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Encadrement d'une racine carrée

   
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#msg3667289 Posté le 07-07-11 à 23:22
Posté par Profilmikomaria mikomaria

On se propose de prouver ( par raisonnement purement analytique, sans faire appel à une calculatrice ), que :

$ $$1,7 $< $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+...} } } $$<$ 1,9 .  
( cet exercice est tiré d'un receuil de problèmes non corrigés pour candidats préparant leurs  entrées  en 1ère année des facultés de mathématiques en Russie )

Ébauche du début de la démonstration ( que je propose )
On définit deux suites auxiliaires :

$(a_{n} )_{n\ge 1} $~:   $a_{1} =\sqrt{1} ,_{}   a_{2} =\sqrt{1+\sqrt{1} } ,_{}   a_{3} =\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1} } }   ,....,  $a_{n} =\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+....+\sqrt{1} } } } $ ( \textit{n} radicaux )

      $(b_{n} )_{n\ge 1} :  _{} b_{1} =\sqrt{1} ,_{}   b_{2} =\sqrt{1+\sqrt{2} } ,_{}   b_{3} =\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3} } }   ,_{} ... , _{}   b_{n} =\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+...+\sqrt{n} } } }    (n$ radicaux ).

Il est évident, que   $a_{n} =\sqrt{1+a_{n-1} } $  et que de ce fait $(a_{n} )_$ est strictement croissante :

$a_{n+1} -a_{n} =\frac{a_{n+1}^{2} -a_{n}^{2} }{a_{n+1} +a_{n} } =\frac{1+a_{n} -1-a_{n-1} }{a_{n+1} +a_{n} } =\frac{a_{n} -a_{n-1} }{a_{n+1} +a_{n} } >0$   par  réccurence pour tout  n ∈ ℕ .

Si $(a_{n} )_$ avait  une limite $g$, on aurait eu : $g=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }^{} \, a_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }^{} \, \sqrt{1+a_{n-1} } =\sqrt{1+\mathop{\lim \, a_{n-1} }\limits_{n\to \infty }^{} } \, =\sqrt{1+g} \quad ,$
ce qui donne  $g$2 = 1 + $g$, d'où   $g=(1+\sqrt{5)} /2\; .$  (On prend la valeur positive de $g$ par ce que $(a_{n} )_$ est positive et croissante ).
Il nous reste de prouver que $(a_{n} )_$  est bornée.
D'une part, $(a_{n} )_$ > 0 pour tout  n ∈ ℕ ; de l'autre, $(a_{n} )_$  est tout probablement majorée par un nombre  quelconque supérieur ou égal à $g$.  

Etant donné, que  $g$  = 1,618..., nous allons montrer par exemple, que $(a_{n} )_$ < 2 pour tout n ∈ ℕ .
Puisque  $a_{n} =\sqrt{1+a_{n-1} } $, il est clair, que $(a_{n} )_$ < 2 si seulement  $(a_{n-1 }  )_$ < 2:  $a_{n} <\sqrt{1+2} =\sqrt{3} <2$.
De plus, $a_{1}$ = 1 < 2 , d'où  par  réccurence : $(a_{n} )_$ < 2 pour tout  n ∈ ℕ . La suite strictement croissante $(a_{n} )_$ est donc bornée, et par conséquent convergente : $g$ en est bien sa limite .
Nous retenons de cela, que $(a_{n} )_$ < $g$ pour tout  n ∈ ℕ .


Quant  à la suite $(b_{n} )_$ ,  le terme $b_{n+1) $ est obtenu à partir du terme $b_{n}$  en substituant  à  $n$  ( dans la formule de son expression générale ) la somme $n+\sqrt{n+1} $, ce qui conditionne ( vu la nature croissante de la fonction $\varphi (t)=\sqrt{t} $ ), la croissance stricte de $(b_{n} )_$.
La question se pose, si  $(b_{n} )_$  est convergente. Le calcul des premiers termes suggère une réponse  affirmative :  
b1 = 1,  b2 = 1,5538... , b3 = 1,7123... , b4 = 1,7488... , b5 = 1.7562... , b6 = 1,7576... , b7 = 1,7578... , b8 = 1,7578... , etc.

