Le pont de la rivière Embuche.

Posté par J-P J-P

Il y a une route unique reliant les villes de Aville et Bville.

Fabrice, qui se déplace à vitesse constante, part de Aville à 10 h 18 min et arrive le même jour à Bville à 13 h 30 min.
Nathalie, qui se déplace à vitesse constante, part de Bville à 9 h et arrive le même jour à Aville à 11 h 40 min.

La route que Fabrice et Nathalie empruntent, emjambe une rivière grâce à un pont.

Fabrice et Nathalie arrivent au pont au même instant, chacun d'un coté de la rivière.

Nathalie quitte le pont 1 minute avant Fabrice.

A quelle heure sont-ils arrivés au pont ?
-----


éé
-----
Bonne chance à tous.

Posté par piepalm piepalm

Fabrice mets donc 192mn pour aller de A à B et Nathalie 160mn pour parcourir la même distance: Nathalie mets donc 32 mn de moins. Comme pour parcourir la longueur du pont, Nathalie mets une minute de moins que Fabrice, le pont représente 1/32ème de la distance entre A et B.
Comme Nathalie est partie 78 minutes avant, au départ de Fabrice elle a parcouru 78/160 de la distance
Si x est la part de la distance entre A et B parcourue par Fabrice à son arrivée au pont, pendant le même temps Nathalie parcourt 192x/160
On a donc x+1/32+78/160+192x/160=1
Soit 352x=75 ; x=75/352,
soit un temps de parcours pour Fabrice de 75*192/352=450/11mn : environ 40 mn et 55 s, soit une heure d'arrivée au pont de 10h 58mn 55s

Posté par la_brintouille la_brintouille

Bonjour,
appelons Fabrice 1, et Nathalie 2; v les vitesses, t les temps de traversée.
v2/v1 = t1/t2 = 192/160 = 1.2
2 est 1 minute plus rapide pour la traversée du pont de longueur p.
Donc p/v1 = p/v2 + m (avec m = 1 minute)
p v2/v1 - p = m v2 donc 0.2p = m v2 et

p = 5 m v2

1 et 2 arrivent en même temps au pont: soit b la distance entre Bville et l'entrée du pont (côté Bville), D la distance totale.

b/v2 - 78m = (D-b-p)/v1
2.2 b/v2 - 78m = t1 - 1.2*5m
et b/v2 = 120

2 a donc mis 2 heures pour arriver au pont, donc ils sont arrivés à 11h.

Merci pour l'énigme

Posté par alfred15 alfred15

Bonjour

Soient les notations suivantes :

distance totale entre Aville et Bville
distance de Aville à l'extrémité du pont la plus proche
distance de Bville à l'extrémité du pont la plus proche
longueur du pont
vitesse de Fabrice
vitesse de Nathalie
heure de départ de Fabrice
heure de départ de Nathalie
heure d'arrivée de Fabrice et Nathalie sur le pont (ce qu'on cherche)






En remplaçant les vitesses par leurs expressions on trouve :



Ensuite :









Ils sont arrivés sur le pont à 11:00

Merci pour l'énigme

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Les temps sont exprimés en mn..
Soit D la distance entre les deux villes , on a :
Vn = D/160 et Vf = D/192, donc Vn/Vf = 5/6
Si on traduit que la traversée du pont dure 1 mn de plus pour Fabrice, on a (avec Lp la longueur du pont) :
Lp/Vf - 1 = Lp/Vn, soit Lp = 5Vn

Je traduis maintenant le fait que la distance totale est celle parcourue par Fabrice et Nathalie pendant le temps t cherché (compté à partir de 9h00, soit l'heure du départ de Nathalie), plus la longueur du pont.

D = 160*Vn = Vn*t + Vf*(t-78) + 5Vn

160*Vn = Vn*t + Vn*5/6*(t-78) + 5Vn
t(1+5/6) = 160 +(5/6 *78) -5 = 160  + 65 - 5 = 220
t = 6/11 * 220 = 120 mn = 2heures

Ils sont donc arrivés au pont à 9h +2h = 11h00 pile

Posté par Gallas132000 (invité)

Salut a Tous,

Il sera (je pense) 11 heures lorsqu ils arriveront  au pont.

