Les autos tamponneuses.

Posté par J-P J-P

Mes jumeaux, Fabrice et Nathalie sont casse-cou (ils ont de qui tenir ).

Dans ma grande pelouse plane, ils ont monté un circuit d'autos tamponneuses constitué de 2 pistes circulaires.
Les 2 pistes sont de même rayon et chacune passe par le centre de l'autre.

A midi pile, Fabrice, qui roule sur la piste A, est parti du point F dans son modèle réduit Bugatti, il roule dans le sens de la flèche bleue.
A la même heure, Nathalie, qui roule sur la piste B, est partie du point N dans son modèle réduit Ferrari, elle roule dans le sens de la flèche rouge.

Sachant que chacun roule à vitesse constante, que Nathalie fait un tour complet de sa piste en exactement 1 minute et 15 secondes et que Fabrice fait un tour complet de sa piste en exactement 1 minute et 12 secondes, à quelle heure l'effroyable collision aura-t-elle lieu ?
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Bonne chance à tous.

Posté par jugo jugo

J'appelle C la circonférence des cercles.

* La distance parcourue par Fabrice au temps t vaut Df=tC/72
* La distance parcourue par Nathalie au temps t vaut Dn=tC/75

Ensuite, on a 2 cas :

* Colision au point N : Df-Dn = kC + C/3
càd t = 1800k + 600
au mieux, pour k=0, t=600s

* Colision au point F : Df-Dn = kC + 2C/3
càd t = 1800k + 1200
au mieux, pour k=0, t=1200s

Fabrice et Nathalie vont donc se collisionner effroyablement au point de départ de Nathalie, 600s = 10min après le départ.

Heure de la collision : 12h10

Posté par piepalm piepalm

Puisque chaque cercle passe par le centre de l'autre, l'arc FN représente 1/3 de la circonférence. Fabrice (ou plutôt son bolide!) fait un tour en 72 secondes et Nathalie en 75 secondes. Chaque fois que Nathalie fait un tour, Fabrice aura fait 75/72-1=1/24ème de tour en plus. Au bout de 8 tours il aura fait 1/3 de tour de plus et la collision se produira!

Posté par Nofutur2 Nofutur2

La collision aura lieu au plus tôt lorsque Fabrice aura fait 1/3 de tour de plus que Nathalie qui elle même aura fait un nombre entier de tours (collision en N).
Soit t en secondes le temps de parcours :
On a t * 2*pi/72 = t*2*pi/75 +2*pi/3
Ou T = (1/3) / (1/72-1/75) = 600 s = 10 mn.
La collison aura donc lieu à 12h10mn (en N).
Nathalie aura fait 600/75 = 8 tours et Fabrice 600/72 = 25/3= 8 tours et 1/3.

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)

Salut a tous ! je suis enfin de retour ... enfin pour ceux qui se souviennent encore de moi :p

Alors voici ma reponse pour cette 1ere enigme du mois :

Voyant que Fabrice roule plus vite que Nathalie, ils vont donc se croiser au point N.
Il va falloir que Fabrice prenne 72 secondes / 3 soit 24 secondes d'avance a Fabrice pour que la collision ait lieu puisque l'angle au centre de l'arc de cercle est de 120°.
Puisque Fabrice prend 3 secondes a chaque tour de Nathalie, il lui faudra donc 8 tours de Nathalie avant la fatale collision.

Il faudra donc 8 * 75 = 600 secondes avant le drame.

La collision aura donc lieu 10 minutes apres le depart ... Soit a 12h10

Voila voila ... Bon courage a tous pour la rentrée scolaire

Posté par pietro (invité)

Fabrice et Nathalie se retrouvent tous les deux en N après 600 secondes.
la collision aura lieu à 12h10.

Posté par alfred15 alfred15

Bonjour

La collision aura lieu au point N à 12h 09min 36sec

Merci pour l'énigme

Posté par FredoLaSoluce (invité)

La collision à lieu en N au bout de 600s donc à 12:10 il faudra penser à racheter une Bugatti!

Posté par borneo borneo

Bonjour, la collision aura lieu à  midi 20 minutes

Posté par cocot (invité)

Boum à 12:10

Entre les centres et les points d'intersection, on n'a que des rayons, donc des triangles equilatéraux, donc 60°. Il en suit que l'arc de N à F est un tiers de cercle.

