Joute n°41 : Le crible était presque parfait

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour à tous,

Je vous propose de passer au crible les entiers naturels de la façon suivante :

On écrit la suite de entiers positifs à partir de 1 et, à chaque fois qu'on a écrit un nombre, on compte le nombre de fois qu'apparaît chaque chiffre de 1 à 9 (on ne s'occupe pas du chiffre 0).
Dès qu'un chiffre apparaît autant de fois que la quantité qu'il indique (en clair, si on a 2 fois le chiffre 2 ou 5 fois le chiffre 5 ou 8 fois le chiffre 8, etc...), on efface toutes les occurrences de ce chiffre dans la liste.
Puis on écrit le nombre suivant et on recommence le comptage.

Faisons le début ensemble.
On commence par écrire 1. Comme on a une fois le chiffre 1, on l'efface.
Puis on écrit 2 3 4 5 6 7 8 9 10. On retrouve une fois le chiffre 1, on l'efface.
On se retrouve avec la liste 2 3 4 5 6 7 8 9 0 qu'on complète avec 11. On a maintenant 2 fois le chiffre 1 donc on ne l'efface pas.
Puis on écrit 12, et on a deux fois le chiffre 2, donc on les efface tous les deux.
Ca donne 3 4 5 6 7 8 9 0 11 1, qu'on complète avec 13 14 15 16 17 18 19 20 21.
On retrouve à nouveau deux fois le chiffre 2, donc on les efface tous les deux.
Et ainsi de suite…

Question : Existe-t-il un nombre au-delà duquel plus aucun chiffre ne sera effacé ?
Si oui, indiquez ce nombre (dont l'ajout provoquera le dernier effacement).
Si vous pensez qu'il n'existe pas un tel nombre, répondez « problème impossible ».

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Arrivé à 850 on enlève le 8 et au delà plus aucun chiffre ne sera enlevé.

Posté par alfred15 alfred15

Bonjour,


très rapidement, je dirais que l'ajout du nombre 850 provoque le dernier effacement (du 8)
Au delà, il n'y a plus d'effacements

Merci pour l'énigme

Posté par Manu04 Manu04

850 est le dernier chiffre qui provoquera un effacement (8 en l'occurrence)

Posté par beliaman beliaman

Bonjour godefroy,
je propose 850 comme nombre qui provoque le dernier effacement.
Merci pour cette énigme !

Posté par totti1000 totti1000

Salut Godefroy,
Je propose 850.

Posté par Jun_Milan Jun_Milan

Bonjour,

Il existe un nombre au-delà duquel plus aucun chiffre ne sera effacé.
Ce nombre (c.a.d, dont l'ajout provoquera le dernier effacement) est 850.

Merci pour cette superbe joute !

Posté par caylus caylus

Bonjour Godefroy,
Le dernier effacement est pour le nombre 850 (du chiffre "8").

_{(J'étais tenté de répondre 858)}
Merci pour la joute.

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour Godefroy.
La réponse est 800.

Le dernier 1 effacé est celui du 10; car après, on a 11 et on ne redescendra jamais à un 1.

Jusqu'à 22, 32, 112, 192, 202, 210, tous les 2 sont effacés; 212 marque le passage à trois 2.

Jusqu'à 32, 43, 103, 130, tous les 3 sont effacés; 133 marque le passage à quatre 3.

Jusqu'à 43 tous les 4 sont effacés; de même jusqu'à 143, 243 et 343, car on rencontre chaque fois dix 4 en dizaines et dix 4 en unités, donc pas de passage à 5 avec .44; de même jusqu'à 394 et 403; puis 410; 414 marque le passage de trois à cinq 4

Jusqu'à 54, tous les 5 sont effacés; de même jusqu'à 454 (car dans les séquences de vingt 5, vingt est divisible par 5); puis 495, 504, 513, 522; 531, 540; à 545, on passe de quatre à six.

