Quotient , dénominateur et numérateur

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Quotient , dénominateur et numérateur

Posté le 04-07-11 à 19:50

Posté par YannRuer

Bonjour à tous ,
soit un quotient ou une fonction rationnelle , du type Q : x ↦ Q ( x ) = ( ax² + bx + c ) / ( dx² + ex + f ) avec a , b , c , d , e et f des nombres réels . Je recherche la méthode pour décomposer , dans le cas général , un quotient quelconque par son dénominateur de sorte que , dans le cas de la fonction Q on ai :
Q ( x ) = A / ( dx² ) + B / ( ex ) + C / f .
Merci d ' avance pour l ' aide que vous m ' apporteriez .
Yann

re : Quotient , dénominateur et numérateur

Posté le 04-07-11 à 19:58

Posté par dhalte

et qu'est-ce qui t'assure que c'est possible ?

ta première expression est définie pour x=0 (en imaginant f différent de 0)
ta deuxième, non

Quotient , dénominateur et numérateur

Posté le 05-07-11 à 01:18

Posté par YannRuer

Bonsoir Monsieur , sur les différentielles et les intégrales j ' ai vue qu ' il y a une méthode proche de celle que je souhaite avoir . C ' est l ' intégration par décomposition . Oui je comprends maintenant , merci de votre lumière : avec l ' intégration par décomposition on peut décomposer un quotient mais il n ' aura pas forcément une forme comme je l ' ai cru plus haut . Grâce à la division euclidienne on peut mais ça l ' air compliqué . J ' ai trouvé dans un livre un exemple :

1. Calculer les primitives de x² / ( x - 2 ) .
Par division euclidienne on a donc : x² / ( x - 2 ) = x + 2 + 4 / ( x - 2 ) et donc ,
S ( x² / ( x - 2 ) ) dx = S ( x ) dx + S ( 2 ) dx + 4 S ( 1 / ( x - 2 ) ) dx
S ( x² / ( x - 2 ) ) dx = x² / 2 + 2x + 4 . ln ( | x - 2 | ) + C où C appartient à IR et x est strictement différent de 2 .

2. Calculer I = S ( 1 / ( x² + x - 2 ) , x , 2 , 4 ) . Les racines de x² + x - 2 sont ( + 1 ) et ( - 2 ) . Dans la résolution il donne que 1 / ( x² + x - 2 ) = A / ( x - 1 ) + B / ( x + 2 ) ; pourquoi peut - on affirmer cela ? Plutôt que d ' identifier les deux membres après élimination des dénominateurs , on peut calculer A en multipliant chaque membre de l ' égalité par ( x - 1 ) et en faisant ensuite x = 1 , ce qui élimine la fraction B ( x - 1 ) / ( x + 2 ) ; on procède ensuite de façon similaire pour B .
1 / ( x² + x - 2 ) = ( 1 / 3 ) / ( x - 1 ) + ( 1 / 3 ) / ( x + 2 ) .
L ' intervalle d ' intégration [ 2 ; 4 ] ne contient aucun des pôles ( racines ) , la fraction est donc continue donc intégrable :
I = ... = ln ( 2 ) / 3 .

Merci de votre attention sur ce sujet .

Yann

re : Quotient , dénominateur et numérateur

Posté le 05-07-11 à 23:36

Posté par dhalte

oui, mais la première décomposition que tu cherchais est impossible

exemple de décomposition

$\large\frac{4x-1}{x^2+x-2}=\frac{4x-1}{(x-1)(x+2)}=\frac1{x-1}+\frac3{x+2}$

tu peux effectivement obtenir cette expression par division euclidienne, c'est une méthode.

Dans $\R$ , tout polynôme non nul peut se décomposer en un produit de polynômes dont chacun a pour degré maximal 2

donc quand ce polynôme est le dénominateur d'une fraction rationnelle, il est aisé de montrer qu'on peut alors, si on a réussi cette "factorisation" du dénominateur, d'exprimer cette fraction comme somme de fractions plus simples, ou chacune a pour dénominateur un des termes de la décomposition (il y a des subtilités à connaître vis-à-vis des pôles multiples, mais on approfondira si tu le souhaites), et chacun est alors intégrable facilement.

re : Quotient , dénominateur et numérateur

Posté le 06-07-11 à 19:45

Posté par YannRuer

Merci beaucoup Monsieur, je souhaite bien que vous expliquez ce que c ' est que les pôles multiples si vous pouvez nous accorder ce temps . Merci .
Yann

re : Quotient , dénominateur et numérateur

Posté le 06-07-11 à 20:00

Posté par dhalte

pour un polynôme P non nul de la variable x, on appelle $x_0$ une racine de P ou un zéro de P si on a $P(x_0)=0$

Alors on peut "factoriser" P sous la forme $P(x)=(x-x_0)Q(x)$ , où Q est un nouveau polynôme non nul.
si n est le degré de P, alors n-1 est celui que Q

si de plus $Q(x_0) = 0$ , alors $x_0$ est racine de Q, on dit que $x_0$ est racine double de P et il existe un polynôme R unique, de degré n-2, tel que $P(x)=(x-x_0)^2R(x)$

si on a aussi $R(x_0)=0$ , alors $x_0$ est racine triple de P, etc.

si P est le dénominateur d'une fraction rationnelle, que $x_0$ est une racine d'ordre d de P qui n'annule pas le numérateur, alors on dit que $x_0$ est un pôle d'ordre d de la fraction rationnelle.

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