La collision ne peut avoir lieu qu'en N ou F (si on considère les bolides comme des points sans longueur)
Fabrice passe en F à t=0, puis tous les 72 secondes, Nathalie y passe à t=75/3 (tiers de tour) puis tous les 75 secondes suivants.

Raisonnement inverse pour le passage en N. Fabrice passe en N à t=72/3, puis tous les 72 secondes, Nathalie y passe à t=0 puis tous les 75 secondes suivants.

On trouve facilement que ces suites de nombres se recoupent en t=600=75*8=72*8+72/3

Donc à midi + 600 secondes.

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Réponse proposée : 12:10

Merci pour l'énigme,

Philoux

Posté par philoux (invité)

Re,

Résolution proposée :

J'appelle xF(t) la distance angulaire parcourue par Fabrice et xN(t) celle parcourue par Nathalie.

Comme Fabrice fait un tour (2pi) en 1 min 12 s= 1+1/5=6/5 min => xF(t)=2pi.t/(6/5)=5.2pi.t/6 (en radian par minute).

Comme Nathalie fait un tour (2pi) en 1 min 15 s= 1+1/4=5/4 min => xN(t)=2pi.t/(5/4)=4.2pi.t/5 (en radian par minute).

Il y aura collision dans 2 cas possibles :

soit en F (départ de Fabrice) à t où xF(t)= k.tours et xN(t)=k'.tours + 2pi/3

soit en N (départ de Nathalie) à t' où xF(t')= k.tours + 2pi/3 et xN(t')=k'.tours


Cas A : Collision en F

5.2pi.t/6 = k.2pi
4.2pi.t/5 = k'.2pi+2pi/3

t = 6k/5 = 5(k'+1/3)/4 => 24k=25k'+25/3

Comme k et k' sont entiers, 24k-25k' ne peut pas donner 25/3

=> Pas de collision en F


Cas B : Collision en N

5.2pi.t'/6 = k.2pi+2pi/3
4.2pi.t'/5 = k'.2pi

t' = 6(k+1/3)/5 = 5k'/4 => 24k+8=25k' dont la première solution est k=k'=8

=> t' = 5k'/4 = 5.8/4 = 10 min

=> collision en N, à midi dix où Fabrice et Nathalie auront parcouru au moins 8 tours de circuit.

Philoux

Posté par caylus caylus

Bonjour,

Les 2 autos peuvent se renconter en N ou en F.

Impossible pour N.
La rencontre se fera en F après 600 s. Il sera donc 12h10min.

Rencontre en F:
L'angle de l'intersection est de 120° cad 1 tr/3
Soit t le temps compté à partir de 12h

angle parcouru            
a=       1/75 tr/s * t pour Fabrice
b=1/3 tr+1/72 tr/s *t   pour Nathalie.
donc
1/75*t=k1 et 1/72*t=k2+1/3

t=k1*75=k2*72+24
=> k1=8,k2=k1,t=600 (s)=10 (min)

Posté par papanoel (invité)

Salut,
l histoire se fini a midi dix en N
@+

Posté par paulo paulo

bonjour,

600 secondes apres le départ , Fabrice est au point N et Nathalie est également au point N .



L'effroyable collision aura donc lieu à midi 10 minutes

salutations

Paulo

Posté par asevere (invité)

Salut à tous et excellente journée

Bonche, aprés avoir tenter en vain de resoudre des equation tournée dans tout les sens, je me suis décider à tenter bêtement quelque chose.

Nathalie met 75" à faire son tour (Et oui... Ferrari, ce n'est plus ce que c'était)
Fabrice lui met 72" à faire le sien.

