Exercice sur les droites othogonales dans l'espace

Posté par vienouvelle vienouvelle

Bonjour
j'ai un exercice que j'essaie de résoudre, mais je suis un peu bloqué.j'aimerai bien que l'un d'entre nous puisse m'orienter un peu.

Voici l'énoncé
" Dans une base orthonormée on considère une droite D1 passant par les points A(0,0,0) et B(2,1,-1). On considère la droite D2 passant par B,orthogonale à D1, et coupant l'axe 0z. Donner les équations de D2"

Tout d'abord, j'ai trouvé le vecteur directeur de D1(AB)= (2,1,-1)
Ensuite, considérant que le vecteur directeur de D2 est (a,b,c) et effectuant le produit scalaire (car orthogonale), je trouve que 2a+b-c=0
Ensuite, vu que D2 passe par B, son équation paramétrique est (avec les acolades bien sûr) : x=2+at ; y=1+bt; z=-1+ct

C'est là que je bloque car je ne vois pas comment avancer.

Pouvez vous à la limite me guider?

Merci d'avance

Posté par vienouvelle vienouvelle

Voilà, je crois avoir trouvé quelque chose:
vu que D2 coupe l'axe 0z, en un point que j'appelle C(0,0,z), je trouve d'abord le vecteur BC(-2,-1,Z+1) de la droite D2, en rappliquant le produit scalaire D1.D2, et en l'égalant par 0, je trouve
z=-6
et donc D2(-2,-1,-5)

Est ce correcte?

Posté par Barbidoux Barbidoux

" Dans une base orthonormée on considère une droite D1 passant par les points A(0,0,0) et B(2,1,-1). On considère la droite D2 passant par B,orthogonale à D1, et coupant l'axe 0z. Donner les équations de D2"
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L'ensemble des droites orthogonales à est le plan perpendiculaire à et passant par . Le vecteur est orthogonal à ce plan qui a pour équation . La valeur de se détermine en écrivant que le plan passe par ...

Posté par vienouvelle vienouvelle

OK, je crois avoir compris. Donc dans le cas d'une question pareille, on doit donner l'équation du plan (ici donc on trouve que k=-6 ) qui est 2x+y-z-6=0.
Mais la question que je me pose: à quoi cela a

Posté par vienouvelle vienouvelle

OK, je crois avoir compris ce que tu as écrit barbidoux.
Donc dans le cas d'une question pareille, on doit donner l'équation du plan (ici donc on trouve que k=-6 ) qui est 2x+y-z-6=0. Ce plan contient toutes les droites orthogonales à D1.
Mais la question que je me pose: à quoi cela a servi qu'on nous dise dans l'énoncé que la droite coupe l'axe Oz? parce que cette donnée n'a pas été utilisé.

Merci de m'éclairer un peu plus.

Et juste pour savoir, ce que j'avais fait au départ n'était pas correcte? parce que j'ai vérifié et ma droite est quand meme orthogonale à D1 et passe par B. Où est mon erreur alors?

Merci bcp

Posté par Barbidoux Barbidoux

OK pour le plan son équation est bien . Je te rappelle qu'une droite peut être définie comme l'intersection de deux plans donc dans ce cas là il faut ajouter à l'équation du plan contenant le point et l'axe soit ce qui permettra de définir la droite par les équations de plans et soit :

On peut aussi procéder différemment en recherchant l'équation paramétrique de la droite . Dans ce cas il faut déterminer les coordonnées de  l'intersection de avec l'axe . Dans ce cas on exprime, dans un premier temps, le produit scalaire ce qui conduit à puis on obtient l'équation paramétrique de la droite en écrivant qu'un point de coordonnée de cette droite est tel que où k est un paramètre ce qui donne :

Posté par vienouvelle vienouvelle

Merci bcp, je suis extremement satisfait par les deux methodes, je pense que je les utiliserai davantage pour mieux les assimiler...passe une très bonne journée