algebre 1

Posté par hind (invité)

bonjour tout le monde
je vous propose une solution d'un exercise que j'arrive pas à comprendre .
Exercise
Montrez qu'il n'existe pas d'application surjective d'un ensemble E sur l'ensemble P(E).pour une application f de E dans p(E)on pourra considérer Af=(x appartient à E, x n'appartient pas à f(x) )
Solution
soit f une application surjective .il existe alors a appartient à E tel que f(a) appartient à A.
on ne peut alors avoir ni a appartient à A ni a n'appartient pas à A et la contradiction ainsi mise en évidence infirme la possibilité que f soit surjective .
merci d'avance  

Posté par otto otto

Bonjour,
si a appartient à f(a)=A, alors on a une contradiction puisque A c'est justement construit de sorte que l'on ai pas "a inclus dans f(a)".
Donc on a forcément l'autre cas:
a n'appartient pas à f(a), mais dans ce cas, toujours pas définition de A, on a que a appartient à A, or A=f(a) par définition de a.
Donc c'est aussi impossible.

Donc aucun des cas n'est possible.

Sauf erreur(s)

Fait attention, tu te mélanges entre les "appartiens" et les "inclus", et il y'a d'autres erreurs donc c'est une raison qui fait que tu n'as pas compris je pense.
A+

Posté par majid52 (invité)

Bonjour hind si est fini on sait que est aussi fini et que donc il ne peut y avoir de surjection de dans dans ce cas.
dans le cas général (infini ) on raisonne par l'absurde comme dans la solution proposée on suppose alors qu'il existe une surjection de dans et on considére l'ensembledes éléments de qui ne sont pas dans leur image par ( c'est donc une partie de ) { }
mais alors est une partie de et admet donc elle mm un antécédent par (puisque celle-ci est supposée surjective) notons cet antécédent et c'est là la contradiction car étant un élément de   soit il est dans soit soit il n'est pas dans A  or il n'en est rien puisque
  et