Réunion et Intersection de deux ensembles

Posté par hoquangtri hoquangtri

Bonjour,

Soit on a AB = B B est une partie de A et

AB = B A est une partie de B

Puisse-je utiliser la définition de réunion ou d'intersection pour démontrer ? Par exemple :

L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble C qui appartient à la fois à A et à B. OR AB = B DONC B est une partie de A

Et je fais la même chose avec la réunion.

Merci de votre aide.

Posté par Porcepic Porcepic

Bonjour,

Pour montrer que B est une partie de A, il faut se donner un élément de B, et montrer qu'il est dans A.

Tu te fixes donc un élément de B : « soit  ».
Comme par hypothèse, , alors nécessairement , et donc par définition de l'intersection, on a en particulier . D'où .

Et même principe pour la réunion.

Posté par hoquangtri hoquangtri

merci bien.

Posté par hoquangtri hoquangtri

Rebonjour,

J'ai du mal à comprendre. Si x AB, Il faut que x appartienne simultanément à A et B. Pourquoi x n'appartient que A dans ce cas ?

Posté par Porcepic Porcepic

Bonsoir et désolé du retard.

J'ai écrit qu'il appartenait alors en particulier à A, pas qu'il n'appartenait qu'à A...

Posté par hoquangtri hoquangtri

Bonsoir,

Par définitioon, x doit appartenir simultanément à A et B. C'est veut dire quoi "en particulier" ici, pouvez-vous m'expliquer, svp. Merci.

Posté par Porcepic Porcepic

C'est le principe du « qui peut le plus, peut le moins ».

Si on appartient à A et à B, on appartient en particulier à A.
Si on mange des petits pois et des carottes, on a en particulier mangé des petits pois (comprendre : certes, on n'a pas mangé que ça, mais si on est allergique aux petits pois, c'est suffisant pour nous rendre malade !).

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonsoir Hoquangtri et Porc Epic.
On peut utiliser le raisonnement par l'absurde.

Avec
Supposons que B ne soit pas une partie de A. Il existerait un élément de B qui ne ferait pas partie de A et donc ne ferait pas partie de (A B). (A B) et B n'auraient pas exactement les mêmes éléments, contrairement à l'hypothèse.

Avec
Supposons que A ne soit pas une partie de B. Il existerait un élément de A qui ne ferait pas partie de B, mais il ferait partie de A B puisqu'il serait élément de A. (A B) et B n'auraient pas exactement les mêmes éléments, contrairement à l'hypothèse.