La demo est assez compliquee:

G determine la distance qi separe Pierre du debut du pont en fonction de la distance du pont elle meme: =700*Longueur du pont

Pour cela, on utilise les donnees qui aboutissent aux equations:

(d-(h+l))/Vn - h/Vf = 1.30

Ou d distance totale, l celle du pont, et h celle qui separe Pierre du pont a 10h18

et,

l=(5/3) (Vn*Vf)/(Vn+Vf)

En bidouillant un peu tt ca, onn trouve que le temps que met pIERRE pour arriver au pont est de 0.7 (sur la base 100) ce qui fait 42 minutes exactement.

En ce qui concerne Nathalie, elle va 1.2 fois plus vite que lui. Donc si on calcule le temps que mettrait Fabrice (si il etait Nathalie) et qu on le divise par 1.2 on trouve 2 heures pile

Ils arrivent donc tous les deux a 11 heures au pont..Je suis desole de ne pas etre plus explicite ds la demo mais je dois retourner bosser...

Et je suis en plus loin d etre sur de la solution

A tte sur l'ile

Posté par papanoel (invité)

Salut,
on calcule les vitesses:
Va=d/192 et Vb=d/160
calcul de la distance parcouru par B(Natalie)jusqu a 10h18
d'=78*d/160
distance restante
d"=41/80d
Calcul du temps de parcours pour A et B
Tb=d"*x/Vb avec x la portion de la distance restante pour atteindre le pont
Tb+1=d"(1-x)/Va
La resolution de ce systeme et Tb=44.27minutes
donc B arrive au pont a environ 11h02min16sec
et A arrive une minute plus tard...
@+

Posté par Lopez Lopez

ils sont arrivés au pont à 11 h

les notations :
A : Aville
C : arrivée au pont côté Fabrice
D : arrivée au pont côté Nathalie
B : Bville
VF : vitesse constante de Fabrice
VN : vitesse constante de Nathalie

J'ai établi d'abord la relation entre VF et VN
durée du trajet pour Fabrice : 3 h 12 (192 min) donc AB = 192VF
durée du trajet pour Nathalie : 2 h 40 (160 min) donc AB = 162VN
donc VN = 1,2 VF

ensuite j'ai calculé le temps t_N mis pour traverser le pont par Nathalie
Nathalie met 1 min en moins donc on peut écrire l'équation suivante :
t_N = t_P - 1
t_N = CD/VN
t_P = CD/VF = t_N + 1
donc = = 1,2
donc t_N = 5 min et t_P = 6 min

Fabrice met 192-6 = 186 min pour faire AC + DB donc
186 =   ( éq 1 )

de plus comme ils arrivent au pont en même temps on peut écrire
10h18 + = 9h +
1h18 = 78 = -    (éq 2)
or DB/VN = DB/1,2VF

je pose x = AC/VF et y = DB/VF
on obtient le système suivant
186 = x + y
78 = y/(1,2)  - x

la résolution du système donne y = 144 min et x = 42 min

donc Fabrice arrive au pont à 10 h 18 + 42 min = 11 h
et Nathalie arrive au pont à 9 h + (144/1,2) min = 9 h + 120 min = 9 h + 2h = 11 h

Posté par Gallas132000 (invité)

Une nouvelle fois mon message n est pas clair,

Fabrice et Nathalie arrivent au pont a 11 h 00. Par contre l esplication n est pas claire, je reformule:

Premiere chose a voir c: Vn=1.2 * Vf

Ensuite il est facile(enfin facile...) de montrer que la distance qui lesd separe au debut est en fait 40 fois la longueur du pont.

Fabrice en est separe du pont de 7*longueur du pont et Nathalie par consequent par 32 * longueur du pont.

