Sous groupes additifs de R

Posté par Désagrégé (invité)

Bjr

Quelqu'un sait il où trouver une version propre des sous groupes de R sur le net ?

MErci

Posté par titimarion (invité)

Salut
Désolé je ne sais pas ou l'on peut trouver une preuve sur le net mais le raisonnement est assez facile a voir.
en fait il suffit de considérer G un sous groupe de R différente de {0}
Ensuite on considère l'ensemble
Soit x la borne inférieure de cet ensemble qui existe puisque c'est un ensemble non vide minoré par 0.
Dans le cas ou cette borne inférieure est non nulle il est assez aisé de montrer que le sous groupe
Dans le cas ou c'est 0, on a donc un point d'accumulation, et la il faut montrer qu'alors on a un sous groupe dense.
Soit a dans R,a>0 on sait que tel que
Il suffit alors de faire la division euclidienne de a par x, on obtient a=qx+r avec
Ainsi comme qx est dans G, on a bien trouvé un élément de G aussi proche que l'on veut de a. Et donc G est bien dense dans R.

Posté par titimarion (invité)

Si tu veux que je détaille vvraiment la preuve n'hésite pas.

Posté par Désagrégé (invité)


je veux bien

Posté par titimarion (invité)

Bon donc je vais commencer depuis le début.
Onveut montrer que si G est un sous groupe non réduit à 0 de alors G est dense ou .

Pour cela on va donc considérer l'ensemble , comme je le disais dans le post précédent c'est un ensemble  de non vide il admet une borne inférieure.

La il faut distinguer 2 cas, soit la borne inférieure est nulle soit elle ne l'est pas.

Dans le premier cas, 0 n'appartenant pas à H, 0 est un élément de l'adhérence de H.
Autrement dit ce qui revient à ce que
Montrons que G est alors dense dans
En effet prenons un élément de a>0. Montrons que
pour cela effectuons la division euclidienne de a par x, il existe q dans N et 0<r<x tel que
a=qx+r
On obtient donc de plus car G possède une structure de groupe.
Pour conclure quand à la densité de G il suffit de montrer que si a<0 alors il existe aussi y approchant a à près.


Or si a<0 on a -a>0 donc il existe tel que Ainsi et d'ou le résultat escompté.

Ainsi notre sous groupe est bien dense dans

Deuxième cas la borne inférieure est non nulle alors elle est atteinte.
En effet si x est cette borne inférieure, supposons qu'elle n'est pas atteinte, ce qui contredit l'hypothèse de minimalité de x.

Ainsi soit x la borne inf de H,
Montrons que
Il est évident de par sa structure de groupe que
Supposons qu'il existe y dans G qui n'appartienne pas à
Alors quitte à considérer -y on peut supposer que y>0.
Effectuons la division euclidienne de y par x.
on a y=qx+r avec 0<r<x
Cependant puisque G  est un groupe y-qx est dans G, il est positif donc au final r=y-qx est dans H.
Cependant r<x, c'est absurde puisque x minimalise H.
Voila, si il y a quelquechose que tu ne comprends npas n'hésite pas.

Posté par Désagrégé (invité)

Merci

Posté par matrice (invité)

Salut, c'est une explication tres claire, mais j'ai encore quelques questions sur ce sujet.

Si l'ensemble G est: G(x,y)={px+qy;(p,q)de Z^2}
je voudrais 1 exemple de sous groupe G dans le cas où la borne inf est non nulle, et deux exemples où la borne inf est nulle.

D'autre part, est-ce qu'il y a possibilité de montrer que tout reel est limite d'une suite d'elements de G?

merci d'avance,
Matrice

Posté par matrice (invité)

un seul exemple où la borne inf est nulle me suffira, merci d'avance...
Mathematiquement votre,
matrice

Posté par kaiser kaiser

Bonsoir matrice

si x est non nul x est un sous-groupe de G où la borne inférieure définie plus est non nulle (c'est |x|).

Sinon, quelles sont les conditions sur x et y ?

Posté par matrice (invité)

j'ai un peu mal posé le problème,
x et y sont des reels fixés.

Et la borne inf, c surement la borne inf de G₊ (où le 0 n'est pas inclus).

Ainsi, G(1,0) serait un exemple où la borne inf est non nulle (borne inf=1).

de meme, je voudrais 2 exemples où la borne inf est nulle.

j'aimerais bien aussi savoir comment montrer que tout reel est limite d'une suite d'elements de G...

merci pour votre reponse kaiser, et merci d'avance pour toute reponse ulterieure.

Posté par kaiser kaiser

En fait, il y a un résultat général qui dit que G(x,y) est de la forme a si et seulement si y est nul ou est rationnel.
Je me propose de démontrer ce résultat.
Faisons d'abord le sens droite-gauche :
si y est nul, c'est fini.
Sinon considérons un élément non nul quelconque z=px+qy de G.
Alors
Or est un rationnel, donc il existe deux entiers m et n premiers entre eux tels que
On en déduit que

Or y est non nul et z non plus. De plus pm+qn est un entier. On en déduit que |pm+qn|1, d'où |z|||>0
On en déduit que la borne inférieure dont on parlait est strictement positive et donc G est bien de la forme a.

Maintenant, le sens gauche-droite :
Par hypothèse, tout élément de G est un multiple entier de a.
En particulier x=ma et y=na avec m et n deux entiers.
si y est nul, c'est fini.
sinon, est rationnel et on conclut.


Ainsi, et sont deux exemples où la borne inférieure en question est nulle.

Kaiser

Posté par Pl4toniX Pl4toniX

bonjour à tous ! désolé de déterrer ce sujet assez vieux mais je suis intéressé par ce probleme car j'ai un exercice sur les sous-groupes additifs de R et je voulais juste comprendre cette ligne-ci :



Je voulais surtout savoir d'où venait l'inégalité... Merci d'avance !

Posté par tibal tibal

  Salut Pl4tonix,

  Je me suis posé la même question car cela ne me semblait pas trivial.
Je suis allé voir Google (Google est ton ami et en tapant simplement "sous groupes additifs de R", on trouve ce lien qui, je pense te comblera :

Bonne lecture

Thibault