Bonjour

Si x divise y² alors x divise y, c'est évidemment faux. 18 divise 6² mais ne divise pas 6. Pour le reste, merci de recopier le sujet, d'autant plus que le lien est incomplet...

hello

Attention, lis bien l'énoncé. Ils ne te demandent pas de trouver deux nombres premiers tels que x'²-3x'y'+y'²=0, ils te demandent de prouver qu'il y a deux nombres premiers entre eux qui vérifient cette relation. Et en posant x =dx' et y=dy' où d= PGCD (x;y), on y arrive assez facilement par factorisation par d² (donc ne pas confondre premiers et premiers entre eux)

Ensuite, montrer que x' divise y'²
x'²-3x'y'+y'²=0 <=> y'²=x'(3y'-x') = x'* k ou k est un entier relatif donc par def, x' divise y'².

Ensuite pour leur correction, je ne suis en effet pas trop d'accord.Sauf erreur de ma part, je le démontrerais plutôt par Gauss.Puisque x' divise y'² = y'*y' or x' est premier avec y' donc x' est obligé de diviser l'autre facteur qu'est y' donc x' divise y'

Voilà

bonjour

on ne te demande pas de trouver deux nombres premiers x' et y' tels que x'²-3x'y'+y'²=0 mais deux nombres PREMIERS ENTRE EUX tels que x'²-3x'y'+y'²=0

Ceci est facil puis que si tu pose d=PGCD(x;y) alors ils existent x' et y' premiers entre eux tels que x=dx' et y=dy'

tu as d'après 2a) x²-3xy+y²=0
donc
(dx')²-3(dx')(dy')+(dy')²=0
donc d²(x'²-3x'y'+y'²)=0    donc x'²-3x'y'+y'²=0   car d est non nul.

b)
le raisonnement qu'ils ont utilisé est un raisonnement par contraposée: cad
au lieu de montrer que
x' et y' premiers entre eux ===> x'²-3x'y'+y'² différent de 0
on montre sa contraposée:
Ils existent x' et y' tels que x'²-3x'y'+y'²=0 alors x' et y' ne sont pas premiers entre eux.

mais généralement pour ce genre de question c'est au candiadat de déceler le raisonnement utilisé pour construire un raisonnement logique avec les réponse qu'il donne aux question.

Ici en la matière tu as:
x'²-3x'y'+y'²=0 donc x'(x'-3y')=-y'² donc x' divise y'²
comme x' premiers avec y' donc d'après Th de Gauss x' divise y'
comme ils sont premiers entre eux la seule possibilité pour x' est x'=1 car x et donc x' sont supposés des entiers naturels.

c)
la suite est évidente
x'=1 donc l'équation x'²-3x'y'+y'²=0 devient 1-3y'+y'²=0

d) 1-3y'+y'²=0 donc y'(3-y')=1 donc y' divise 1 donc y'=1
or 1-3(1)+1²=-1 donc y'=1 n'est pas solution de 1-3y'+y'²=0
donc
il n'ya pas de solution de l'équation en y' 1-3y'+y'²=0 dans IN.

donc l'équation x²-3xy+y²=0 ne passe par aucun point dont les coordonnées sont entières à part le point O(0;0).

En faite le reste je comprends mais je trouve très étrange que si x' divise y'^2 et d'après le th de gauss comme x' et y' premiers eux donc x' divise y' c'est pas un peu absurde?? Car si x' premier av y' alors comment x' peut diviser y' ??

Car si x' premier av y' alors comment x' peut diviser y' ??

est bien si x'=1 x' répond puisqu'll divise y' avec lequel il est premier.
c'est le but de la question
puisqu'après on te demande de montrer que y' est alors solution de 1-3y'+y'²=0

Tes x' et y' ne sont pas n'importe quels nombres, ils vérifient une relation qui  implique que x' divise y'² q et donc x' divise y' or ils sont premiers entre eux donc seule possibilité comme l'a dit watik, x' =1 d'où la suite de l'exercice.