On montre finalement que Fabrice arrive a ce fameux pont loraque:

Tap(F) = h/Vf = (h/d)*Tf=(7/32)*3.2 = 0.7heure = 42 minutes
Tap(N) = (24*L)/Vn=(24/32)*2.666666666667=2heures

Ceci coincide, ily y arrivent a 11 heures.
Je suis desole, c la deuxieme fois que jenvoie deux messages pas tres clairs, j e serai plus prudent la prochaine fois

A toute

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75


Précisons d'abord les notations.

Nathalie part à de Bville (9h), arrive à (inconnue) au pont, en sort à (inconnue), et arrive à Aville à (11h40). Sa vitesse est .

Fabrice part à de Aville (=10h18), arrive comme Nathalie à au pont, en sort à ( = 1 min) et arrive à Bville à (=13h30). Sa vitesse est v.

(1) Soit le rapport des vitesses
distance totale
donc

(2) Traversée du pont :
longueur du pont
donc :

(3) Distance entre le pont et Aville vue par Fabrice et Nathalie :
distance entre le pont et Aville
Donc

D'où :


Application numérique :



Fabrice et Nathalie sont arrivés en même temps au pont à 11h.

Posté par sof (invité)

Soit d la distance entre Aville et Bville.
Le voyage de Fabrice a duré 192min, donc sa vitesse est:
Vf= d/192.
Le voyage de Nathalie a duré 160min, donc sa vitesse est:
Vn= d/160.
Nathalie est partie la première, donc la distance qu'elle a parcourue avant le départ de Fabrice est:
d1=78*d/160=0,4875d.
Donc, A 10h18min, la distance qui séparait F et N était de 0,5125d.
Soit t le temps qui s'est depuis le départ de Fabrice jusqu'à sa rencontre avec Nathalie, donc:
(d/192+d/160)*t=0,5125d, d'ou t=15744/352min.
Soit d' la longueur du pont.Puisque N a gagné une minute sur F pour parcourir d' et 32min pour parcourir d,donc:
d'=d/32.
F et N sont arrivés au meme moment au pont.Depuis ce moment à leur rencontre , il s'est écoulé le temps t'.
(d/192+d/160)*t'=d/32 donc t'=960/352min.
t-t' correspond au temps mis deuis 10h18min pour que N et F arrivent au pont.
Conclusion: t-t'=42min.
N et F sont arrivés au pont à 11h pile

Posté par borneo borneo

Dans un premier temps je fais une représentation graphique de ce qui se passe, avec le temps en abscisse et la distance AB en ordonnée. Je prends arbitrairement comme temps zéro l'heure du départ de Fabrice et donc Nathalie part à  - 78. Je matérialise la rencontre sur le pont, et en faisant varier la distance AB je constate que la rencontre a toujours lieu à la même heure, donc qu'elle ne dépend pas de la distance AB.
Donc pour ne pas traîner des inconnues, je décide que Fabrice ira à la vitesse de 60 km/h, c'est à dire 1 km/min, pour que la pente de la droite qui le représente ait une pente de 1, ce qui simplifie. Comme il fait le trajet AB en 192 min, dans mon exemple AB vaut 192 km (c'est un choix perso, ça marche avec une autre valeur).
En conséquence, Nathalie va à la vitesse de 1,2 km/min puisqu'elle parcourt cette distance en 160 min.
Ensuite je détermine les équations de Fabrice et Nathalie pour trouver l'intersection des deux droites, qui me donnera le nombre de minutes écoulées entre le départ de Fabrice et leur rencontre.
Fabrice : y = x
Nathalie : y = -1,2x + b
Je cherche b. Je sais que qd Nathalie part, pour x=-78, y=192. Je trouve b=98,4.
Nathalie : y=-1,2 + 98,4
Or ils se rencontrent au même endroit sur le pont, donc x=-1,2x + 98,4
2,2x = 98,4
x = 98,4/2,2 = 484/22

