preuve que 2=1 !!

Posté par (invité)

Bonjour,

x^2 = x + ... + x (x fois)
en dérivant:
2x = 1 + ... + 1 (x fois)
   = x
avec x=1:
2=1 ???

Posté par J-P J-P

Oui mais non, comme on dit chez moi.

x² = x . g(x) avec g(x) = x
en dérivant:

2x = g(x) + x.g'(x)
2x = x + x.1
2x = 2x
2 = 2
-----
L'erreur vient du fait que le nombre de termes du membre de droite de l'équation
x² = x + x + ... x (x fois) est lui même fonction de x.
Dans ces conditions, on ne peut pas effectuer les dérivées comme tu l'as
fait.

Posté par J-P J-P

Dans le même style:

-6 = -6
4 - 10 = 9 - 15
4 - 10 + (25/4) = 9 - 15 + (25/4)
(2 - (5/2))² = (3 - (5/2))²
2 - (5/2) = 3 - (5/2)
2 = 3
----------------------------------
Un autre:

Posons a = b
a = b
a² = ab
a² - b² = ab - b²
(a-b)(a+b) = b(a-b)
a + b = b
et comme a = b, on a:
2b = b
2 = 1
--------------

Posté par Tom_Pascal Tom_Pascal

Marrant tout ça, peut être de quoi ouvrir une nouvelle rubrique sur
l'île des maths ?

Les paradoxes ou les prises de têtes...

Pour la deuxième démo de J-P, on voit bien que lorsqu'on a :
(a-b)(a+b) = b(a-b)
Avec a=b donc a-b=0, on ne peut pas simplifier par (a-b) car cela revient
à diviser par 0 .
En posant a=b, on a donc seulement :
0×2b=0×b


Moi j'ai un autre paradoxe assez sympa et qui est plus complexe
à expliquer. Je poste un nouveau message à la suite de celui-ci pour
l'expliquer ...

Posté par Tom_Pascal Tom_Pascal

Alors voilà, en Angleterre il y a un jeu TV du genre 'le BigDeal'.

Le principe est simple : il y a deux paquets cadeaux, et le candidat
a le choix entre ces deux paquets. Dans l'un il y a une certaine
somme (qui varie) et dans l'autre il y a toujours le double
de cette somme.

Le présentateur demande quel paquet choisir entre A et B.
Quelquesoit la réponse choisie par le candidat, le présentateur (qui ne sait
pas dans quel paquet se trouve la plus grosse somme) demande toujours
au candidat s'il ne veut pas changer sa réponse (genre JP-Foucault
et son fameux : "c'est votre dernier mot ?")

La question que se sont posé certains matheux est de savoir s'il
est plus intéressant à ce moment là pour le candidat de changer sa
réponse.

On calcule donc l'espérence mathématique du gain que le candidat
peut avoir.
Disons que le candidat a choisi la boite A (ca ne change rien au problème
s'il a choisi la B).Soit x la somme disponible dans cette boite.
dans B, il y a soit x/2 soit 2x, et avec la meme proba que ce soit
x/2 ou que ce soit 2x

Donc s'il reste avec A, son espérance est : x
S'il change lorsqu'on lui propose et qu'il choisit B, son espérence
est alors : (x/2 + 2x)/2 =5x/2=1,25x

Conclusion : lorsque l'animateur propose, le candidat doit changer de boite
car il peut espérer gagner une plus grosse somme que dans celle qu'il
a choisi au départ.
Résultat étonnant lorsqu'on se dit qu'au départ, il avait bien 50%
de chance de choisir la boite la plus rénumératice, ou la moins rénumératrice....


N'hésitez pas à laisser ici vos commentaires sur ce petit raisonnement ...

Posté par J-P J-P

Je le connaissais, et il en existe d'autres dans le même genre.
C'est vrai que certains résultats faisant appel aux calculs des probabilités
sont parfois choquants pour l'esprit.

A+

Posté par Ghostux (invité)

  -1^1 = -1
Or
-1^1 = -1^(2*1/2)
           = (-1^2)^(1/2)
           = 1^0.5 = sqrt(1) = 1
-1^1 = 1 ...
   Ou est la faute ?


@ bientot.

Ghostux

Posté par Moussa (invité)

quand tu sorts le 1 de la racine ta oublier la valeur absolut
donc la racine de 1= +1 ou-1

a+

Posté par lilo (invité)

tu na pas le droit de séparer les exposants à l'avant dernière ligne. tu n'as pas le droit d'élever -1 au carré et de faire la racine ensuite. la racine annule directement le carré et non pas après.

Posté par nico (invité)

Aïe aïe aïe.. Il fait très mal ton petit problème Tom_Pascal.  C'est absolument hallucinant de constater à quoi mènent des notions complexes  appliquées à des problèmes dont les solutions paraissent naturelles et évidentes...  Comme quoi l'intuition peut se faire coiffer au poteau par ces fameuses notions plus complexes certes mais parfois plus justes... reste à se convaincre que l'erreur vient bien de  nous.