Malheureusement, il n'existe pas une formule simple reliant  $b_{n}$  et  $b_{n-1} $, comme c'était le cas de $a_{n}$  ( $a_{n} =\sqrt{1+a_{n-1} } $ ) ;  il n'est donc point possible de prouver que $(b_{n} )_$ est bornée de façon analogue, comme on l'a fait pour $(a_{n} )_$ ni de détérminer de manière similaire sa limite. Il est possible par contre de trouver une suite de convergence connue majorante de  $(b_{n} )_$   et  en déduire la convergence de $(b_{n} )_$ . Pour cela, il suffit de remarquer, que

$ b_{n} =\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+...+\sqrt{n} } } } =\sqrt{2} \times \sqrt{\frac{1}{2} +\sqrt{\frac{2}{2^{2} } +\sqrt{\frac{3}{2^{4} } +...+\sqrt{\frac{n}{2^{2^{n-1} } } } } } } $

et que

$\sqrt{\frac{1}{2} +\sqrt{\frac{2}{2^{2} } +\sqrt{\frac{3}{2^{4} } +...+\sqrt{\frac{n}{2^{2^{n-1} } } } } } } <\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...+\sqrt{1} } } } $    ( n radicaux )

d'où

$ b_{n} <\sqrt{2} \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...+\sqrt{1} } } } =\sqrt{2} \, a_{n} <\sqrt{2\, } \, g\;   $ .

La suite $(b_{n} )_$  est donc bornée, convergente  et  $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \, b_{n} <\sqrt{2} \; g=\frac{\sqrt{2} \, (1+\sqrt{5} )}{2} <2,29$ .

Nous revenons maintenant à l'énoncé de l'exercice.
On peut écrire :  

$\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \, b_{n} =\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+...} } } \$  

Puisque la suite est strictement croisante on a :

\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \, b_{n} >b_{n} >....>b_{4} =\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4} } } } =\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{5} } } >\sqrt{1+\sqrt{2+2} } >\sqrt{3} >1,7\

Alors,

$1,7<\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+...} } } <2,29   .   [*]\$


L'encadrement [*] ainsi obtenu est malheureusement plus large que celui de l'énoncé de l'exercice.

QUESTION :   Trouver un raisonnement analogue permettant de ramener la borne supérieure de l'encadrement [*] à 1,9  .
re : Encadrement d'une racine carrée#msg3667313 Posté le 08-07-11 à 08:12
Posté par Profilmdr_non mdr_non

bonjour


euh c'est vraiment pas du niveau terminal ça !


----------------------------------------------

\Large \forall  n  \geq  1  :  b_{n} =\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{...+\sqrt{n}} } } }    (n$  radicaux )



\Large $ demontrons  \forall  n  \geq  1  :  b^{2}_{n+1}  \leq  1 + \sqrt2b_n


\left\{\begin{matrix} b^{2}_{n+1} = 1 + \sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{...+\sqrt{n+1}}}\\ 1 + \sqrt2b_n = 1 + \sqrt{2+\sqrt{2^3+\sqrt{...+\sqrt{n.2^n} } } }\end{matrix}\right.

\Large Or,  \forall  k  \geq  2  ,   k(2^k - 1) - 1 \geq 5 \geq 0  \Leftrightarrow  k.2^k \geq k + 1 \\ \\ \Rightarrow  \forall  n  \geq  1  :  b^{2}_{n+1}  \leq  1 + \sqrt2b_n    \blue{(comparaison  des  termes)} \\ \\ \Rightarrow  \forall  n  \geq  1  :  b^{2}_{n+1}  \leq  1 + \sqrt2b_n  \leq  1 + \sqrt2b_{n+1}    \blue{((b_n)  croissante)} \\ \\ \Leftrightarrow  \forall  n  \geq  1  :  b^2_{n+1} - \sqrt2b_{n+1} - 1 \leq  0 \\ \\ \Rightarrow  0 \leq b_n \leq \frac{\sqrt{2} + \sqrt6}{2}     \blue{(signe  2^{nd}  degres)}
re : Encadrement d'une racine carrée#msg3667314 Posté le 08-07-11 à 08:14
Posté par Profilmdr_non mdr_non

\Large  \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{2} \simeq 1.9
re : Encadrement d'une racine carrée#msg3667335 Posté le 08-07-11 à 10:10
Posté par Profilmikomaria mikomaria

Bonjour Mdr_non,

C'est une démnstration de génie. Mais....
re : Encadrement d'une racine carrée#msg3667336 Posté le 08-07-11 à 10:20
Posté par Profilmikomaria mikomaria

uuups...je recommence...

Bonjour Mdr_non,

C'est une démnstration de génie. Mais....(2 + 6 )/2 = 1,931..... Je pense que ce n'est pas le raisonnement auquel l'auteur du problème a pensé... Néanmoins, j'aime beaucuop cette démonstration de raffinement recherché.
Merci et bonne journée,

<mikomaria>
re : Encadrement d'une racine carrée#msg3667377 Posté le 08-07-11 à 11:54
Posté par Profilmikomaria mikomaria

Peut-être suffirait-il juste de changer l'inégalité qui a servi comme base de cette démonstration [   k∙(2k - 1) - 1 5  ]  ???