Maintenant, pour savoir à quelle heure ils arrivent au pont, je vais calculer le temps qui s'écoule entre le moment où Fabrice arrive devant le pont et le moment où il croise Nathalie. Dans mon exemple chiffré, Fabrice passe 6 min sur le pont et Nathalie 5 min et le pont fait 6 km.
J'écris leurs équations (seulement sur le pont, en partant de Fabrice)
Fabrice y=x
Nathalie y=-1,2x + b'
Je connais la vitesse de Nathalie, et je sais que quand elle démarre sur le pont, elle est à 6km de Fabrice, donc son équation est y=-1,2x + 6
Ils se croisent quand x = -1.2x + 6
x=6/2.2 = 60/22

Je peux donc calculer le temps qui s'écoule entre le départ de Fabrice à 10h18 et sa montée sur le pont : 484/22 - 60/22 = 42 minutes.
Donc Fabrice monte sur le pont à 10h18 + 42 min =
11 heures exactement.
Nathalie aussi d'ailleurs.
Chapeau pour l'énigme ! ! ! !

Posté par elhor_abdelali elhor_abdelali

Bonjour J-P (Correcteur) et merci pour toutes tes énigmes;
Notations:
* la distance de Aville au pont.
* la longeur du pont.
* la distance du pont à Bville.
* la vitesse constante de Fabrice.
* la vitesse constante de Nathalie.
la mise en équation de l'énigme donne:
(les durées étant exprimées en minutes)
soit en exprimant et en fonction de :

d'où
et ainsi Fabrice et Nathalie sont arrivés au pont à:

Voilà,j'espére que c'est bien détaillé

Posté par biondo (invité)

Salut,

on note:
D la distance entre les deux villes
d la distance de Aville au debut du pont (celui du cote de Aville...)
L la longueur du pont
HFA l'instant d'arrivee de Fabrice
HFD l'instant de depart de fabrice
HNA l'instant d'arrivee de Nathalie
HND l'instant de depart de Nathalie
H l'instant auquel ils arrivent tous deux au pont (chacun de leur cote)
h l'instant auquel Nathalie repart du pont (cote Aville donc)
VF la vitesse de Fabrice
VN la vitesse de Nathalie

Pour simplifier les calculs, on se donne l'origine des temps a 9h00, heure de depart de Nathalie (soit HND = 0), et les instants seront exprimes en minutes. On cherche donc a calculer H...

On a, en mettant l'enonce en equations:

D = VF * (HFA - HFD)    (1)
D = VN * (HNA - HND)     (2)
d = VF * (H - HFD)    (3)(Fabrice arrive au pont)
D - (d+L) = VN * (H - HND)     (4)(Nathalie aussi)
D -d = VN * (h - HND)    (5)(Nathalie repart du pont)
d + L = VF * (h + 1 - HFD)   (6)(une minute apres, fabrice quitte le pont)

On calcule le rapport VF/VN = 5/6 avec (1) et (2).

Ensuite:
D - d = VF * (HFA - H)   avec (1) et (3)
donc VF * (HFA - H) = VN * (h - HND) = VN * h
qu'on ecrit pour alleger:
h = 5/6 * (HFA - H)


Avec (1) et (6)
D - (d+L) = VF * (HFA - h -1)
donc VF * (HFA -h-1) = VN * H   d'apres (4)
et donc
H = 5/6 * (HFA - h -1)

En remplacant avec l'expression de h trouvee au-dessus:

6/5 * H = HFA - 5/6 * HFA + 5/6 * H -1
11/30 * H = 1/6 * HFA -1

H = (5HFA - 30)/11

Avec HFA = 270 minutes, on trouve H = 120 minutes.

Ils arrivent donc au pont deux heures apres que Nathalie soit partie, soit a 11h00.

A+
biondo

Posté par lyonnais lyonnais

salut J-P et bonjour à tous :

je trouve, après quelques calculs, qu'ils sont arrivés sur le pont à 11 heures précise !

merci pour l'énigme !

romain

Posté par elda elda

ils sont arrivés au pont à 11h00.

