : Joute n°25 : L’addiplication 28-04-11 à 13:06

gagnéBonjour,

Les trois nombres sont :  
1,07
1,60
3,75


La solution est unique.
Merci pour cette pause café ...

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°25 : L’addiplication 28-04-11 à 13:08

gagnéBonjour Godefroy.
Les trois nombres sont 3,75 ; 1,6 ; 1,07.

Posté par
Daniel62
re : Joute n°25 : L’addiplication 28-04-11 à 13:59

gagnéBonjour godefroy_lehardi

je trouve:  1,07 ; 1,6 ; 3,75

Posté par
dpi
re : Joute n°25 : L’addiplication 28-04-11 à 14:23

gagnéBonjour

je dirai 1.07 1.6 et 3.75

Posté par
caylus
re : Joute n°25 : L’addiplication 28-04-11 à 14:24

gagnéBonjour Godefroy,
Heureusement que 107 est un facteur premier de 642.

Les trois nombres sont 1,6 ; 3,75 et 1,07 .
Merci pour la joute.

Posté par
fravoi
re : Joute n°25 : L’addiplication 28-04-11 à 14:33

gagnéLes trois nombres utilisés sont :
1.07   /  1.6  /  3.75

Posté par
geo3
re : Joute n°25 : L’addiplication 28-04-11 à 15:38

gagnéBonjour
Je propose 1.07,   1.6,   3.75
explications : 1 fois n'est pas coutume
x+y+z=6.42
x*y*z=6.42 = 2*3*1.07
et en prenant x=1.07  : y+z = 5.35 et y*z=6.42/1.07 = 6  => y=1.6 et z=3.75
Merci
A+

Posté par
Rodival
re : Joute n°25 : L’addiplication 28-04-11 à 16:37

gagnéBonjour/Bonsoir,

Je pense qu'il n'y a qu'une seule solution (aux permutations près) :
1,07 1,60 3,75

mais je n'ai réfléchi qu'avec des nombres positifs.

Merci pour vos énigmes.

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°25 : L’addiplication 28-04-11 à 18:11

gagnéBonjour Godefroy,

Il n'y a qu'une solution, avec les trois nombres :    1,07    1,6    3,75

Merci à toi.

Posté par
LeDino
re : Joute n°25 : L’addiplication 28-04-11 à 18:15

gagnéJ'ai manqué de temps pour poster la démonstration à midi...
La voici...

Trouver a, b, c, tels que :
a+b+c = 6,42
a.b.c = 6,42

On passe en nombres entiers en notant :
A = 100a, B = 100b, C = 100c
Du coup :
A+B+C = 6420
A.B.C = 64200000

On exploite l'indice "Karl Friedrich" (Gauss)... en décomposant en facteurs premiers.
On voit que :
A+B+C = 107*60
A.B.C = 107*600000

Le produit A.B.C comprend donc au moins un terme multiple de 107 (merci Karl Friedrich).
Posons qu'il s'agit de A.
Dans ce cas, A peut prendre cinq valeurs exactement et pas plus :
1*107, 2*107, 3*107, 4*107, 5*107.

Mais alors, connaissant A, le problème se reformule ainsi :

Trouver B et C, tels que :
S = B+C = 6420 - k*107
P = B.C = 64200000/(k*107) = 600000/k,   (avec k=1,2,3,4,5)

B et C sont alors solution de X²-SX+P (souvenir de seconde).
En remplaçant par les 5 valeurs de k possibles, une seule convient (k=1).
Et donc : A=107, B=160, C=375.
Les valeurs de a, b, c en découlent.

Problème très sympa ...
Dommage qu'il soit également trouvable par tableur ou programmation :
je conjecture que pas mal de réponses passeront à coté de la solution "purement mathématique".

Posté par
Rodival
re : Joute n°25 : L’addiplication 28-04-11 à 19:02

gagnéRe-Bonsour/Bonjoir,

Comme d'habitude, je donne mon raisonnement... s'il peut aider certains

Changeons l'unité au 1/100, la question devient alors :
Trouver 3 entiers a, b et c tels que :
a + b + c = 642
a * b * c = 6420000

Rappel :
Connaissant la somme S et le produit P de deux nombres, on sait que 4P <= S^2

En posant a, on sait que :
b + c = 642 - a
b * c = 6420000 / a
mais aussi que 4 * (b * c) <= (b + c)^2
=> 4 * 6420000 / a <= (642 - a)^2
=> 4 * 6420000 <= a * (642^2 - 2*642*a + a^2)
=> a^3 - 1284*a^2 + 412164*a - 25680000 >= 0
qui n'est vérifié que pour 82 <= a <= 383

Or 6420000 = 2^5*3*5^4*107. Ce qui limite bien le choix des diviseurs possibles.
Un des 3 nombres doit être un multiple de 107.
Supposons que a = 107*k. Alors, 82 <= 107*k <= 383 => 1 <= k <= 3.

Si k = 3, a = 107*k = 321, b+c = 642-a = 321 et b*c = 6420000/a = 20000 = 2^5*5^4
Mais ce n'est pas possible car, avec les facteurs disponibles pour b*c, b et c ne peuvent se terminer que par 0 ou 5, et alors b+c ne peut pas se terminer par 1.