Bien à tout le monde,

<mikomaria>
re : Encadrement d'une racine carrée#msg3667382 Posté le 08-07-11 à 12:13
Posté par Profilmikomaria mikomaria

...et ensuite inventer une autre inégalité mettant en rapport   bn+1   et   bn ?....
re : Encadrement d'une racine carrée#msg3667393 Posté le 08-07-11 à 13:46
Posté par Profiljerem80 jerem80

Bonjour a tous,

@mdr_non:

Ceci est une tres belle demonstration, mais je vois une erreur au niveau du calcul de 1+V2.bn:

tu as marqué que le terme general est n.2^n. Or d apres mes calculs, ce serait plutot n.2^2^(n-1), non?

Ceci dit ca ne change pas le reste de la solution, car on retombe sur nos pattes a l'inegalité d apres: pour k>=2, on a bien k.(2^2^(k-1)-1)-1>=5

@Mikomaria:

Ceci est vraiment un probleme pour etudiant rentrant en faculté en Russie? En d autres termes, un probleme pour eleves de terminale en Russie, puisque avant de rentrer en fac, on est en terminale. Ils exigent un sacré niveau en Russie pour etudier les maths! Je peux te demander ou tu as trouvé ce recueil?
re : Encadrement d'une racine carrée#msg3667470 Posté le 08-07-11 à 17:02
Posté par Profilmdr_non mdr_non

t'as bien raison

\Large b_{n} = \sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{...+\sqrt{n}} } } } \\ \\ = 1 + \sqrt{1.2^{2^0} + \sqrt{2.2^{2^1} + \sqrt{3.2^{2^2} + \sqrt{... + \sqrt{n.2^{2^{n-1}} } } } } }
re : Encadrement d'une racine carrée#msg3667478 Posté le 08-07-11 à 17:06
Posté par Profilmdr_non mdr_non

...

\Large 1 + \sqrt2b_n = 1 + \sqrt{1.2^{2^0} + \sqrt{2.2^{2^1} + \sqrt{3.2^{2^2} + \sqrt{... + \sqrt{n.2^{2^{n-1}} } } } } }
re : Encadrement d'une racine carrée#msg3667482 Posté le 08-07-11 à 17:11
Posté par Profilmdr_non mdr_non

\Large \forall  k \geq 1 ,  k(2^{2^{k-1}} - 1) - 1 \geq 0 \\ \\ \Leftrightarrow  k.2^{2^{k-1}} \geq k + 1
re : Encadrement d'une racine carrée#msg3667598 Posté le 08-07-11 à 19:12
Posté par Profilmikomaria mikomaria

Bonjour Mdr_non  &  Jerem80

Cette démonstration de trés, trés grande finesse et culture scientifique ne prouve que      
  $ $$1,7 $< $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+...} } } $$<$ 1,931 .  

Peut-être qqn aurait une autre idée encore pour faire descendre l'encadrement à droite  à   1,9 (ou moins...)?!

Priwre de la publier ici SVP. Cela m'intéresse beaucoup!

@Jerem80 : C'était le niveau de la terminale en Russie durant le communisme. Et, de plus, les études générales en ces temps ne duraient que 10 ans ( de 7 à 17 ans )! ( Cela à changé depuis la chùte du communisme...) Il y avait des concours d'entrée difficiles à la fac, dont on était exempté si on participait aux olympiades. Cela montait considérablement le niveau...En toutes le matières d'ailleurs : le premier livre d'argot ( français ) que j'ai eu en main en tant que petit gosse, était un ouvrage ( formidable dans sa richesse ) de la bibliothéque de ma grand'mère ( prof de français )- édité en... Russie Soviétique ! Et à propos du livre dont tu me  parle : il a été conçu justement pour préparer les futurs étudiants-mathématiciens aux études supérieures qu'on entreprenait à 17 ans... Je ne dispose que de quelques pages photocopiés de cet ouvrage ( sans page de titre et en russe d'ailleurs - je le lis...), qui me furent apportées par notre femme...de ménage ukrainienne et ex-prof de mathématiques, de laquelle je tiens ces informations...
De manière générale il y a une différence dans l'enseignement des maths en France et dans les pays ex-communistes de l'Europe de l'Est : on mets les accents sur autres choses, et certains thèmes sont abordés dans un ordre différent voire inverse. Et, pour ce qui nous intéresse ici, on porte beaucoup plus de soins sur l'invention d'exercices originaux, tandis qu'en France c'est le sujet-type qui régne dans l'enseignement secondaire...
re : Encadrement d'une racine carrée#msg3667689 Posté le 09-07-11 à 06:57
Posté par Profilmdr_non mdr_non

s'il s'agit de suite "auxiliaire" je pense bien qu'il y a un lien à faire ... (moi je ne l'ai pas fait)

peut être y a t il un lien (une combinaison à faire)  entre les  ai et les bi
ou entre  les   ai-1 et les bi ..... je ne sais pas.