La collision peut avoir lieue en deux points:
-N départ de Nathalie et départ de Fabrice plus un tier de piste
-F départ de Fabrice et départ de Nathalie plus un tier de piste

Un tier de tour représente 24 secondes pour Fabrice et 25 secondes pour Nathalie.
Nathalie va moins vite que Fabrice. Donc quand Fabrice fait 1 tour Nathalie fait 1 tour -3 secondes. si au moment ou Fabrice fait n tour (n entier) Nathalie fait n tour -50 seconde (n-1 tour+1 tier de tour) ils se percuteront en F

Fabrice fait 01 tour Nathalie fait 01 tour -03 secondes
------- ---- 02 ---- -------- ---- 02 ---- -06 secondes
------- ---- 03 ---- -------- ---- 03 ---- -09 secondes
...
------- ---- 16 ---- -------- ---- 16 ---- -48 secondes
------- ---- 17 ---- -------- ---- 17 ---- -51 secondes
Ils ne sont pas passés loins...
------- ---- 24 ---- -------- ---- 24 ---- -72 secondes
------- ---- 25 ---- -------- ---- 25 ---- -75 secondes
Autrement dit, quand Fabrice fait 25 tours Nathalie en fait 24.
Vu qu'il ne se sont pas encore percutés et qu'ils repartent à 'zero' il ne pourront jamais se percuter au point F.

Maintenant, si Nathalie fait un tour, Fabrice fait un tour plus 3 seconde
si quand Nathalie aura fait n tour (n entier) Fabrice afiche n tour +24 secondes (un tier),ils se percuteront.

(A ce moment là, je me suis rendu compte que 24%3=0 et qu'il était donc fort probable qu'au bout d'un certain nombre de tour, il se 'croisent', ce qui m'aurait déjà fait gagner pas mal de temps en commencant par là)
Donc 24/3=8, effectivement, quand Nathalie aura fait 8 tours, Fabrice aura fait 8 tour plus 8*3=24 secondes il se percuteront donc a midi passé de 8 fois 75 secondes ou midi plus 600 secondes, ou encore midi dix.

L'heure du crash est donc 12h10!

(Avec une méthode pas standard du tout, à ne pas appliquer car le temps de trouver 12h10 il sera déjà 12h15 et il sera plus que temps d'aller à l'hosto.)

Posté par elda elda

à 12h10.

la démo arrive

Posté par elda elda

en 1min12 Fabrice fait 1 tour dont on notera la distance x.
en 1min15 Nathalie parcours x
et donc en 1min15 Fabrice parcours x + x/24

http://img233.imageshack.us/img233/691/figcercles1kx.jpg

comme les cercles passent par le centre de l'autre, on en déduit que les 2 triangles de la figure sont équilatéraux.
et donc l'angle en rouge = 120°.
la longueur de l'arc de cercle entre N et F est donc = à 1/3
(1/3)/(1/24)=8
Fabrice entrera en collision avec sa soeur après 8 tours pour elle et 8 +1/3 de tours pour lui.
8 1min15= 10min
comme ils sont partis à 12h00, il sera donc 12h10.

voilà merci pr l'énigme.

Posté par la_brintouille la_brintouille

l incroyable collision aura lieu a 12 h 10

Posté par guigui1 (invité)

bonjour
Une bonne énigme après la prérentrée, voilà une bonne thérapie...
Je trouve que l'effroyable collision se déroulera à 12h09min36s, sans aucune garantie !
merci pour l'énigme

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Une petite suite à l'énigme de J-P

Quel circuit choissiront Fabrice et Nathalie afin de pouvoir jouer le plus longtemps possible avant la collision ?

( Bien sûr, ils n'ont pas le droit de demander à leur père )

Bonne réflexion,

Philoux

Posté par tutouss (invité)

Salut, si Fab et Nath commencent leur jeu à midi, je pense qu'ils feront BOUM à midi dix!!!

Démonstration:
Ils se rencontreront soit en N(point de départ de Nath)
                     soit en F(point de départ de Fab)

pour tout k entier naturel Nath sera en N 75k secondes après le départ,
et Fab sera en N  72k+24 secondes après le départ

en effet:
soit O le milieu de [NF]
soit A le centre de la piste A
soit B le centre de la piste B
Dans le triangle NAO rectangle en O
cos OAN =OA/NA
        =R/2 / R   (R rayon des 2 cercles)(FBNA étant un losange, des diagonales se coupent en leur milieu)
        =1/2
donc OAN=pi/3
de plus le triangle FAN étant isocèle, FAN=2pi/3

donc la distance FN vaut un tiers du périmètre de la piste A
d'ou Fab sera en N 72k+24 secondes après de départ.(24=72/3...)

de même
Nath sera en F 75k+25 secondes après le départ (25=75/3...)
et Fab sera en F 72k .........................


