L objet d art

Posté par J-P J-P

Un artiste verrier a réalisé un objet d'art.

Cet objet est constitué d'une sphère en verre.

A l'intérieur de cette sphère, il y a un cube dont les 8 sommets touchent l'extérieur de la sphère.

A l'intérieur du cube, il y a une sphère colorée qui effleure chacune des faces du cube.

Quel est le rapport entre le volume de la grande sphère et celui de la petite sphère ?
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Bonne chance à tous.

Posté par papanoel (invité)

Salut,
le rapport V/v=3^(3/2)
@+

Posté par FredoLaSoluce (invité)

Le rapport est le cube (puisqu'on parle du volume) du rapport entre le rayon de la grande sphere et de la petite. Ce rapport correspond par construction au rapport entre la longueur de la diagonale d'une face et la longueur d'une arrête soit 2.
Donc la réponse est 2.2

Posté par cinnamon cinnamon

Salut,

J'appelle V le volume de la grande sphère, v  le volume de la petite sphère et k le rapport V/v.
On sait que le rapport des volumes est égal au cube du rapport des diamètres. Je vais donc m'intéresser aux deux diamètres D et d de ces sphères.

Soit c le coté du cube contenu dans la grande sphère. On a d'après le théorème de pythagore D²= 2c² d'où .
De plus, la petite sphère effleure le cube donc on peut considérer que c = d.
Donc .

Donc


à+

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Réponse proposée : V/v=2.racine(2)=2,83 par excès

Philoux

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Soit R et r les rayons des sphères et a le côté du cube.
En se plaçant dans rectangle situé dans un plan vertical, de longueur une diagonale de la face supérieure du cube et la diagonale parallèle de la face inférieure du cube, et de largeurs les deux côtés verticaux qui coupent cette diagonale. (oui, je sais c'est pas très clair, mais je n'ai pas envie de faire un schéma) : on trouve  R = a/2*3.

Dans ce même rectangle on trouve r=a/2.

On a donc R/r = 3

Le rapport des volumes est donc égal à 3*3, soit 5,196 environ.

Posté par philoux (invité)

Re

Méthode :

Par section dans un plan diamétral de la sphère, on montre, par pythagore, que le demi-côté du cube vaut R/racine(2), R étant le rayon de la grande sphère.

Ce demi-côté étant égal au rayon, r, de la petite sphère, on a les volumes de sphères :

V=4/3.pi.R^3
v=4/3.pi.r^3

V/v=R^3/r^3=R^3/(R/V2)^3=(V2)^3=2V2

Merci pour l'énigme,

Philoux

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Soit la longueur d'une arête d'une cube.

Le diamètre de la petite sphère est égale à .

Le diamètre de la grande sphère est égale à la grande diagonale du cube, c'est-à-dire

Donc le rapport des volumes cherché est 3.

Posté par asevere (invité)

Aller,
Je me lance pour réduire le temps passé, mais avec une conviction assez faible  

je dirai que la grande sphere est 3 fois plus volumineuse que la petite sphere!

++

Posté par Teebo (invité)

Bonjour...

Posté par pietro (invité)

C'est le rapport entre les cubes des rayons.
Si le cube a pour côté 1, la grande sphère a pour rayon 1/2.3, et la petite 1/2.
Le rapport vaut le cube de 3.

Posté par elessar53 (invité)

On se ramene en 2 dimensions par section des spheres et du cube par un plan parallele à une des faces du cube et passant pas le centre des deux spheres.
Le petit cercle a pour diametre a, la diagonale du carré vaut donc , or la diagonale du carré est aussi le diametre du grand cercle. Le rapport des rayons (grand/petit) vaut , le rapport des surfaces vaut alors 2, et le rapport qui nous interesse, celui des volumes, vaut :

Posté par alfred15 alfred15

Bonjour

Je pense que le rapport exact des volumes de la grande sphère sur la petite sphère est :
Le rapport est de l'ordre de 5,196

Merci pour l'énigme

Posté par asevere (invité)

Rhaaa! :'(

et pas 3 :'(

Posté par piepalm piepalm

Si r est le rayon de la petite sphère, dans un repère orthonormé d'origine le centre des sphères d'axes parrallèles aux arètes du cube, les coordonnées des sommets du cube sont (+/-r, +/-r, +/-r) et si R est le rayon de la grande sphère on a R^2=3r^2
Donc R/r= racine (3)=1,732

Posté par biondo (invité)

SAlut!