Nathalie met 2h40 pour faire le trajet.
Fabrice met 3h12 pour faire le trajet.
Il y a donc 32 minutes de différence.
Cela signifie que sur une distance x où Nathalie met 5 minutes, Fabrice lui en met6.
la distance du trajet est de 32x.
Nathalie part à 9h00, donc à l'heure où Fabrice part, elle a déjà parcourue 15x+3/5 x=78/5 x
on ajoute une distance de 5x a chacun.
Fabrice à parcourue 5x (30 minutes de marche) et Nathalie 20.6 x (1h43).
Mais il n'est pas la même heure pour eux dans ce cas là, donc on rajoute une distance d'un x à Nathalie (ainsi il est pour tous deux 10h48). elle a donc parcourue 21.6 x.
On ajoute ensuite 12 minutes de chemin a chacun d'eux.
Fabrice a parcouru 7x et Nathalie 24x.

Or on sait que le pont s'étend sur une distance de x, car Nathalie qui le pont 1 minute avec Fabrice et pour x Nathalie met 5 minutes et Fabrice 6.

7+24+1=32 (la ditance total), donc ils sont arrivés au pont alors que Fabrice avait parcouru 7x et Nathalie 24x, c'est a dire à 11h00.


voilà merci pour l'énigme.

Posté par sofyanekasunet (invité)

Soit d la distance entre Aville et Bville.
Le voyage de Fabrice a duré 192min, donc sa vitesse est:
Vf=d/192.
Le voyage de Nathalie a duré 160min, donc sa vitesse est:
Vn=d/160
Puisque N est partie la première, calculons la distance qu'elle a parcourue avant le départ de F:
d1=78*d/160=0,4875d.
Donc, à 10h18min, la distance qui séparait F et N était de 0,5125d.
Soit t le temps qui  s'est écoulé depuis 10h18min jusqu'à la rencontre de N et F.
(d/192+d/160)*t=0,5125d, donc t=15744/352min
Soit d' la distance qui sépare les deux extrémités du pont.Puisque N a gagné 1 min sur F pour cette distance et 32 min pour la distance d , donc: d'=d/32.
Soit t' le temps qui s'est écoulé depuis l'arrivée de N et F au pont jusqu'à leur rencontre.
(d/192+d/160)*t'=d/32, donc t'=960/352min
la différence t-t' correspond au temps écoulé depuis 10h18min jusqu'à l'arrivée au pont de F et N.
t-t'=42min
Conclusion:N et F sont arrivés au pont à 11h.  

Posté par pietro (invité)

1) Fab met 3h12 = pour parcourir AB.
   Nat met 2h40 = pour parcourir BA.
2) Vitesse de Fab = .
   Vitesse de Nat = .
3) Soit l la longueur du pont.
   Nat met pour le franchir.
   Fab met 1 min de plus :
  
   De là je tire que
4) Ils arrivent en même temps au pont :
   10h18 + le temps que met Fab pour arriver au pont = 9h + le temps que met Nat pour y arriver.
103/10 + t(Fab) = 9 + t(Nat)
Donc t(Nat) - t(Fab) =
t(Nat) =
t(Fab) =
- =
- .(AB -AB/32 - QB) =
- 16/5 + 1/10 + =


D'où t(Nat) = = 2 heures
Il sera donc 9 + 2 = 11 h quand Nat et Fab arriveront au pont.

Posté par nol789 (invité)

Fabrice et Nathalie sont arrivés au pont à 11h.

Soit la distance entre Aville et Bville, la distance entre Aville et le pont, la longueur du pont et l'heure (en minute) a laquelle Nathalie et Fabrice arrive au pont.
On note egalement et les vitesses respectives de Nathalie et Fabrice.

