Groupe de Lie

Posté par Gwen Gwen

Bonjour!

J'ai toujours eu quelques soucis avec le célèbre groupe des quaternions
H = {q=a₀+a₁i+a₂j+a₃k t.q.  a₀,a₁,a₂,a₃ }.

Voici donc ma question. Est-ce que quelqu'un saurait me dire si l'ensemble H est un groupe de Lie et pourquoi?

Merci d'avance pour votre aide!

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Oui, bien sur, comme tout R-espace vectoriel! C'est une variété (ici de dimension 4) et l'addition est continue, ainsi que le passage à l'opposé!

Posté par Gwen Gwen

Bonjour, et merci!

Je me posais cette question puisque j'avais lu quelque part que H^* était justement un groupe de Lie et je n'arrivais pas à savoir si c'était aussi valable pour H...

Merci encore pour la réponse si rapide!

Posté par Camélia Camélia

Attends... est bien un groupe de Lie, mais muni de sa multiplication! C'est bien une variété comme ouvert de H, et la multiplication et le passage à l'inverse sont continus.

Posté par Gwen Gwen

AH!!!!..... Oki, j'ai compris alors maintenant! Merci beaucoup pour l'explication!

Posté par Arkhnor Arkhnor

Bonjour.

En principe, selon la définition d'un groupe de Lie, on doit vérifier que les lois sont différentiables, et non seulement continues.

(bien que ça revienne au même, mais c'est pas totalement trivial ...)

Posté par adnane_bordism adnane_bordism

(H,) est bien un groupe de Lie car:
(H,) est un groupe.
H n'est qu'une représentation symbolique de R4(HR4).
La multiplication sur H est différentiable puisque la multiplication sur R est différentiable (différentiable sur R²),puisqu'elle est bilinéaire!

Posté par adnane_bordism adnane_bordism

Pardon, H* a la place de H et HR4 est un isomorphisme de corps.

Posté par adnane_bordism adnane_bordism

La construction de l'inverse d'un élément est différentiable puisque la multiplication par l'inverse de la norme de cet élément est différentiable sur R4.

Posté par Gwen Gwen

Merci beaucoup pour vos réponses, elle m'ont bien éclairée!

Très bonne journée