A 66, il reste deux 6; à 566, ils sont tous effacés; de même à 602; à 606, il en reste 5; en avançant ensuite de 10, il en reste chaque fois un de moins; à 646, il n'en resterait qu'un s'il n'y avait pas le passage de cinq à sept 6.

A 77, il reste deux 7; chaque fois qu'on avance de 100, il en reste un en moins; à 177, il n'en resterait qu'un s'il n'y avait pas le passage de six à huit 7.

A 88, il reste deux 8; à 788, il en reste 6; à 800, il n'en reste plus; 808 marque le passage de sept à neuf 8.

A 99, il reste deux 9; chaque fois qu'on avance de 100, il en reste deux de plus; à 599, il reste dix 9.

Chiffre : nombre dépassant la limite; dernier nombre d'effacement
1 : 11; 10
2 : 212; 210
3 : 133; 130
4 : 414; 410
5 : 545; 540
6 : 646; 640
7 : 177; 170
8 : 808; 800
9 : 599; 590

Posté par yoyodada yoyodada

Salut Godefroy,

Arrivé à 899, on enlève les neuf 9 présents, mais après on n'enlèvera plus aucun chiffre (à 909, on passera de 8 à 10 neufs présents).

Ma réponse est donc 899.

Merci pour l'énigme

Posté par geo3 geo3

Bonsoir  godefroy
Le dernier effacement (du chiffre '8') serait pour le nombre 850
A+

Posté par pacou pacou

Bonjour Godefroy_lehardi

Bon, même si je suis pas trop douée pour les cribles, je tente une réponse:
Le dernier nombre au-delà duquel plus aucun chiffre ne sera effacé est 850.
Je croise les doigts.
Merci.

Posté par Pantagruel Pantagruel

Bonjour tout le monde
Mes recherches ont abouti à ce qui suit:
- On ne peut plus effacer de chiffres après le 850 dont on élimine le "8"
- Toutes les séquences des autres chiffres se sont achevées bien avant.
N.B. Je pense que c'est un très bon casse-tête, (plutôt qu'énigme) où tout un chacun - même ceux qui ne maitrisent pas les maths- peuvent s'amuser.    
Je dirai alors à godefroy_lehardi et à Jamo, à d'autres énigmes de ce genre.

Posté par ksad ksad

Hello !
Aussi étonnant que cela puisse paraître, il semble que plus aucune élimination ne se produise au-delà de 850, nombre pour lequel on élimine 8 pour la dernière fois.
Bonne journée et merci pour la joute !

Posté par link224 link224

Salut godefroy !

Selon moi, problème impossible. Les 1 qui resteront toujours écrit (car on en écrit 2 de suite avec 11), mais les deux pourront toujours s'effacer (2-12; 20-21; 22; 23-24; etc etc, il n'y en aura jamais 3 en même temps !)

A+ et merci pour l'énigme !

Posté par F-R F-R

Bonjour , je propose qu'au delà du nombre 89, plus aucun chiffre ne sera effacé.

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Godefroy,

On doit comprendre que chacun des nombres successifs est posé "d'un coup" (par exemple la pose du nombre 133 fait passer, d'un coup, de deux à quatre le nombre de chiffres "3" présents).
Alors le nombre dont l'ajout provoque le dernier effacement (effacement de huit "8") est :  850

Encore merci à toi (quelle imagination ! où vas-tu chercher tout ça ?)

Posté par gloubi gloubi

Bonjour godefroy_lehardi,

Le nombre au-delà duquel aucun effacement n'est possible est 850 (pour les 8).

Merci pour l'énigme !  

Posté par yoyodada yoyodada

Je voulais dire "dépassé 899", soit arrivé à 900, on enlève les derniers chiffres.
Je tenais à rectifier ma réponse, même si j'aurai certainement droit à mon poisson...