On a :
Fabrice met 192 min pour aller de Aville à Bville =>    (1)
Nathalie met 160 min pour aller de Bville à Aville =>   (2)

En utilisant l'arrivée aux extrémintés du pont à , on a
,     (3)
.    (4)

et également en utilisant le temps de traversée du pont,
.   (5)

En utilisant (1) et (2) dans (5), on obtient
.   (5')

L'equation (4) peut s'écrire

ou encore
   (4')

L'équation (3) donne


En utilisant (4') et (5'), cela donne

Posté par jugo jugo

Quelques notations pour commencer :

t : temps écoulé entre le départ de Fabrice et le moment où il atteint le pont.
f : temps que met Fabrice pour parcourir la distance entre Aville et Bville = 192 min.
h : temps écoulé entre le départ de Fabrice et celui de Nathalie = 78 min.
p : temps que met Fabrice pour franchir le pont.
V : vitesse de Fabrice.
x : rapport entre la vitesse de Nathalie et celle de Fabrice

Vitesse de Nathalie :
temps de parcours de Nathalie = 160 min
temps de parcours de Fabrice = 192 min
192 / 160 = 1,2
donc Nathalie a une vitesse xV  avec x = 1,2

Détermination de p :
Fabrice met une minute de plus que Nathalie à franchir le pont. Cette minute correspond aux 20% de temps en plus nécessaire à Fabrice pour franchir le pont (x=1,2).
Donc p = 1min x 1,2 / 0,2 = 6 min
( si d est la longueur du pont, d = pV et p-1' = d/xV = pV/xV = p/x donc p = 1'.x/(x-1) en min )

Une petite équation à une inconnue :
Au moment où Fabrice et Nathalie atteignent le pont,
* Fabrice a parcouru une distance : t.V
* Nathalie a parcouru une distance : (h+t).xV
* Distance restante : longueur du pont : p.V
* Distance totale : f.V

D'où :
* t.V + (h+t).xV + p.V = f.V
* t + (h+t).x + p = f
* t.(x+1) = f-p-h.x
* t = (f-p-h.x) / (x+1)

t = ( 192 - 6 - 78 . 1,2 ) / 2,2 = 42 min

Fabrice est parti à 10h18.
42 min plus tard, il est 11h.

Fabrice et Nathalie atteignent le pont à 11h.

Posté par lyonnais lyonnais

oups escuse moi J-P , je n'avais pas vu cette dernière phrase : " la résolution complète est demandée ".

Alors voici mon raisonnement :

Fabrice met 3 h 12 min = 11 520 s pour faire le trajet complet
Nathalie met 2 h 40 min = 96400 s pour faire le trajet complet

V_F = AB/11520  et  V_N = AB/9600

<=> 11520.V_F = 9600.V_N

<=> 6.V_F = 5.V_N

Notons C le coté de la rivière ou arrive Fabrice et
Notons D le coté de la rivière ou arrive Nathalie

D'après l'énoncé :

V_F = CD/(t+60)   et   V_N = CD/t

<=> (t+60).V_F = t.V_N
<=> 6(t+60).V_F = 6t.V_N
<=> 5(t+60).V_N = 6t.V_N
<=> 5t+300 = 6t
<=> t = 300 s

on a donc :

V_F = CD/360   et   V_N = CD/300

d'où :

CD/360 = AB/11520
soit
11520.CD = 360.AB
et finalement :
CD = (1/32).AB

Fabrice met k secondes pour arriver au pont
Nathalie met p secondes pour arriver au pont

V_F = AC/k   et   V_N = BD/p

soit comme 6.V_F = 5.V_N :

6.AC/k = 5.BD/p

Après quelques calculs, utilisant la relation CD = (1/32).AB , on trouve l'expression suivante : 55800 - 6p = 5k

Or on sait que : k = x - 37080  et  p = x - 32400

d'où :

55800-6(x-32400) = 5(x+37080)

soit finalement x = 39600 s = 11 heure

Ils arrivent donc à 11 heure sur le pont.