Posté par minkus minkus

Je decouvre par hasard ce vieux topic que je trouve tres drole car TP parle d'un paradoxe a propos d'une emission qui existe maintenant en France.

De plus dans son premier message il parle de creer une nouvelle rubrique... Une premiere approche du forum expresso ?

Posté par Tom_Pascal Tom_Pascal

Ca fait déjà presque 3 ans...

je pense qu'à l'époque je pensais plus à une rubrique à part entière dans le site et pas un nouveau sous-forum mais finalement c'est vrai que l'on peut retrouver maintenant pas mal de paradoxes ou de raisonnements surprenants dans le forum expresso et le forum énigmes

ps : c'est quelle émission Minkus qui existe désormais en France sur ce principe ? tu penses au jeu des boites d'Arthur ?

Posté par minkus minkus


Je crois que c'est ca non ? Ou alors j'ai peut-etre confondu avec la vieille emission de Lagaf qui s'appelait le Big Deal .

la confusion est fortement possible car je ne regarde "jamais" la une...

_{Sauf pour voir la France ecraser l'Italie mais ca c'est une autre histoire}

Posté par stokastik stokastik


eeeeehhhhhhh c'est qui ces bonhommes verts ??

Posté par _Estelle_ _Estelle_

Salut stokastik,

Va voir ici : .

Et avant (il y a pas de temps ), on n'était pas obligé d'être membre pour pouvoir poster. D'où les "invités"

Estelle

Posté par _Estelle_ _Estelle_

*il y a pas mal de temps


Estelle

Posté par stokastik stokastik


Voici un excellent truc étonnant des probabilités :

Posté par stokastik stokastik


Ok _Estelle_

Posté par _Estelle_ _Estelle_

Ton lien ne marche pas

Estelle

Posté par stokastik stokastik


arf...

Posté par stokastik stokastik


et comme ça : ?

Posté par _Estelle_ _Estelle_



Estelle

Posté par minkus minkus

Salut,

Tres interessant Stokastik.

_{Au fait je vends une carte RAM de 128 MO , toute offre superieure a 50 euros m'interesse}

Posté par stokastik stokastik




Oui au fait, le coup du BigDeal ça ne tient pas la route, ça n'a pas de sens de calculer l'espérance du gain si on le "fixe" égal à x...

Posté par stokastik stokastik


Hep minkus comme je t'ai fait découvrir un truc intéressant tu m'expliques l'énigme de l'aller-retour de l'escargot ?

Posté par Tom_Pascal Tom_Pascal



Je ne vois pas pourquoi ça n'a pas de sens.
On dit simplement qu'en notant x la somme qu'il y a dans la boite chosie, il y a soit x/2 soit 2x dans la seconde (c'est à dire soit la moitié, soit le double de cette somme).
En somme, on n'a rien "fixé" du tout et je ne vois pas de probème

Posté par stokastik stokastik


On souhaite calculer l'espérance du gain si le candidat ne change pas d'avis.
Si je dis qu'il y a "x" dans la boîte, c'est juste pour cette partie du jeu, l'espérance devrait représenter la moyenne du gain si le joueur fait une infinité de parties.

Ce serait plutôt  l'espérance d'une variable aléatoire X égale à la somme d'argent dans la première boîte.
Mais en effet ceci mène au même "paradoxe". C'est vrai que dans la seconde boîte il y aurait une quantité d'argent Y égale à 2X ou X/2 avec proba 1/2 et 1/2. Le "1/2 et 1/2" étant indépendant de X, on aurait E[Y|X]=1,25X puis E[Y]=1,25E[X]

Posté par minkus minkus



Je pensais que tu blaguais Tu veux vraiment que je te fasse un dessin pour t'expliquer la difference entre 1 heure et demie et 90 minutes ?

Posté par stokastik stokastik


... j'insiste néanmoins cette modélisation ne tient pas la route. Prenons le cas où il y a toujours 100 dans une boîte et 200 dans l'autre.

Alors X=100 ou X=200 avec proba 1/2 et 1/2. De même pour Y, qui n'est pas égal à 2X ou X/2.

Posté par stokastik stokastik



C'est la même durée de temps exprimée avec des unités différentes, mais sinon ?

Posté par stokastik stokastik


Hep minkus t'as vu le topic que j'ai fait remonter : . Ca devrait te plaire.

Posté par minkus minkus

Bah sinon rien, il n'y a pas de difference de temps, il y a pris le meme chemin.

On ne se moque pas, ce n'est pas de moi. C'est un attrape nigaud de Smullyan (ou Perelman peut-etr).

Moi ce que j'en dis

Posté par stokastik stokastik

arf... j'ai dit une bêtise avec le coup de X=&00 et Y=200...

Posté par stokastik stokastik

Alors que faut-il répondre à l'énigme de l'escargot ??

Posté par stokastik stokastik

... arf non j'ai pas dit de bêtises, vous êtes d'accord que si on met 100 dans une boîte et 200 dans l'autre, on a raison de dire que dans la 2ème boîte y'a la moitié ou le double que dans la 1ère, ben oui.