Posté par Schmerz Schmerz

Le chiffre 1 premier nombre entier positif ne s'efface plus à partir du chiffre 11.
Le chiffre 11 contenant 2 fois le 1.
Le dernier chiffre a s'effacer sera le chiffre 9 car il en faut 9 pour qu'il s'efface.
Le nombre à partir duquel le chiffre 9 ne s'efface plus contient au minimum deux 9.

Le premier est 99, faisons la liste des nombres comprenant des 9 étant inférieurs à 99.
il a donc 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99
les neufs s'efface après 99 car ils s'efface à 89 et à 98.

Faisons de même avec 199 mais à partir de 99 :

99, 109, 119, 129, 139, 149, 159, 169, 179, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199
les neufs s'efface à 169 et à 196.

Il faut donc que au nombre n90 (avec n strictement inférieur à 9)les neufs s'effacent !

Hors avec le décalage des deux neufs à 99, 199 ou encore 299; le nombre n90 va être découvert peu à peu.

En comparant et en généralisant ces 2 exemples ci-dessus, on peut annoncer que à chaque centaine, l'effacment des 9 se font s'il on peut dire "deux 9 en dessous"

Par déductions les neufs vont s'effacer aux nombres :
249, 294, 329, 392, 409, 490.



Par conséquent, c'est au-delà du nombre 490 qu'il n'y aura plus d'effacement !!!

Posté par titeo titeo

Je pense que c'est 810 qui provoque le dernier effacement. Mais ça sent le

Bravo pour cette nouvelle énigme!

Posté par sandro sandro

Je pense que c'est "problème impossible" vu que les nombre entiers natturels ne s'arrêtent jamais.
Sandro

Posté par Judeau Judeau

Bonjour,

Le nombre 850 provoque le dernier effacement.

Merci pour l'énigme.

Posté par castoriginal castoriginal

Bonjour,

On avait constaté dans l'exemple de l'énoncé que le chiffre 1 ne pouvait plus s'effacer après 11.
De la même façon le chiffre 2 est bloqué par 212,
le chiffre trois est bloqué par 133,
le chiffre quatre est bloqué par 414,
le chiffre cinq est bloqué par 545,
le chiffre six est bloqué par 616,
le chiffre sept est bloqué par 177,
le chiffre huit est bloqué par 858,
et le chiffre neuf est bloqué par 499

C'est donc le chiffre huit qui est déterminant: le dernier huit qui peut être effacé est celui du nombre 850; après il n'est plus possible d'effacer quoi que ce soit!
Bien à vous

Posté par Horom Horom

850


1 écrasé 2 fois
2 écrasé 26 fois
3 écrasé 8 fois
4 écrasé 23 fois
5 écrasé 29 fois
6 écrasé 22 fois
7 écrasé 4 fois
8 écrasé 27 fois
9 écrasé 10 fois

Merci !

Posté par buck92 buck92

Bonjour,
oui, 980 avec la dernière suppression de 8.

à la question "Existe-t-il un nombre au-delà duquel plus aucun chiffre ne sera effacé" la réponse semble immédiate : c'est oui.
En effet, sans connaître le nombre qui verra la suppression du dernier 1, on sait qu'il existe et est inférieur ou égal à 11. De même la dernière suppression de 2 aura lieu au plus tard avec le nombre 222. Le majorant de la réponse est donc 9 999 999 999.

Par contre, la demande "Si oui, indiquez ce nombre (dont l'ajout provoquera le dernier effacement)" est une exigence plus délicate
Je suppose qu'il existe une méthode intelligente pour déterminer la réponse. Pour ma part, j'ai essayé "à la main" et trouvé que le dernier effacement de 9 se faisait sur 590, le dernier effacement de 7 avec 170, et le dernier effacement de 8 avait lieu avec 980. C'est ma réponse mais j'ai pu me tromper dans les décomptes...

Merci pour l'énigme !