Le rapport entre le volume de la grande sphere et celui de la petite est de

Merci pour l'enigme,

A+
biondo

Posté par jugo jugo

Si le rayon de la sphère intérieure vaut R :
> Le demi-côté d'une face de cube vaut également R
> La demi-diagonale du cube vaut R √3
> Le rayon de la shère extérieure vaut également R √3

On élève au cube pour le rapport des volumes :
Volume grande sphère / Volume petite shère = 3√3   ( = env. 5,196 )

Posté par paulo paulo

bonsoir,
merci pour cette nouvelle énigme du mois d'aout,


je pense , mais en fait ce moi-ci je n'ai fait que penser , que le rapport du volume de la grande sphére à celui de la petite sphére est de:




          

salutations

Paulo

Posté par lyonnais lyonnais

salut J-P et bonjour à tous :

notons gs : abréviation de grande sphère
notons ps : abréviation de petite sphère
notons c le coté du carré.

V_gs = (4/3)..c³

V_ps = (4/3)..(c/2)³

D'où :

V_gs/V_ps = c³/(c/2)³ = 8

le volume de la grande sphère est donc 8 fois supérieur à celui de la petite sphère ...

merci pour l'énigme
romain

Posté par caylus caylus

Bonjour,

si j'ai bien compris, il s'agit de la sphère inscrite et de la sphère circonscrite au cube.

k=4/3PI R^3 / (4/3 PI r^3)=R^3/r^3= [(1/2aV3)/(a/2)]^3=3V3

Posté par tutouss (invité)

Salut a tous

bon alors ça y es j'ai trouvé qqchose. je pense que le volume de la grande sphère est égale au volume de la petite sphère multiplié par 33. voila a la prochaine.

Posté par levrainico (invité)

on note a le coté du cube, R le rayon de la grande sphère et r le rayon de la petite sphère. b est la diagnale d'une face et c est la gande diagonale du cube.
Le centre du cube est aussi le centre des deux sphères, donc R vaut la demie diagonale c et r vaut le demi coté a
on a donc:
R=c/2   et    r=a/2        donc R/r=c/a

avec le théorème de Pythagore on a:   c²=a²+b²  et  b²=a²+a²
   ->  c= racine²(3)*a
ainsi, R/r=racine²(3)*a/a

le rapport entre les deux rayons est
R/r=racine²(3)

Merci

Posté par rene38 rene38

= arète du cube = diamètre de la petite sphère
= diamètre de la grande sphère = diagonale du cube =
Rapport des diamètres =
Rapport des volumes =

Posté par borneo borneo

Volume de la grande / Volume de la petite = 33
étonnant !

Posté par guigui1 (invité)

bonjour
la réponse est 3 (rapport entre la grande diagonale et le côté du cube)
belle énigme, merci

Posté par Bobo91 (invité)

si on prend un rayon de 1 pour la petite sphère son volume est : (4/3)Pi
alors que celui de la grande sphère est (4/3)Pi*2(2)

Le rapport est donc le quotient de ses deux volumes, soit 2(2)

Posté par wiat (invité)

Cocuou, je serais tentée de dire 22, mais j'ai un peu la flemme de vérifier... Alors je croise les doigts!