Pour le niveau, oui c'est bien différent du niveau français , mais même les énoncés du bac  2000 sont différents de ceux d'aujourd'hui
les programmes ont changés , les élèves ont changés , la difficulté avec ....
re : Encadrement d'une racine carrée#msg3668081 Posté le 11-07-11 à 01:53
Posté par Profilmikomaria mikomaria

Bonjour à tous,

C'est toujors un peu drôle de répondre à ses propres questions...Pour tous ceux qui se sont intéressé au problème de l'encadrement de cette racine, en voici la solution finale ( je crois...)que j'ai trouvé ce matin :

On a : b_{n} =\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+...\sqrt{ (n-1)+\sqrt{n} } } } } .
Or,
k 4 : k    k/2.   [*]

En appliquant cette inégalité à tous les radicaux emboîtés de bn  on obtient :

n 4 :  b_{n} \leq \frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+...+\frac{n}{2^n} = 2 - \frac{n+2}{2^n}=c_{n} .

On voit donc que (bn) est majoré par (cn) et que   lim bn < lim cn = 2.

Cela ne  ramène pas à  lim bn < 1,9, mais avec un petit astuce...

Puisque 3+\sqrt{4+\sqrt{5+\sqrt{6+...\sqrt{ (n-1)+\sqrt{n} } } } } > 4, on applique [*] et on obtient :

\sqrt{3+\sqrt{4+\sqrt{5+...\sqrt{ (n-1)+\sqrt{n} } } } }\leq \frac{3}{2^1}+\frac{4}{2^2}+\frac{5}{2^3}+...+\frac{n}{2^{n-2}} = 4 - 4\frac{n+2}{2^n}.

Alors pour tout n 4   on a :

b_{n} \leq  \sqrt{1+\sqrt{2+( 4 - 4\frac{n+2}{2^n}}) }= \sqrt{1+\sqrt{6 - 4\frac{n+2}{2^n}}   .

Et en passant à la limite

lim b_{n}<\sqrt{1+\sqrt{6}} < 1,86  .

Je pense que ceci est la solution à laquelle avait pensé l'auteur du problème...

A demain à tout le monde sur ce site - avec un nouvel exercice...

<mikomaria>
re : Encadrement d'une racine carrée#msg3668091 Posté le 11-07-11 à 09:36
Posté par Profiljerem80 jerem80

Salut Mikomaria,

Encore une fois bravo, c est du raffinement et une tres belle demonstration. Apres verification, je tombe aussi sur les memes expressions en n.
L astuce de la racine carre inferieure a la moitié pour tout reel superieur ou egal a 4, il fallait y penser!

Si tu as d autres exercices, merci de les poster, meme si je crois que comme celui la je ne pourrai que verifier la solution en belle et due forme ...
re : Encadrement d'une racine carrée#msg3668126 Posté le 11-07-11 à 11:51
Posté par Profilmdr_non mdr_non

bonjour

c'est vrai, c'est un vrai travail de recherche .. bravo !
re : Encadrement d'une racine carrée#msg3668149 Posté le 11-07-11 à 13:04
Posté par Profilmikomaria mikomaria

@ Jerem80 : Merci pour ton appreciation. j'ai posté un nouvel exercice ce matin « Trois nombres et deux inégalités » ...

@ Mdr_non : Merci !

A bientôt sur ce site,

< mikomaria >
re : Encadrement d'une racine carrée#msg3672010 Posté le 26-07-11 à 05:50
Posté par Profilams1993 ams1993

Je viens de découvrir ce problème qui m'a beaucoup plus.

J'ai donc essayé de le résoudre seul, et j'avoue : il m'a donné un peu de fil à retordre (mais j'y suis enfin parvenu au bout de 2h : ehh oui je suis trop nul )

Bon voilà ma solution au cas où quelqu'un passe par hasard ici (ps: comme j'ai eu quelques complications avec Mathtype, j'ai été obligé de ne faire qu'une capture d'écran dsl) :

Encadrement d'une racine carrée
Encadrement d'une racine carrée#msg4008633 Posté le 01-02-12 à 23:34
Posté par Profilmikomaria mikomaria

Bonjour, Ams1993,

Merci beaucoup !  Cela est une contribution originale à la question posée. Je ne suis pas revenus après les vacances sur mes topics d'autrefois et c'est suelement ce soir que je lis ce message...Bravo!

Hier j'ai posté un nouveau casse-tête ( forum terminale, rubrique « autre » ) ...

A bientôt,

<mikomaria>

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