Posté par dpi dpi

Bonjour,

Il faut donc que chaque chiffre soit éffacé gràce
à un multiple entier de lui-même présent dans les nombres
1 dès 11 (pas de multiple 3 )
2 dès 212 (pas de multiple 54)
3 dès 133 (pas de multiple 27)
etc..
Il semble que c'est 8 qui ne pourra plus s'effacer par l'absence de son multiple 224 soit 858.
Donc réponse 850 pour le dernier effaceur

Posté par sanantonio312 sanantonio312

Bonjour,
Ma réponse: 850
J'ai écrit cette petite moulinette en QuickBasic:
1 CLS
10 i = 1
11 DIM r(9): DIM s(9)
12 FOR j = 1 TO 9
13 r(j) = 0: s(j) = 0
14 NEXT
20 a$ = STR$(i)
30 FOR j = 1 TO LEN(a$)
40 s$ = MID$(a$, j, 1)
50 FOR k = 1 TO 9
60 l = VAL(s$)
70 IF l = k THEN r(l) = r(l) + 1
80 NEXT
136 NEXT
140 FOR j = 1 TO 9
150 IF r(j) = j THEN r(j) = 0
160 IF r(j) > j AND s(j) = 0 THEN s(j) = 1: PRINT j; i
170 NEXT
180 i = i + 1
190 FOR j = 1 TO 9
200 IF s(j) = 0 THEN 220
210 NEXT
211 END
220 GOTO 20

Le résultat obtenu est:
1 11
3 133
7 177
2 212
4 414
9 499
5 545
6 616
8 858

858 est donc le nombre à partir duquel on n'efface plus les 8. (Passage de 7 à 9 chiffres 8)
Le 7° 8 a été obtenu avec 857
Le 6° avec 856
...
Le 1° avec 851
Le dernier effacement a donc eu lieu avec 850

Posté par torio torio

850 provoque le dernier effacement (un 8)

à partir de 851, plus aucun chiffre ne sera effacé.

A+
Torio

Posté par LeDino LeDino

Bonjour,

Sauf erreur : le nombre 850 est le dernier qui provoque un effacement.

La méthode :
Avec un tableur, on reconstitue la liste des chiffres et de leurs occurrences, en appliquant la règle d'effacement.
Dès que le nombre d'occurrences d'un chiffre dépasse ce chiffre, il ne peut plus être effacé.

1 est le premier chiffre ainsi "saturé", dès le niveau 11.
Puis 3 au niveau 133.
Puis 7 au niveau 177.
Puis 2 au niveau 212.
Puis 4 au niveau 414.
Puis 9 au niveau 499.
Puis 5 au niveau 545.
Puis 6 au niveau 616.
Puis 8 au niveau 858.

Le dernier chiffre (8) est saturé au niveau 858, mais la dernière fois que le 8 est effacé, c'est au niveau 850, qui est donc le nombre cherché.

Posté par Forsure Forsure

Moi aussi j'aimerais jouer...

Posté par leofofe leofofe

mon approche par rapport a ce probleme que je juge d'ailleurs tres interessant me permet de dire que le resultat est 858

Posté par pharaon pharaon

oui il existe evidammment un nombre au-duquel aucun chiffre n'est plus efface et ce nombre est 9999999998

Posté par math-adore math-adore

Salut Godefroy

Je pense que le nombre qui provoque le dernier effacement est 850 qui efface 8 huits.

Posté par onizuka1 onizuka1

A mon avis,le 9 va être effacé jusque à ce que l'on introduise le chiffre 999. Donc ma réponse est 999

Posté par Rumbafan Rumbafan

Bonjour Godefroy,

De retour de vacances, je propose 850..  qui efface des 8

Merci pour cette énigme

A+

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Clôture de l'énigme :


@ Pierre_D : c'est aussi ce que me demande ma femme à chaque fois !

Posté par totti1000 totti1000

Bonjour ,

Nofutur2 impressionnant de rapidité sur cette énigme... Chapeau !

