Ensembles et raisonnements

Posté par cinegirl02 cinegirl02

Bonsoir à tous! J'ai un peu de mal avec des exercices de Maths ...

On a une expérience qui donne n valeurs strictement comprises entre 0 et 1. Je dois prouver que deux de ces valeurs sont distantes d'au plus 1/(n-1) en utilisant un raisonnement par l'absurde.
Je sais que cela se traduit par b - a 1/(n-1) avec a et b strictement compris entre 0 et 1 et b > a, mais je ne vois pas par où commencer le raisonnement par l'absurde.

On me donne ensuite une partie A de . Pour > 0, on note A l'ensemble des réels qui sont à une distance de A strictement inférieure à . On me demande de représenter graphiquement A pour A = et = 1/4 et de l'écrire sous forme d'une réunion d'intervalles. Je suis un peu perdue...

Pourriez-vous me donner quelques pistes pour me débloquer ?

Merci beaucoup pour votre aide

Posté par MisterJack MisterJack

Hello
pour commencer ton raisonnement par l'absurde tu supposes :
"deux nombres "consécutifs" ( mal choisi pour des réels...mais bon) ont toujours une distance d telle que d1/(n-1)"
Ensuite tu montre que cela entraîne qu'un des nombres est supérieur ou égal à 1....contradiction.

Posté par Surb Surb

Bonjour,
Je reformules simplement ce que tu as dis:
On a n valeurs strictement comprises entre 0 et 1. On veut montrer qu'il existe au moins deux de ces valeurs a,b, tels que |a-b| <= 1/(n-1).
Maintenant supposons par l'absurde que ce ne soit pas le cas. Alors ca veut dire que pour tout couple x,y de valeurs, on a |x-y| > 1/(n-1). Et a partir de ca tu devrais rapidement trouver une contradiction .

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Cinegirl,

Tes n valeurs, rangées par ordre croissant sur [0,1] définissent entre elles n-1 intervalles et l'énoncé demande de démontrer que l'un au moins de ces intervalles a une amplitude  .
Pour le démontrer par l'absurde, on va donc supposer qu'aucun de ces intervalles n'a une amplitude  , ou autrement dit que tous ces intervalles ont une amplitude   . Alors la distance entre la plus petite et la plus grande de ces valeurs, qui est la somme de ces intervalles, ...

Posté par Surb Surb

ton problème a décidément beaucoup de succès.

Posté par MisterJack MisterJack

Pour la suite il faut déjà se représenter la chose quand A est réduit à un singleton, genre {-3}. Dans ce cas A est l'intervalle ]-3-;-3+[.
A toi de transposer pour A=.

Posté par yoyodada yoyodada

Bonjour,

a)
On considère , n entiers dans à .
Quitte à changer la numérotation, on peut supposer .

Si pour tout , on a , alors , ce qui contredit .

b)
La distance d'un point à un ensemble est définie par .

Pour , on a si et seulement s'il existe tel que .

Pour , on a donc tel que , et donc
.

Posté par cinegirl02 cinegirl02

Bonjour !

Tout d'abord, je tiens à tous vous remercier pour l'intérêt que vous portez à ce sujet, et aussi et surtout pour votre aide précieuse

yoyodada, certaines des notations que tu as employé sont un peu obscures pour moi...
Pour le petit a), je ne comprends pas comment tu as abouti à la somme (ça ressemble à une suite mais je ne suis pas sûre).
Pour le petit b), je ne comprends pas la notation inf_yAd(x,y). L'écriture finale de l'ensemble m'est familière, mais je ne la comprends pas totalement.

Est-ce que tu pourrais me les expliquer ?

Encore merci à tous pour votre aide   

Posté par olive_68 olive_68

Salut à tous,

Tu peux même dire plus, la distance est strictement inférieur à 1/(n-1) mais ca change pas grand chose ^^.

Pour la notation de yoyodada, c'est juste la définition de la distance d'un point à une partie.
En fixant x (puisque c'est un point que tu as choisis), on définit cette distance par la borne inférieur des distances entre x et les éléments de la partie.
En gros, la distance de x à la partie est la distance la plus courte entre x et un point quelconque de la partie.

Posté par numero10 numero10

Salut,

Pour la somme , c'est simplement une somme télescopique .

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Olive,

"... strictement comprises entre 0 et 1"  signifie donc  "... ]0,1[ " ?  C'est bien ça ?

Posté par olive_68 olive_68

Oui, on est qu'il est impossible de trouver une mesure valant 0 ou 1.  
Donc dire que l'ensemble des mesures est inclus dans [0,1] n'est pas faux, dire qu'il est inclus dans ]0,1[ est un peu mieux (ce qui permet de rendre l'inégalité stricte)

Posté par Pierre_D Pierre_D

Merci, Olive

Posté par cinegirl02 cinegirl02

Bonsoir à tous !

Merci de m'avoir répondu olive_68 et numero10. C'est beaucoup plus clair maintenant

Et une fois de plus, merci à tout le monde

Posté par cinegirl02 cinegirl02

Bonsoir à tous !

J'ai une question dans la continuité du problème sur A et A. Cette fois, au lieu de choisir A = et = 1/4, on se place dans le cas général. En supposant que A est symétrique, comment démontrer que A est lui aussi symétrique ?

Est-ce que vous auriez une piste ?

Merci beaucoup pour votre aide

Posté par olive_68 olive_68

Salut,

Comment montre-t-on qu'une partie de IR est symétrique ? en quoi ça consiste?

Essayes de traduire mathématiquement le problème, c'est-à-dire, ce que tu dois montrer concrètement en language mathématique (pas avec des mots, mais des objets)

Posté par cinegirl02 cinegirl02

Bonsoir olive_68 !

En fait, je connais déjà la réponse

On a corrigé cette question en cours il y a peu. Il fallait utiliser la parité de la fonction valeur absolue pour dire que, la distance entre -x et -a (-a A) étant inférieure à , -x A.

Malgré tout, merci beaucoup de m'avoir répondu

Et encore merci à tout le monde !