Posté par minkus minkus

T'as pas l'air sur de toi la

Il ne faut rien repondre je crois. Il faut juste se marrer qd les gens essaient de chercher une explication.

Posté par stokastik stokastik



Bon d'accord...

Posté par stokastik stokastik



Si si. En fait il existe des expériences aléatoires différentes pour lesquelles on peut dire que dans un paquet il y a une certaine somme et dans l'autre il y a toujours le double de cette somme.
Je vais encore y réfléchir et vous expliquerai plus calmement ce que j'en pense.

Posté par stokastik stokastik


Mais avant de dormir j'ajouterai cette réflexion :

Chacun des deux paquets contient sa somme. Le candidat choisit un paquet. C'est là que se situe l'aléatoire. Une fois qu'il a fait son choix, la somme dans l'autre paquet est déterminée.

Posté par minkus minkus

Et une fois qu'on a ouvert le paquet le chat il est mort ou pas ?

_{Bon allez je vais me coucher aussi.}

Posté par suistrop suistrop

minkus
l histoire du chat de ...... j ai eu beau l 'étudier a plusieur reprise a chaque fois que je pense avoir compris 3 seconde plus tard c est le flou ^^

Posté par stokastik stokastik


Bon ben je ne sais pas si j'ai été convaincant hier soir ?.. Si x est le gain du paquet choisi par le candidat, on ne peut pas dire que dans le deuxième paquetle gain est de Y, étant une variable aléatoire valant 2x ou x/2 avec proba 1/2 et 1/2. Vous êtes d'accord ?


Une modélisation de ce jeu serait la suivante :

Les bigdealeurs mettent une somme d'argent X dans un paquet et 2X dans l'autre. Le candidat choisit un paquet. Dans l'autre on peut lui dire qu'il y a soit la moitié, soit le double, c'est vrai. Si le candidat ne change pas il a choisi X ou 2X avec proba 1/2 et 1/2. S'il change c'est pareil.
En moyenne les candidats empocheront 1,5X, quoiqu'ils fassent.

Posté par stokastik stokastik

correction : En moyenne les candidats empocheront 1,5E5X] pardon

Posté par stokastik stokastik

... grrr.. 1,5E[X]

Posté par Ksilver Ksilver

suistrop, il parle du "Chat de Schrodinger", cf Wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Chat_de_Schr%C3%B6dinger


sinon pour le probleme de Tom pascal l'erreur qu'il commet est a mon sens d'exprimer la reponse en fonction de quelque chose qui n'est pas encore determiner !

tu ne peut pas dire que "l'esperance est x" alors que x est justement le resultat du tirage !

Posté par stokastik stokastik



Ce que tu dis rejoint ma première remarque (posté le 11/09/2006 à 23:23), l'erreur n'est pas là mais dans le fait de considérer le contenu du deuxième paquet aléatoire une fois que le premier paquet est choisi (voir mon post du 12/09/2006 à 15:51)

Posté par stokastik stokastik


Salut Tom_Pascal, j'ai des commentaires plus fins sur ce "paradoxe" (le coup du E[Y]=1,25E[X] si tu décides de changer). J'ai lu ça dans un bouquin à l'instant

Bien sûr ce que je disais est vrai : s'il y a par exemple toujours 100 dans une boîte et 200 dans l'autre, on peut dire que l'autre boite contient soit le double soit la moitié mais alors on n'a pas Y=2X ou Y=X/2.

Mais on peut modéliser le jeu autrement en sorte que conditionnellement à X=x, on a bien Y=x/2 ou Y=2x avec probabilités 1/2 et 1/2, ce qui n'est pas le cas avec ma modélisation.

  On peut effectivement trouver des variables aléatoires X et Y prenant leurs valeurs dans {1, 2, 3, ...} telles que :
  - la loi du couple (X,Y) est symétrique : c'est aussi celle du couple (Y,X), en d'autres termes P(X=m, Y=n)=P(Y=m, X=n),
  - et telles que conditionnellement à X=x, sauf dans le cas x=1, on a bien Y=x/2 ou Y=2x avec probabilités 1/2 et 1/2. Ceci implique bien que E[Y|X=x]=1,25x. Dans le cas x=1, conditionnellement à X=1, on a Y=2 et E[Y|X=1]=2. En somme on a un nombre c>1 tel que E[Y|X=x]>cx pour tout x, et de même E[X|Y=y]>cy pour tout y.

Ceci dit on ne verra jamais un tel jeu à la télévision ou ailleurs. Je vous  laisser chercher un peu.. mais où est le paradoxe ?

Posté par stokastik stokastik


indice : Ce paradoxe est du même type que celui permettant de prouver que 0=1 en disant que si S = 1-1+1-1+... , alors S=(1-1)+(1-1)+..=0 et S=1-S.

Posté par stokastik stokastik


... ouais non je retire mon indice l'analogie n'est pas bonne

Posté par stokastik stokastik


Ben alors vous vous en moquez ?..