Posté par castoriginal castoriginal

Bonsoir totti 1000


d'autres sont peut-être encore plus impressionnants de rapidité !
(mais ils n'ont pu commencer que plus tard...)

Posté par totti1000 totti1000

Bonsoir castoriginal,

Ma phrase ne contredit en rien la tienne...

Mais j'ai jugé sur les faits, et donc, c'est bien Nofutur2 le meilleur sur cette énigme...

Je pars du principe que depuis que l'on connait un créneau horaire pour chaque énigme, tout le monde est sur un même pied d'égalité.

Ensuite que certains ne puissent pas être présents dès que l'énigme tombe est le hasard, c'est comme ça...

Mais il ne faut pas croire que "jouer au temps" en étant présent dès la pose de l'énigme est plus simple, je pense même que c'est tout le contraire... Ceux qui jouent le chrono prennent d'autant plus de risques en essayant de poster rapidement, et c'est d'ailleurs ça qui bien souvent leur fait commettre des erreurs...

Donc, oui, peut-être que d'autres sont encore plus impressionnants de rapidité (malheureusement pour eux nous n'en avons pas la preuve), mais pour moi, et dans le cas présent, une chose est sûre, c'est que Nofutur2 m'a impressionné sur cette énigme et m'a mis, encore plus la pression, et c'est ça, entre autres, qui fait le jeu !!!

Posté par castoriginal castoriginal

bonne nuit totti 1000,
Ce n'est pas forcément vrai!
Il faudrait demander à chacun quelle est son occupation principale et quelles sont ses libertés. Il faut manger et subvenir au moins à ses besoins primaires.

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour.
En effaçant les 1, on arrive successivement à : 1 10 et on bute sur 11.

En effaçant les 2 : 12 21 22 24 26 28 32 52 72 92 112 121 122 124 126 128 132 152 172 192 201 202 204 206 208 210 et on bute sur 212.

En effaçant les 3 : 23 32 34 37 43 73 103 130 et on bute sur 133.

En effaçant les 4 : 34 43 46 54 94 134 143 146 154 194 234 243 246 254 294 334 343 346 354 394 403 406 410 et on bute sur 414.

En effaçant les 5 : 45 54 58 95 145 154 158 195 245 254 258 295 345 354 358 395 445 454 458 495 504 508 513 517 522 526 531 535 540 et on bute sur 545.

En effaçant les 6 : 56 65 76 136 163 168 216 261 266 296 356 365 376 436 463 468 516 561 566 596 605 610 et on bute sur 616.

En effaçant les 7 : 67 76 107 170 et on bute sur 177.

En effaçant les 8 : 78 87 138 183 198 278 287 338 383 398 478 487 538 583 598 678 687 738 783 798 807 814 821 828 836 843 850 et on bute sur 858.

En effaçant les 9 : 89 98 169 196 249 294 329 392 409 490 et on bute sur 499.

Posté par LeDino LeDino

Bonsoir,

Je joins mon étonnement à celui de totti1000.
De 14h06 à 14h21, il s'est écoulé 21 minutes.

A supposer que nofutur2 ait été sur la brèche dès la parution de l'énigme, il du lire, comprendre, formaliser, trouver un mode opératoire, l'exécuter, vérifier, poster sa réponse... En à peine 20 minutes je trouve ça plus qu'impressionnant.

Lorsque j'ai vu son temps de réponse, l'idée m'a d'ailleurs traversé qu'il ait pu répondre "problème impossible". Sauf qu'il faut à peine quelques minutes pour avoir l'intuition forte qu'il existe bien une solution, et que ça ne pouvait lui avoir échappé...

Je pense que nofutur2 a quasi instantanément compris qu'il fallait résoudre le problème par la programmation... et qu'il est tout particulièrement efficace dans ce domaine (notamment).


Pour Castoriginal :
Combien as-tu mis de temps ?
As-tu été plus vite que vingt minutes ?