Si k = 2, a = 107*k = 214, b+c = 642-a = 428 et b*c = 6420000/a = 30000 = 2^4*3*5^4
Toujours en n'étudiant que les derniers chiffres (modulo 10), on voit que l'une des valeurs b ou c doit se terminer par 0 et l'autre par 8. Ce qui n'est possible qu'avec le couple de valeurs (2^3 ; 2*3*5^4) = (8 ; 3750) mais qui ne respecte pas la contrainte complète de l'addition b+c = 428.

Finalement, si k = 1, a = 107*k = 107, b+c = 642-a = 535 et b*c = 6420000/a = 60000 = 2^5*3*5^4
Cette fois, l'étude des derniers chiffres montre que l'une des valeurs b ou c doit se terminer par 0 et l'autre par 5. Avec les facteurs disponibles, ceci laisse les couples de valeurs :
(2^5*3*5^3 ; 5) = (12000 ; 5)
(2^5*3*5^2 ; 5^2) = (2400 ; 25)
(2^5*3*5 ; 5^3) = (480 ; 125)
(2^5*5^3 ; 3*5) = (4000 ; 15)
(2^5*5^2 ; 3*5^2) = (800 ; 75)
(2^5*5 ; 3*5^3) = (160 ; 375)
dont on voit facilement que seule la dernière respecte la contrainte complète de l'addition b+c = 535.

En conclusion, cette énigme n'a qu'une possibilité avec des nombres positifs :
a = 107, b = 160 et c = 375
qui, ramenée à l'unité du problème, donne l'unique solution :
1,07 1,60 3,75

Posté par
Rodolphe
re : Joute n°25 : L’addiplication 28-04-11 à 23:32

gagnéBonjour godefroy_lehardi

Après avoir fait tourner mes méninges (j'ai  d'abord pensé qu'il y avait un piège et que deux d'entre eux étaient négatifs !) et algobox, je te propose dans l'ordre croissant pour ces trois nombres :

1,07 puis 1,6 et enfin 3,75

Posté par
castoriginal
Joute n°25 : L’addiplication 29-04-11 à 02:36

gagnéBonsoir,

j'ai trouvé les nombres 1,07  1,60  3,75

bonne nuit

Posté par
ksad
re : Joute n°25 : L’addiplication 29-04-11 à 11:16

gagnéBonjour,
Les chiffres proposés par le frère Carl Friedrich sont :
1.07, 1.6 et 3.75
A bientôt

Posté par
LO_RV
Les trois nombres sont 3,75 ; 1,6 et 1,07 (addiplication 6,42) 30-04-11 à 00:32

gagnéTout d'abord je ramène le problème à une situation où les nombres sont entiers, en multipliant chaque nombre par 100.
Je cherche donc x, y et z entiers vérifiant x+y+z = 642 et x*y*z = 6 420 000

Plusieurs remarques :
1/ l'un des nombres au moins est paire et les deux autres sont de même parité.
2/ x, y et z sont des nombres à trois chiffres donc plus grands que 100 (vu leur produit), non multiples de 100 (d'après l'énoncé), et inférieur à 442. (vu que la somme doit faire 642)
3/ x, y et z sont diviseurs de 6 420 000.
4/ la moyenne arithmétique (x+y+z)/3 = 214 donc l'un des trois nombres au moins est plus grand que 214.

Cela réduit de beaucoup la recherche, parmi les diviseurs de 6 420 000, il ne reste plus déjà que :
107 ; 120 ; 125 ; 150 ; 160 ; 214 ; 240 ; 241 ; 250 ; 321 ; 375 ; 428

Par élimination, en partant du plus grand jusqu'à 214 (pour que la recherche soit plus efficace par soustraction à 642), on trouve rapidement le triplet (375;160;107), dont le produit est celui recherché.

Deux autres triplets (321;214;107) ou (241;241;160) fonctionnent pour l'addition, mais seul celui là permet de trouver le produit cherché.
Il est heureux que le problème posé ait une solution.

On replace le problème dans son contexte et on vérifie.
3,75 + 1,6 + 1,07 = 6,42
3,75 * 1,6 * 1,07 = 6,42

Posté par
frenicle
re : Joute n°25 : L’addiplication 30-04-11 à 07:23

gagnéBonjour Godefroy

Les trois nombres dont la somme et le produit valent 6,42 sont :

3,75
1,60
1,07

Merci pour la joute !

Posté par
ming
addiplication 01-05-11 à 19:45

gagnéune solution

1.07  3.75 1.60

Posté par
Pantagruel
Bonsoir tout le monde 02-05-11 à 01:31

gagnéLa seule solution que je trouve est la suivante:
1.07 + 1.6 + 3.75 = 6.42
1.07 * 1.6 * 3.75 = 6.42
mais comme le zéro ne doit pas figurer après la virgule, donc!!
Raisonnement:
- Nous avons 3 inconnues a,b,et c
- Nous allons supposer "c" et résoudre un système d'équations à 2 inconnues
  a+b=6.42-c (équation 1)et donc a=6.42-b-c
  a*b=6.42/c (équation 2)
- On remplace "c" par les différentes valeurs supposées et on remplace "a" par sa
  valeur de l'équation '1' dans l'équation '2' on obtient une équation du second degré à deux inconnues.

