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Matrices et polynômes


autreMatrices et polynômes

#msg3673979#msg3673979 Posté le 02-08-11 à 14:53
Posté par ProfilElytinker Elytinker

bonjour


voici un autre petit exercice :

Soit A une matrice telle que An=0 et B= I+A+A²+...A n-1

1)B est-elle inversible ? Calculer son inverse .

je me demande si je peux déduire de la définition de A qu'elle est nilpotente , même si A^(n-1) différent de zéro n'est pas précisé .

En appliquant la méthode habituelle , je ne trouve pas :

B-(A+A²+...A n-1)= I , je n'arrive à rien

mais si je fais A-1 B = IA^(-1)+ AA^(-1) + A²A^(-1)+...A n-1A =A^(-1)+I+A+...A^(n-2) , bon je n'y parviens pas non plus . Une petite piste ?

2)Montrer qu'il existe un seul polynôme de degré inférieur ou égal à 5 tel que P+P'+...P(5) =X5

là aussi, besoin d'un petit indice .

merci
re : Matrices et polynômes#msg3673983#msg3673983 Posté le 02-08-11 à 14:59
Posté par ProfilManu04 Manu04

Pour la question 1), cela vient d'une formule très importante en maths, qui est utile dans de nombreuses situations : (1-x)(1+x+x^2+\ldots+x^{n-1})=1-x^n. En remplaçant, x par ta matrice A, tu vas trouver.
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re : Matrices et polynômes#msg3673984#msg3673984 Posté le 02-08-11 à 15:02
Posté par ProfilBoltzmann_Solver Boltzmann_Solver

Bonjour,

Pour le 1), inspire toi de la série géométrique en écrivant que B(Id-A) = (Id-A)B = Id - A^n = Id ==> B est inversible, d'inverse Id-A.
2) Écris la matrice associée à ce polynôme.
re : Matrices et polynômes#msg3674469#msg3674469 Posté le 03-08-11 à 16:08
Posté par ProfilElytinker Elytinker

ok ,alors :

1)je ne connaissais pas cette formule ... merci .
2)le polynôme est de degé inférieur ou égal à 5 donc j'écris la matrice dans la base 1 X X3 X4 X5

problème : je ne sais pas ce qu'est P  , donc combien de X pour P , pour P' etc ...
re : Matrices et polynômes#msg3674492#msg3674492 Posté le 03-08-11 à 16:51
Posté par ProfilManu04 Manu04

On considère la base canonique de \mathbb{C}[X] : (1,X,X^2,\ldots,X^5). Dans cette base un polynôme P(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_5X^5 est un vecteur de coordonnées (a_0,a_1,\ldots,a_5).

On a alors P'(X)=a_1+2a_2X+\ldots+5a_5X^4 donc P' a pour coordonnées (a_1,2a_2,3a_3,4a_4,5a_5,0).

Détermine la matrice A, telle que AP=P'
re : Matrices et polynômes#msg3674981#msg3674981 Posté le 05-08-11 à 10:33
Posté par ProfilUlusse Ulusse

Ou sinon, on peut également résoudre l'exercice intelligemment et utiliser le 1) pour prouver le 2).
On se place dans K_5[X], et on considère l'opérateur dérivée D. Alors D^6 = 0. Conclusion ? ...
re : Matrices et polynômes#msg3674984#msg3674984 Posté le 05-08-11 à 10:39
Posté par ProfilManu04 Manu04

Sans blague Ulusse ? Il faut utiliser le 1 ? pas possible ?!
Si tu avais lu ce qui est écris au dessus Ulusse tu aurais vu qu'il s'agit justement de ce que l'on propose tous gros malin.
re : Matrices et polynômes#msg3675017#msg3675017 Posté le 05-08-11 à 12:04
Posté par ProfilUlusse Ulusse

On ne dirait pas. La question est de prouver une existence (et unicité). Il n'y a pas besoin d'exprimer quoi que ce soit dans quelque base que ce soit, c'est même dommageable.
On a l'expression de l'inverse de I +D +D^2 + ... + D^5, à savoir I - D, ce qui suffit à démontrer l'existence et unicité de P.
Si on veut absolument le calculer, il n'y a pas besoin de passer par une base, et il suffit d'inverser notre formule et d'appliquer I-D à X^5, ce qui donne immédiatement X^5 - 5X^4

Après évidemment on peut se compliquer la vie, écrire tout ça dans une base et poser des matrices, mais c'est non seulement plus compliqué, mais inutile.
re : Matrices et polynômes#msg3675021#msg3675021 Posté le 05-08-11 à 12:11
Posté par ProfilManu04 Manu04

La matrice A que je lui propose de trouver est justement la matrice de dérivation que tu appelles peu judicieusement D. Pour quelqu'un qui ne l'a jamais rencontrée il faut évidemment en passer par là pour la découvrir.
En plus tu viens de lui donner le développement qu'il aurait pu trouver seul après les indicaions données. Quel intérêt pour lui ? La pédagogie n'a pas l'air d'être ton fort.
re : Matrices et polynômes#msg3675022#msg3675022 Posté le 05-08-11 à 12:12
Posté par ProfilManu04 Manu04

Ta façon de rentre sur ce topic avec tes gros sabots et ton manque d'humilité, m'a quelque peu échauffé.
re : Matrices et polynômes#msg3675106#msg3675106 Posté le 05-08-11 à 15:50
Posté par ProfilElytinker Elytinker

bonjour ,

merci pour vos réponses , ne pas s'énerver .

Je trouve pour la matrice A ceci :

1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 0 5
re : Matrices et polynômes#msg3675270#msg3675270 Posté le 06-08-11 à 11:26
Posté par ProfilManu04 Manu04

Bonjour,

A devrait être une matrice 6x6 non ? On est dans \mathbb{C}_5[X]
Elle doit plutôt ressembler à \left(\begin{array}{cccccc}0&1&0&0&0&0\\0&0&2&0&0&0\\0&0&0&3&0&0\\0&0&0&0&4&0\\0&0&0&0&0&5\\0&0&0&0&0&0\end{array}\right)

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