Pour ma part, il m'a fallu une bonne heure (sur tableur), et je n'ai pas eu l'impression de perdre du temps...

Posté par Pierre_D Pierre_D

En effet, c'est assez impressionnant ; de mon côté, je l'ai fait à la main, en deux fois, et ça m'a donc pris nettement plus de 20' .

Posté par castoriginal castoriginal

Bonsoir,

pour revenir à la rapidité de trouver la réponse à la joute, je vous propose deux solutions.
La première est basée sur Excel. Elle m'a fait découvrir des fonctions que je connaissais pas encore.

1ère solution(voir extrait du tableur ci-dessous)

description:
1°)1ère colonne des nombres de 1 à 1000; on inscrit 1 dans la case de tête A1
2°) dans la case en-dessous, on fait A2=A1+1
3°) on fait copier/coller de A2 sur 998 case de la colonne (1000 premiers nombres)
4°) on sélectionne les 1000 cases. On va transformer le contenu des nombres en valeurs type texte. Pour cela on fait copier puis "collage spécial"sur les mêmes cases.
5°) dans la colonne suivante (2e) on sélectionne dans la case de tête la fonction STXT(A1;1;1) cela veut dire que l'on extrait de la valeur alphanumérique de la 1ère case de la première colonne le premier caractère en position 1.On copie/colle sur la colonne des 1000 cases.
6°)on répète cette opération pour le 2e caractère en position 2 soit STXT(A1;2;1) colonne 3
7°) idem pour le 3e caractère en colonne 4    STXT(A1;3;1)
8°) dans la colonne 5 on va calculer le nombre d'occurrences de chaque chiffre pour chacun des 1000 nombres
On définit en 1ère ligne la fonction NB.SI(B1: D1;"=2") que l'on copie sur les 1000 lignes.
On a le nombre d'occurrences de 2 pour chaque nombre. Pour aller vite, on ne fait pas un tableau complet; il suffit de changer le 2 en 3,4,5,6,7,8,9 et de copier/coller dans la colonne "occurrence" pour trouver le nombre bloquant.
9°) dans la colonne 6 on totalise les occurrences: on additionne la case précédente de la colonne avec la valeur à gauche dans la colonne 5 puis copier/coller sur les 1000 cases de la colonne 6
On recherche les nombres où le chiffre recherché apparait au moins deux fois. Le nombre bloquant est celui pour lequel le nombre d'occurrences est multiple du nombre + 1
10°) lorsque l'on a trouvé que 858 est le nombre bloquant le plus élevé, on a un nombre d'occurrences de 225 = 28*8+1. Le dernier nombre qui permet d'effacer est 850 puisque 27x8=216 occurrences


Bien à vous

Posté par LeDino LeDino

Bonjour Castoriginal,

J'ai adopté une méthode assez similaire à la tienne.
Néanmoins, le temps de comprendre l'énoncé, de dérouler la méthode, de vérifier et de poster la réponse, ça m'a pris environ une heure.

Combien de temps as-tu mis de ton coté ?
As-tu mis moins de 20 minutes (qui est un majorant du temps mis par nofutur2) ?

Posté par castoriginal castoriginal

Bonjour à tous,

voici une 2e solutionqui est à mon avis plus rapide que la précédente.

considérations
1° on sait que pour chaque centaine, chaque chiffre (sauf le zéro) a 20 occurrences.
Mais, pour 0 à 1000, chaque chiffre a 120 occurrences dans la centaine qui commence par lui.

2° un nombre peut être bloquant quand il présente au moins 2 fois le chiffre de la recherche.
Il y a de tels nombres une fois par centaine sauf dans la centaine qui commence par le chiffre exploré. Dans la recherche de ce cas, un nombre est bloquant quand le nombre d'occurrences du chiffre est un multiple de ce chiffre +1.