  

Posté par
gloubi
re : Joute n°25 : L’addiplication 02-05-11 à 12:26

gagnéBonjour,

Je dirais 1.07, 1.60 et 3.75.

Merci pour l'énigme.

Posté par
torio
re : Joute n°25 : L’addiplication 02-05-11 à 13:13

gagné1,6     3,75     1,07


A+
Torio

Posté par
anneve
re : Joute n°25 : L’addiplication 03-05-11 à 10:59

perduIl y a plusieurs résultats possibles sauf si il faut que le résultat de la multiplication soit pile 6.42 mais la j'ai pas trouvé

donc je donne deux résultats et on verra bien
0,82*2,72*2,88 = 6,423552
0,82+2,72+2,88 = 6,42

0,9*2,07*3,45 = 6,42735 6,42

Posté par
anneve
re : Joute n°25 : L’addiplication 03-05-11 à 11:01

perduBonjour vu que je n'ai pas su le dire dans le texte d'avant

désolé mon texte c'est posté par erreur

merci tout de même je vais continuer de chercher une réponse plus exacte même si je ne la posterai pas

Posté par
mimsk
re : Joute n°25 : L’addiplication 08-05-11 à 19:20

perdules trois nombres sont:
2,14
2,14
et 2,14

Car ils ont 2 chiffres après la virgule qui ne sont pas égaux à zéro tous les deux.
Pour les trouver, on fait 6,42 divisé par 3(car il y a 3 nombres).On trouve 2,14.Donc 2,14*3=6,42.
Mais comme Jacqouille a fait une addition à la place, pour vérifier on fait 2,14+2,14+2,14=6,42.
Donc les 3 nombres sont 2,14;2,14 et 2,14.
Merci pour l'énigme
mimsk

Posté par
sanantonio312
re : Joute n°25 : L’addiplication 12-05-11 à 11:51

gagnéBonjour,
Serai-je le dernier à répondre?
Ma proposition:
1,07
1,6
3,75

Posté par
rijks
re : Joute n°25 : L’addiplication 17-05-11 à 13:34

gagnéBonjour,
Les trois nombres sont :
1.6
1.07
3.75
Car 1.6*3.75*1.07=6.42
et 1.6+3.75+1.07=6.42

Posté par
Reti
re : Joute n°25 : L’addiplication 17-05-11 à 18:59

gagnéLes 3 nombres sont :

1.07
1.60
3.75

En effet 1.07+1.60+3.75=1.07*1.60*3.75=6.42 !

Posté par
AOI
re : Joute n°25 : L’addiplication 18-05-11 à 13:27

gagnéBonjour,

Les trois nombres utilisés sont 1,6 et 3,75 et 1,07 (merci maple!)

Posté par
1emeu
re : Joute n°25 : L’addiplication 18-05-11 à 17:45

gagnéBonjour,

les nombres sont
1.07
1.6
3.75

Merci pour l'énigme,
1emeu

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°25 : L’addiplication 20-05-11 à 14:23

Clôture de l'énigme :

Pas de grande difficulté sur cette dernière joute du mois.

Et, après deux mois un peu difficiles (l'hiver a été rude ), totti1000 renoue avec la victoire. Félicitations !

Bravo également à Rodival qui monte une fois de plus sur le podium (ça s'est joué à peu de choses ce mois-ci), ainsi qu'à tous ceux qui ont réalisé un sans-faute.

Et n'oubliez pas le week-end spécial qui commence demain matin ! Bientôt la 1000ème énigme !

Posté par
Rodival
re : Joute n°25 : L’addiplication 20-05-11 à 15:35

gagnéMerci pour tes encouragements godefroy_lehardi,
Depuis ma première prestation en novembre 2010, j'ai effectivement l'impression de me placer en éternel Poulidor de totti1000...
Il est si rapide !!! Je ne sais pas comment il fait : quand j'ai le temps de prendre le temps pour venir découvrir une énigme... il a déjà répondu !
De toute façon, merci à tous...

Posté par
LeDino
re : Joute n°25 : L’addiplication 20-05-11 à 16:40

gagnéFélicitations au vainqueur du mois .

Les énigmes d'avril avaient une belle densité et une intéressante variété.
Il fallait être complet, solide et rapide pour l'emporter... bref, il fallait un totti1000.
Coup de chapeau à Rodival aussi, qui ne cesse de se rapprocher du meilleur niveau.
Tous les espoirs lui sont permis...

Bravo !

Posté par
KaiserMax
re : Joute n°25 : L?addiplication 04-04-12 à 14:09

Et, après deux mois un peu difficiles (l'hiver a été rude ), totti1000 renoue avec la victoire. Félicitations ! * Tom_Pascal > urls supprimées. *

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 112:39:26.


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