Les 2 polygones.

Posté par Teebo (invité)

42 62 et 11 je ne sais même pas où c'est
Et 59 jamais mis les pieds

Posté par asevere (invité)

Et 29259 ?
T'y es déjà allé ?

Posté par Teebo (invité)

J'ai vécu à Brest

Posté par asevere (invité)

Ha je savais pas, je croyais que tu étais plus du coté de Rennes

Posté par Teebo (invité)

Ben oui mais mon premier boulot était à Brest
Bon quelques mois avant que je me casse

Posté par piepalm piepalm

Plus généralement, l'équation X^2+Y^2=K a une solution si la décomposition en facteurs premiers de K ne contient des facteurs de la forme 4p-1 qu'à une puissance paire. Ici 730=2*5*73, donc pas de facteur de forme 4p-1: l'équation est soluble.
Pour expliciter les solutions, on peut se ramener à résoudre l'équation pour chaque facteur premier: 2=1+1, 5=2^2+1, 73=8^2+3^2 et appliquer deux fois l'identité
(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(bc-ad)^2=(ad+bc)^2+(ac-bd)^2 (donc deux solutions)
soit 10=3^3+1^1 (ce qu'on aurait pu trouver directement!) et 730=27^2+1=17^2+21^2
Donc deux solutions pour l'équation initiale (15,2) et (10,12) . Biensûr, la première ne donne pas un polygone admissible.
Sinon, on peut trouver directement la solution avec les fractions continues...

Posté par philoux (invité)

>piepalm 16:46

l'équation X^2+Y^2=K a une solution si la décomposition en facteurs premiers de K ne contient des facteurs de la forme 4p-1 qu'à une puissance paire

Ca se démontre comment ?

Philoux

Posté par piepalm piepalm

La démonstration (due à Euler, je pense) en est assez longue et doit se trouver dans les bons bouquins d'arithmétique; le plus beau morceau consiste à montrer que tout nombre premier de la forme 4p+1 peut s'exprimer comme somme de deux carrés. Par ailleurs quelques autres éléments peuvent se montrer facilement.  Un nombre de la forme 4p-1 ne peut être somme de 2 carrés: en effet modulo 4, un carré vaut 0 ou 1.... La congruence n^2=-1 mod 4p-1 n'a pas de solution donc x^2+y^2=0 mod 4p-1 n'a d'autre solution que x=y=0. Par contre le carré d'un nombre de la forme 4p-1 est de la forme 4k+1. Le produit de deux nombres de forme 4p+1 est encore de la forme 4p+1. Avec l'identité que j'ai utilisée plus haut, on voit que si chaque facteur se décompose en deux carrés, le produit aussi. En rassemblant ces morceaux, on doit arriver au théorème cité...

Posté par philoux (invité)

merci

Philoux