Désolé pour cette démo dans un autre message J-P , mais j'espère que si j'ai bon, tu m'acorderas quand même le smiley

romain

Posté par lyonnais lyonnais

si la démonstration doit être totalement complète, alors voici comment je trouve la relation 55800 - 6p = 5k

AC/k = AB/11520   <=>  AC = (k/11520).AB

de plus, on a :

6.AB/11520 = 5.BD/p    Or BD = AB-AC-CD = (31/32).AB-AC

<=> 6p.AB = 55800.AB-57600.AC   Or AC = (k/11520).AB

<=> 6p.AB = 55800.AB-(57600.k/11520).AB

<=> 6p = 55800-5k

<=> 55800-6p = 5k

Voila, je crois que je suis complet ce coup ci ...

merci pour l'énigme !

romain

Posté par virdisss virdisss

salut les mecs
ils sont arrivés a 11h
justications
donc , j'ai converti toutes les minutes en heure
c'est a dire : 10h18=10,3h et 1 mn=1/60h
je vais faire de meme pour tous les autres

soit:
d:la longueur de A et B
d1:la distance de A au pont
d2:la distance de B au pont
d3: la longueur du pont
vf:la vitesse de Fabrice
vn:la vitesse de Nathalie
t: le temps mis par Nathalie pour franchir le pont
x: le temps d'arrivée que l'on cherche

posons les équations
d1=vf(x-10,3)(1)
d2=vn(x-9)  (2)
d=vf*16/5    (3)
d=vn*8/3     (4)
d3=vf(t+1/60)(5)
d3=vn*t      (6)

en egalant (3) et (4)
vf*16/5=vn*8/3 (7)

en egalant (5) et (6)
vf(t+1/60)=vn*t(8)
en disant membre par membre (7) et (8)
on obtient: t=1/12
d'ou : vf(1/12+1/60)=vn*1/12
       vf*1/10=vn*1/12
          vn=1,2vf
on sait que : d= d1+d2+d3
         remplacons les par leurs valeurs:
    16/5vf=vf(x-10,3)+1,2vf(x-9)+vf*1/10
  disons chaque membre par vf (vf#0)
  3,2=x-10,3+1,2x-10,8+0,1
3,2+10,3+10,8-0,1=2,2x
24,2=2,2x
x=24,2/2,2
x = 11 heurs
donc , ils sont arrivés au pont a 11h

salut inphofile , ca roule frère

Posté par k3mbacha (invité)


On  appelle: s la distance entre ville A  et ville B <en km >
             t le temps que Nathalie dois prendre pour traverser le pont <en heures>
             X  le temps que Fabien dois prendre pour aller de A au pont <en heures >.
             Nathalie parti 1h 18 minutes = 1.3 h avant Fabien . Alors le temps que Nathalie dois prendre pour aller de B au pont est : X-1.3

Le tems que Nathalie dois prendre pour aller de B à A : 11h 40 -9h = 2h 40 = 8/3 h

Le tems que Fabien  dois prendre pour aller de A à B  : 13h30- 10h 18 = 3h 12 =3.2h

Donc : La vitesse du Nathalie : s8/3) = (3s)/8
       La vitesse du Fabien   : s/3.2

    Or Fabrice et Nathalie arrivent au pont au même instant et Nathalie quitte le pont 1 minute avant Fabrice donc nous avons :

                t x (3s)/8 =  ( t + (1/60)) x (s/3.2)

         <=>  (3t)/8       = (t+ (1/60))/ 3.2

         <=>  3t           =  2.5t  + (2.5/60)   <=>  0.5t         =  2.5/60

         <=>  t = 5/60 h


   NOus avons :

        X x (s/3.2) + (3s)/8 x ( X + 1.3)  + (3s)/8 x (5/60)= s    

<=> X/3.2  + (3/8) x [ ( X+ 1.3 ) +  5/60  ] = 1     < divise tout par s >


<=> X/3.2  + (3/8) x  [ ( 60X +78 + 5 )/60 ]    =1

<=> X/3.2  +  (1/8) x  (60X + 83 )/20    = 1

<=> X/3.2   +  (60X + 83 )/ 160    = 1

<=> 50X +60X +83 = 160

<=> 110X  = 77

<=>  X =  0.7 <heures > = 42 nimute


Donc le temps qu'is arrivent au pont :
10h 18 minutes + 42 minutes  = 11h


Voilà
:D

Posté par J-P J-P

Enigme clôturée.