donc les jumeaux se rencontreront ssi
72k+24=75k   ou 72k=75k+25
24=3k             25=-3k
k=8                k=-5

k doit être positif
donc k=8
donc ils se rencontreront 75*8 (=72*8+24) secondes , soient 600secondes après le départ
600s=10min; d'ou le choc à midi dix

Posté par Razibuszouzou (invité)

Soient O et O' les centres des cercles A et B.
Comme chaque cercle passe par le centre le l'autre cercle, les longueurs NO, NO', FO, FO' et OO' sont égales à r, le rayon.
Les triangles NOO' et FOO' sont équilatéraux. Les angles de ces triangles mesurent 60°. L'angle NOF mesure donc 120°. Comme un tour complet fait 360°, l'arc de cercle entre N et F correspond à un tiers de tour.

Fabrice va un peu plus vite que Nathalie. Au départ, il est en F quand Nathalie est en N. Mais au fur et à mesure des tours, au moment où Nathalie arrive en N, Fabrice gagne du terrain et se rapproche inexorablement de N, jusqu'au moment du choc, où ils seront en N en même temps.

A ce moment là, Nathalie aura parcouru T tours, et Fabrice (T + 1/3).
Nous savons que Fabrice parcourt un tour en 72 secondes, et Nathalie en 75 secondes. L'équation du choc effroyable est donc :
72 (T + 1/3) = 75 T
3 T = 72/3 = 24
D'où T = 8 tours.

Le choc aura lieu au bout de 8*75 = 600 secondes = 10 minutes, soit à 12H10

Posté par manu44 (invité)

La réponse est :

L'effroyable collision aura lieu à 12h10 !

Posté par nol789 (invité)

La collision aura lieu à 12h10.
(je suis pas fiere de ma methode de resolution ...)

Posté par gabs4556 (invité)

salut,
c'est  à  12h10

Posté par sofyanekasunet (invité)

l'effroyable collision aura lieu à 12h20min

Posté par PMP1 (invité)

la colision aura lieu à 12h10
en N je crois.

Posté par pinotte (invité)

La terrible collision surviendra à précisément 12h20, au point de départ de Nathalie!

Posté par Big-Hacker (invité)

ben je dirais que la collision aura lieu a 12:12

(a chauque tour de Francis  Nathalie perd 1/25e de tour ; il lui faudra 9,6 tours pour atteindre  F (240°) )

Posté par PiZz (invité)

Boujours
Pour suggerer une réponse j'ai admis que le cercle décris par le segment [FN] etait egal à 1 tier du cercle.
Ainsi Fabrice le parcourait en 72/3 = 24 secondes.

Or Nathalie ,à qui je dois mes félicitation pour sa plus grande dexterité, met 3 secondes d'avance sur Fabrice à arriver a son point de départ et ceux chaque tours.
Donc elle possede 24 secondes d'avance au bout du 8 tours.
............... j'abrege......... ce sera donc à 12:10 qu'aura lieu le terrible accident.

Un tier, un tier, un tier, un tier (méthode coué) :O)

Posté par daniel12345 (invité)




    la collision aura lieu a 12 heures dix minutes.

Posté par PiZz (invité)

je viens de me rendre compte d'un truc; je me suis trompé dans les valeurs des temps de chancuns (j'ai inversé les deux temps).
Mais apparement on retrouve le même resultat.

75/3 = 25 secondes
et (25/3) * 72 = 600 Sec => 10 minutes
Donc le temps reste de 12 heures et 10 minutes...bizarre >_<

Posté par J-P J-P

Enigme clôturée.

Posté par borneo borneo

Aaaaaargh ! Je me suis plantée...

Reste à voir pourquoi. Mais mes calculs sont sur l'ordi de l'école. Voilà à quoi ça mène de faire les énigmes au lieu de préparer sa rentrée. Ce qui me console, c'est que je ne suis pas la seule à avoir trouvé midi 20, ç'est à dire 1200 secondes après le départ.

Posté par borneo borneo

et la cédille du "c'est à dire" montre à quel point ça me perturbe...

Posté par borneo borneo

J'ai vu ma bêtise... j'ai fait partir Fabrice sur la mauvaise piste. Voilà ce que c'est quand on va trop vite. Je démarre septembre à -1