Densité

Posté par otto otto

Bonjour,
suite à un post un peu chaud, remettant en question ce que beaucoup de récits donnent comme définition de la densité d'un ensemble, je propose de remettre un peu les esprits au clair.

En effet, le Monier, avec la complicité de Nightmare disait qu'un ensemble E était dense si (strictement) entre deux points x et y quelconques dans E, il en existait un troisième. C'est une définition qui n'a pas tellement de sens ailleurs que dans un ensemble muni d'un ordre.
Ca n'était pas très net comme définition, et titimarion et moi la remetions en cause notamment.
Muriel je crois, parlait de l'ensemble Z qui n'était pas dense, ce qui est vrai avec la définition de Monier, mais faux ou plutot n'a pas de sens avec la définition usuellle (puisqu'indépendante de X), qui dit que E est dense dans X si la fermeture de E est X (le plus petit fermé contenant E est X).
Titimarion et moi même étions plutôt d'accord sur cette dernière définition.

Je viens de voir que, suivant les auteurs, et la langue utilisée, on peut obtenir des choses très intéressantes.
Notamment si on introduit les 3 notions suivantes:
-A est partout dense dans E si le plus petit fermé de E contenant A est E lui même. C'est la définition que titimarion, moi même et la plupart des auteurs donnent comme définition de la densité de A dans X.
-A est dense si l'intérieur de son ouverture dans E est est non vide. On retrouve alors en prenant E=R et A=Q, la définition bizarre du Monier. Définition qui n'est pas vraiment générale, mais qui semble coïncider dans ce cas particulier. Notamment, on voit bien ce qui se passe, l'ensemble est suffisament gros pour prendre de la place, mais pas suffisament pour prendre toute la place, et on ne peut pas combler les trous.
-A est non dense si la fermeture de A est d'intérieur vide dans E, c'est la définition de densité qu'utilisait Muriel, lorsqu'elle parlait de la densité de Z dans R. On voit bien intuitivement, que celà représente une grande dispersion des points, et que ceux ci "ne comptent presque pas" dans la nature topologique de l'ensemble (c'est faux mais on voit ce qui se passe)

Notamment, un ensemble non dense est de mesure (Lebesgue) nulle (sauf erreur de ma part, c'est trivial), ce qui confirme le fait que l'ensemble ne compte "presque pas".

En fait, c'est un problème de concordance des définitions des auteurs.
Je pense que ces trois définitions, sinon parfaites, sont très explicites et vont pouvoir recadrer les esprits, même si ca n'a pas du en empecher de dormir plus beaucoup
Notamment, on y voit plus clair dans les incompréhensions de tous face à ces problèmes topologiques.
J'espère que ca aura permis de clarifier la situation, si pour certain ce n'était pas le cas.
Cordialement,
Otto

Posté par tutu (invité)

Salut,


>>un ensemble non dense est de mesure (Lebesgue) nulle

Malheureusement ce n'est pas vrai et un contre-exemple est facile à construire :

Q = { r_n }, O_n = ] r_n -1/2^(n+1) + r_n, r_n + 1/2^(n+1) [, O = union O_n

O est ouvert, F = IR\O est donc fermé. Mais int(adh(H)) = int(F) = 0 vu que F ne contient aucun rationnel. F est donc nul-part dense, sauf que µ(F) = +oo.

Posté par otto otto

Pff je sais j'y a réflechi après avoir posté.
En fait j'ai oublié de prendre l'intérieur de ma fermeture, et c'est là que le bas blaisse
Je ne réfléchissais qu'en terme de fermé, et auquel cas c'était vraiment trivial (fermé donc mesurable et de mesure nulle puisque vide, par complétion on conclut) mais ce n'est pas le cas
J'avais également un contre exemple du même genre, merci pour le tien.

Je ferai bien de prendre des vacances...
Merci encore et à bientot tutu.