3° Les chiffres pairs sont effacés dans une centaine normale. Il faut rechercher alors le nombre bloquant dans l

Posté par castoriginal castoriginal

petite erreur de manipulation ! Voici la suite:

Il faut rechercher alors le nombre bloquant dans la

Posté par castoriginal castoriginal

même erreur, excuses !

Il faut alors rechercher le nombre bloquant dans la centaine qui commence par leur chiffre.

Application

1) pour le 2, on commence par le nombre 22 où le 2 trouve sa sixième occurrence
(multiple de 2) on passe à 122 où le 2 a sa 26e occurrence (multiple de 2).Après 199, on a:
200,201-202-203,204-205,206-207,208-209,210-211,212 (3 occurrences donc bloquant)

2) pour le 3, on commence par le nombre 33 où le 3 trouve sa 8e occurrence (multiple de 3 +2), on passe à 133qui est bloquant parce que le 3 a sa 28e occurrence qui est multiple de 3 + 1

3) pour le 4, on commence par le nombre 44 où le 4 trouve sa 10e occurrence (multiple de 4 + 2), on passe à 144 où le 4 a sa 30e occurrence (multiple de 4 +2), pour 244 le 4 a sa 50e occurrence, pour le 344 le 4 a sa 70e occurrence. On arrive à 399 avec 80 occurrences.
après on a 400,401,402,403-404,405,406-407,408,409,410-411,412,413,414(5 occurrences donc bloquant)

4)pour le 5, on commence par le nombre 55 où le 5 trouve sa 12e occurrence (multiple de 5 +2),on passe à 155 où le 5 a sa 32e occurrence (multiple de 5 +2), pour 255 le 5 a sa 52e occurrence, pour le 355 le 5 a sa 72e occurrence et le 455 où le cinq a sa 92e occurrence. On arrive à 499 avec 100 occurrences.
Après on a comme possibilités de nombres bloquants 505,515,525,535,et 545qui est bloquant

5)pour le 6, on commence par le nombre 66 où le 6 trouve sa 14e occurrence (multiple de 6 +2),on passe à 166 où le 6 a sa 34e occurrence (multiple de 6 +4), pour 266 le 6 a sa 54e occurrence, pour le 366 le 6 a sa 74e occurrence, pour le 466 où le six a sa 94e occurrence, pour le 566 où le six à sa 114e occurrence. On arrive à 599 avec 120  occurrences.
Après on a 600,601,602,603,604,605-606,607,608,609,610,611,612. 612 est bloquant (multiple de 6  +1)

6)pour le 7, on commence par le nombre 77 où le 7 trouve sa 16e occurrence (multiple de 7 +2),on passe à 177 où le 7 a sa 36e occurrence (multiple de 7 +1).177 est donc bloquant

7)pour le 8, on commence par le nombre 88 où le 8 trouve sa 18e occurrence (multiple de 6 +2),on passe à 188 où le 8 a sa 38e occurrence (multiple de 8 +6), pour 288 le 8 a sa 58e occurrence, pour le 388 le 8 a sa 78e occurrence, pour le 488 où le 8 a sa 98e occurrence, pour le 588 où le 8 à sa 118e occurrence. On arrive à 799 avec 160  occurrences.
Après on explore de 800 à 858 qui est bloquant.

8)pour le 9, on commence par le nombre 99 où le 9 trouve sa 20e occurrence (multiple de 9 +2),on passe à 199 où le 9 a sa 40e occurrence (multiple de 9 +4), pour 299 le 9 a sa 60e occurrence (multiple de 9 +6), pour le 399 le 9 a sa 80e occurrence (multiple de 9+ 8), pour le 499 où le 9 a sa 100e occurrence bloquante puisque 100= multiple de 9+1.

conclusion: de 858, on remonte à 850 qui, en occurrences, est le dernier multiple de 8

En définitive, bien que cette dernière méthode soit rapide, il est possible de ne pas pouvoir tomber en dessous des 20 minutes de résolution.
Il y aurait alors une 3e solution....qu'il vaut mieux taire.