Posté par lyonnais lyonnais

merci J-P de m'avoir accordé le smiley :

à l'avenir je ferais plus attention à l'énoncé

romain

Posté par piepalm piepalm

Je ne sais plus calculer!
Je me cite: "On a donc x+1/32+78/160+192x/160=1
Soit 352x=75 ; x=75/352,"
voilà comment on se prend un poisson!
Il va falloir que je vérifie tout à la machine!

Posté par J-P J-P

Oui piepalm, c'est d'autant plus triste que ta manière de faire était probablement la plus directe et tout à fait correcte, à une erreur de calcul près.

Posté par borneo borneo

Bon, j'ai eu mon smiley... ayant trouvé la réponse, c'est normal, mais je trouve ma démonstration un peu "amateur".
Est-ce qu'un de nos brillants matheux peut me dire ce qu'il en pense ? Est-ce que dans un devoir ce serait scandaleux de faire un exemple chiffré pour ne pas traîner des inconnues ?
Merci

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Sympas cette énigme, et vraiment dommage que piepalm se soit planté pour une erreur de calcul car sa résolution est des plus élégantes.

Je vous propose une suite à cette énigme :

Il y a une route unique reliant les villes de Aville et Bville.

Fabrice, qui se déplace à vitesse constante, part de Aville à 10 h 18 min et arrive le même jour à Bville à 13 h 30 min.
Nathalie, qui se déplace à vitesse constante, part de Bville à 9 h et arrive le même jour à Aville à 11 h 40 min.

La route que Fabrice et Nathalie empruntent, emjambe une rivière grâce à un pont.

Fabrice et Nathalie arrivent au pont au même instant, chacun d'un coté de la rivière.

1- Montrer que Nathalie ne peut mettre qu'une certaine durée max. "dans la vue" de Fabrice.
Combien de temps, au maximum, Fabrice quittera-t-il le pont après Nathalie ?

2- Montrer que l'heure de rencontre de Fabrice et Nathalie, de part et d'autre du pont ne peut être postérieure à une certaine heure. Quelle est cette heure ?

Bonne réflexion,

Philoux

Posté par piepalm piepalm

Merci philoux de ton appréciation, et je vais donc utiliser la même méthode, en essayant de ne pas faire d'erreur grossière de calcul mental.
Nathalie a déjà parcouru 78/160 de la distance au départ de Fabrice, et elle accomplit le parcours en 160 mn contre 192 mn pour Fabrice.
Le pont se situe entre le point de départ de Fabrice et celui atteint par Nathalie au même instant, sa longueur est au plus égale à la distance entre ces points: Nathalie mettra au plus 82 mn pour le parcourir et Fabrice 32/160=20% de plus. Fabrice quittera le pont au maximum 16,4 mn (16mn 24s après Nathalie)
Au départ de Fabrice, il reste 82 mn de parcours à Nathalie; dans un même temps, Fabrice ne parcourt que 5/6 de la distance parcourue par Nathalie: si le pont était de longueur nulle, Fabrice et Nathalie se croiseraient alors qu'il reste 5/11 du parcours, soit 410/11 mn avant l'arrivée de Nathalie à 11h40
Ce qui doit faire un peu (16s) avant 11h03

Posté par philoux (invité)

Bravo !

Effectivement, ta façon de procéder rend la résolution d'une simplicité affligeante.

C'est la proximité de l'heure ultime (11 h 02 min 43 s) étonnante pour un écart de 1 min entre Fabrice et Nathalie qui m'a fait m'intéresser à ces deux questions.

Philoux