Posté par elda elda

en fait j'ai fait le rapport de la petite avec la grande, donc faut prendre l'inverse de ma réponse.
(dîtes moi pk je sens le poisson arrivé? non pitié pas si c'est à cause d'une connerie pareille)

Posté par elda elda

bon j'ai pas de regret à avoir car j'ai pris le diamètre au lieu du rayon de la petite sphère ce qui me plante mon calcul.
just for the fun: I think the answer is

Posté par younes008 (invité)

12*racinecarré(3/2).

Posté par nol789 (invité)

Bonjour,

On note r le rayon de la grande sphere et a celui de la petite sphere.

La demi-diagonale du cube (je sais pas si ca s'appelle aussi une diagonale en 3D) a pour longueur r.  Cette demi-diagonale est la diagonale complete d'un petit cube de cote a. On a donc
,
soit
.

Le rapport entre le volume de la grande sphere et le volume de la petite sphere est donc.
Merci pour l'enigme.

Posté par terabrain (invité)


Faisons passer un plan équatorial , la figure correspondante ne comporte plus que deux dimensions.
Soit ABCD le carré de côté a (A étant le sommet supérieur gauche);
O le centre du cercle de rayon r inscrit à ce carré;
O le centre du cercle de rayon R circonscrit à ce carré.

Le triangle BCD est iosocèle (BC = CD = a). Par construction, BD = 2R
De plus, le triangle BCD est rectangle (puique ABCD est un carré), dès lors:
2a^2 = 4R^2 ou R = a/2^0.5.(1)
Soit F le pied de la perpendiculaire abaissée de O su BC, donc OF = r
Le triangle OFC est rectangle et il vient r^2 = R^2 - a^2/4.Soit, en remplaçant R par sa valeur tirée de (1) r^2 = a^2/2 - a^2/4 et partant r = a/2.
Dès lors, V = k.R^3 = ka^3/(2)^(3/2)
          v = k.r^3 = ka^3/2^3

Et partant V/v = 2^(1.5)

Posté par terabrain (invité)

Je m'aperçois que je n'ai pas respecté la netétiquette pour mes deux premier "post". J'en suis désolé et présente mes plus plates excuses.

Sur ce Bonjour à tous et à bientôt j'espère.

Posté par Gallas132000 (invité)

Salut a tous,

on peut exprimer le rayon de la petite en fonction de celui de la grande:

R=(Pi/sqrt(2))*r

Soit si on met au cube (volume):le rapport des volumles vaut:

T = (Pi ^3)/(4*sqrt(2))

Merci pour l enigme

A tte

Posté par Razibuszouzou (invité)

Soit R le rayon de la grande sphère,  r celui de la petite, et a le côté du cube.

Comme la petite sphère tient dans le cube, son diamètre égale le côté du cube :
a/2 = r

Le cube est inclus dans la grande sphère. Le segment de droite qui relie l'un des sommets du cube au centre du cube est donc un rayon de la grande sphère.
Par rapport à une diagonale d'une face du cube, ce segment fait un angle de 45°.
La diagonale d'une face fait elle même un angle de 45° par rapport à une arrête.
En définitive, le demi-côté du cube mesure donc :
a/2 = R*(cos 45°)*(cos 45 °) = 1/2 R

En rapprochant les 2 équations, on obtient r = R/2.
Et comme le volume d'une sphère est proportionnel au cube du rayon, il faut élever ce rapport 1/2 au cube.
Le volume de la petite sphère est égal au huitième du volume de la grosse.

Posté par J-P J-P

Enigme clôturée.

La réponse attendue était

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Un volume, c'est pas proportionnel au carré du rayon ?

Nicolas

PS - auto-dérision, bien sûr.

Posté par borneo borneo

Ouh là là, ça fait des dégats. Je ne l'ai pas fait avec excel, ce coup-ci. En fait, une fois qu'on a la formule du cobe inscrit dans la sphère, il n'y a plus qu'à simplifier. Contente d'avoir juste, car 33 me semblait beaucoup

Posté par elda elda

je me suis rendu compte de ma connerie trop tard, tanpis.
bravo à tous ceux qui ont trouvé!