la clef

 Cliquez pour afficher

Soit x = P(n).
P(n+1) = bx + c(1-x) = (b-c)x + c
Si une suite est convergente, deux termes successifs tendent à être égaux.
x tend à être égal à (b-c)x + c
Si cette égale est vraie : x - (b-c)x = c; x = c / (1-(b-c) = c/(1-b+c).

Une question :
la réciproque est-elle vraie :
si une suite U est définie par U(n+1) = f(U(n)) et si f(x) = x a une solution, la suite converge-t-elle toujours vers cette solution ? et dans le cas ou f(x) = x a plusieurs solutions ?

 Cliquez pour afficher

Cela dépend en fait de la courbure de f(x)-x au dessus et en dessous de chaque valeur limite possible.
Si on sait que la suite converge, c'est réglé, vu qu'il suffit de trouver la valeur limite par la méthode que tu as employé.
Lorsque f est dérivable et croissante, c'est simple.
Si f est décroissante, c'est un peu plus compliqué, il faut faire avec des suites alternées.
Si on veut étudier la convergence, il faut il me semble étudier le signe de |f'(x)|-1 , à droite et à gauche de chaque solution de f(x) = x.
Si a est une solution,
- lorsque f'(a) > 1, la suite divergera de a.
- lorsque f'(a) < 1, la suite convergera vers a.
- lorsque f'(a) = 1, il faut passer à f''.


Deux remarques donc pour que la démonstration de Plumemeteore soit complète :
1/ dans le cas de probabilités, on doit trouver une limite (ou plusieurs) entre 0 et 1, ce qu'il faut vérifier. Ici, c'est le cas car 1-b+c > c.
2/ pour démontrer la convergence, il faut préciser que la fonction f(x) = (b-c)x +c est dérivable et croissante, et que f'(x) = b-c (qui est toujours plus petit que 1) en particulier pour la valeur limite trouvée.

Exemple 1 : Un+1 = Un² et Uo > 0
f(x) = x². f'(x)=2x. Deux limites possibles : 0 qui provoque une convergence, et 1 qui provoque une divergence.
Si Uo = 1, (Un) est la suite constante égale à 1
Si 0 < Uo < 1, (Un) tendra vers 0
Si Uo > 1, (Un) est divergente vers +oo.

Exemple 2 : Un+1 = 1 - Un² et Uo > 0
f(x) = 1 - x². f'(x)= -2x. Une seule limite possible : l'inverse du nombre d'or (racine de 5 - 1 sur 2) qui provoque une divergence.
Si Uo = 1, (Un) est la suite la suite alternée de 0 et de 1
Si 0 < Uo < 1, (Un) tendra vers la suite ci-dessus. Je laisse à qui voudrait le soin de le démontrer, mais il faut aller jusqu'à g'' en 1, en appelant g la fonction x -> f(f(x)). Bon courage.
Si Uo > 1, (Un) est divergente vers -oo.

 Cliquez pour afficher

Ce qui m'a intéressé dans cet exercice (classe de TS avec utilisation d'une suite géométrique convergente), c'est le fait que la limite ne dépend pas de a.
LO-RV a donné un contre-exemple à la question de plumemeteore.
J'en donne un simple:

U₀=1 et f(x) = -x + 1


Les  fonctions f continues contractantes sur I possède la propriété demandée par plumemeteore: si u0 €I, Un+1 = f(Un) et k, 0k<1 tel que x,y I,|f(x)-f(y)| k|x-y| alors f possède un unique point fixe A  et Un converge vers A.

C'est le cas de "la clef"
Pour plus de renseignements on peut consulter le site de Bibm@th.net et notamment le théorème de Picard .
Celui de Brouwer est plus intéressant :
Toute fonction continue d'un convexe compact de ⁿ dans lui-même admet un point fixe.
Par exemple, si vous tournez du thé ou café, à la fin il y a au moins une particule qui sera toujours à la même place!

Bon appétit

A+

 Cliquez pour afficher

Pour ce qui est du fait que la limite ne dépend pas de la valeur de départ a, c'est souvent le cas pour les limites de suites, rien d'étonnant à cela.

Ce qui l'est plus (intéressant), c'est d'avoir un problème de proba se ramenant à une étude de limite de suite. Peut-être que faire tester avec des valeurs particulières pour a, b et c d'abord aurait été intéressant pour aider des élèves de TS à mieux comprendre la construction de la suite.

Sinon, pour que cela reste accessible en TS, faire des études de limites de suite avec des graph, c'est plus joli. Et ça permet de comprendre l'importance de la courbure de la fonction, et donc de la variation de la dérivée, rien qu'avec quelques tests.

 Cliquez pour afficher

Il n'y a pas de pb quand b=c cela fait partie du cas général;

Maintenant le fait d'oublier la clef le premier jour P10 n'est pas bon signe pour la suite. Il vaut mieux choisir P1=0.

L"exercice a été donné au bac avec comme d'habitude une progression pour amener les élèves à utiliser les probas conditionnelles puis la suite Pn et enfin en posant Pn = Un + , = 13 et = -4, on obtient une suite Un géométrique convergente. On donnait b=1/10 et c= 4/10.

A+