Topologie débutant

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Topologie débutant

Posté le 28-08-05 à 22:45

Posté par Mayo (invité)

Salut, je rejette quelques coups d'oeils à mon cours de maths et je m'apercois qu'il y a un nombre fini d'exercices qui me pose encore des problemes. En particulier sur ce chapitre, traité rapidement en fin d'année par le prof.
Je suis un novice en ce qui concerne la topologie, seules les notions elementaires de Boules , d'ouverts, de fermés, de bornés et de convexe ont été abordées plus quelques théorems sur la nature des interesection de parties.
Merci par avance pour votre aide,

Soit $C={(x,y) \in \mathbb{R}^{2}; |x|+|y| \geq 1}.$ Représenter la partie C. De quelle forme géométrique s'agit-il?

Je sais que cest un carré mais je ne comprend pas pourquoi, en particulier pour les cas où $x \geq 0 et y\leq 0 et x \leq 0 et y\geq 0$

re : Topologie débutant

Posté le 28-08-05 à 22:48

Posté par Mayo (invité)

Oh si cest bon en fait je viens de reprendre tranquillement mon schéma et miracle...

re : Topologie débutant

Posté le 28-08-05 à 22:50

Posté par Mayo (invité)

Pour motre que C est fermée on peut utiliser le fait que c'est l'intersection de quatres plans fermés d'équation:
$y \geq 1-x ; y \leq 1+x ; y\leq 1-x ; y\geq 1+x$
Et les plans fermés étant bornés, C est bornée
Qu'en pensez vous?

re : Topologie débutant

Posté le 29-08-05 à 00:06

Posté par biondo (invité)

Salut Mayo,

La partie C est le plan prive d'un carre. (il me semble, avec l'inegalite proposee).

"les plans fermes sont bornes".... mouais.

Moi je reviendrais a la base (en plus ca fait un peu manipuler les choses).

Pour montrer que c'est ferme, je montre que le complementaire est ouvert. Le complementaire, c'est le petit carre ("ouvert", donc, ie avec des inegalites strictes).

Je definis l'application
$d : (\mathbb{R}^2)^2 \longrightarrow \mathbb{R}$
$M_1,M_2 (x_1,y_1),(x_2,y_2) \longrightarrow |x_2-x_1|+|y_2-y_1|$

Je te laisse montrer que cela definit une distance sur R² (une broutille).

En munissant le plan de dette distance, la boule ouverte de centre O et de rayon 1 est exactement le carre qui nous occupe. C'est donc un ouvert, son complementaire est un ferme.

A+
biondo

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