distances topologiquement équivalentes et suites de cauchy

Posté par youssouf youssouf

Bonjour

J'ai un problème relatif au titre ci-dessus qui est le suivant :

soient (X,d1) et (X,d2) deux espaces métriques ayant le même ensemble de base.
On suppose que les distances d1 et d2 sont topologiquement équivalentes.
Montrer par un contre exemple qu'une suite de cauchy pour d2 n'est pas forcement une suite de cauchy pour d1.
INDICATION : On pourra considérer IR avec la distance d1 = distance usuelle et d2(x,y) = valeur absolue(arctan(x) - arctan (y))

Merci

Posté par benneb benneb

il suffit de prendre la suite u_n=n.

Posté par youssouf youssouf

Merci Benneb.
je voudrais s'il vous plaît vous demander d'en dire plus, si possible expliquer un peu le probleme avec un peu plus de detail. je vous en serai très reconnaissant.

Coordialement

Posté par DOMOREA DOMOREA

Bonjour,
Il me semble que si les distances sont topologiquement et uniformément équivalentes cela est suffisant
la démonstration est simple pour montrer le caractère suffisant.
Il y a un critère plus fort comme lipschitz équivalents mais qui n'est pas nécéssaire il me semble

Posté par youssouf youssouf

Merci DOMOREA.
mais est ce que quelqu'un pourra me detail un peu la solution a ce probleme que je dois exposer peut etre le lundi, je veux dire demain?
Merci

Posté par DOMOREA DOMOREA

Bonjour youssouf,
Supposons (X,d1) et (X,d2) topologiquement et uniformément équivalents.
ainsi par définition l'application identique : ----> est uniformément continue.
Ce qui se traduit par:
(*)
Soit désormais une suite de Cauchy dans
Il s'agit de montrer que est une suite de Cauchy dans
étant donné arbitrairement, soit   le défini à la ligne (*) et donc
Remarque: la continuité  uniforme apparaît bien comme nécessaire dans la dernière ligne.

Posté par youssouf youssouf

Merci monsieur pour la reponse.
Je pense qu'il s'agit ici de deux distances topologiquement équivalentes et non uniformement équivalentes, donc le cas d'uniformité est exclus.
Je pense aussi que l'énoncé est bien claire, il s'agit en effet de montrer par un contre exemple qu'une suite de cauchy pour d2 n'est pas forcement une suite de cauchy pour d1. tenez aussi compte de l'indication de l'exercice.
Merci

Posté par romu romu

Bonsoir,

youssouf, benneb a donné (en suivant tes indications) comme contrex la suite des entiers, elle n'est pas de Cauchy pour d1 (car non convergente, et l'espace est complet), et l'est pour d2 (car la suite arctan(n) converge pour d1).
  

Posté par youssouf youssouf

votre contribution est comprise.j' ai une dernière question pour vous: on supose que les distances d et d' sont topologiquement équivalentes,est ce que toute suite convergente pour d est elle convergente pour d'?proposez moi une démonstration s'il vous plait;merci.

Posté par DOMOREA DOMOREA

Bonjour,
Soit d1 et d2 deux distances topologiquement équivalentes:
Rappel de la définition:


il suffit de démontrer qu'une suite convergente pour d1  est convergente pour d2 puisque les deux assertions jouent le même rôle l'une par rapport à l'autre.
Soit une suite convergente de limite a pour d1.

d'où d'où
donc en reécrivant