JFF : Volume max d un colissimo

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Une énigme dont je cherche la solution...

En voulant poster et envoyer un colis, en France, par Colissimo , on peut lire la double contrainte :

1) les dimensions minimales de la face adresse de l'envoi sont 21 x 10 centimètres,

2) les dimensions maximales sont le total des trois dimensions inférieur ou égal à 100 centimètres.


Je cherche à envoyer un colis parallélépipédique de volume maximal respectant ces deux contraintes.


Quel est ce volume maximal ?


Bonne réflexion,


Philoux

Posté par SquaL SquaL

Bonsoir,

Je pense que j'ai mal compris la question parce que la réponse me semble évidente.. Enfin je dirai que les dimensions doivent être de 21x10x69, non ?

Ou alors je n'ai vraiment rien compris, ce qui n'est pas exclure.

Merci de m'éclairer..

Posté par dad97 dad97

Bonsoir Squal,

ce n'est pas si simple que cela en effet on doit maximiser la fonction volume V à trois variable
avec L21, l10 et 100L+l+h

rien ne dit que le maximum de cette fonction se situe au point (10,21,69)

Salut

Posté par SquaL SquaL

Ah oui je comprends mieux.. j'avais vu L <= 21 et l <= 10 .. voilà donc mon erreur
Merci.

Posté par elhor_abdelali elhor_abdelali

C'est curieux la méthode que j'utilise me donne un volume maximal pour

Posté par SquaL SquaL

Une méthode "bourrin" (par programmation en l'occurence) donne le même résultat

Posté par biondo (invité)

Salut!

Pareil avec les multiplicateurs de Lagrange.

biondo

Posté par elhor_abdelali elhor_abdelali

Bonsoir SquaL,ton post me rassure je peux donc exposer ma méthode:
je fais appel aux 3 variables et telles que:

d'où: et donc:

d'où les points critiques:

Sauf erreur bien entendu

Posté par papanoel (invité)

Salut,
avec un algorithme simple d optimisation je trouve aussi un cube de 33,333 de cote.
mon programme Matlab si ca t interesse:

function[x]=solution()
x=fmincon(@volume,[15,15,15],[],[],[],[],[10,10,10],[80,80,80],@limite);
function [j]=volume(x)
j=1/prod(x);
function[c,ceq]=limite(x)
c=-1;
ceq=sum(x)-100

@+

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Merci pour vos réponses.

1) Est-ce que biondo (23:28) peut expliquer sa méthode sur les multiplicateurs de Lagrange ?

2) Es-ce que elhor (00:05) peut développer les points critiques pour déterminer les extrema ?

3) Et aussi, question subsidiaire, peut-on généraliser ceci :

soit n variables x1 à xn avec x1+x2+x3+...+xn= S (Constante)

P=x1.x2.x3.....xn sera maximal lorsque x1=x2=...=xn= S/n

Merci à l'avance,

Philoux

Posté par biondo (invité)

Salut Philoux:

J'explique ma methode brievement, en l'appliquant a ta question subsidiaire.

Je veux maximiser la fonction P sous contrainte C: x1+...+xn-S=0
La methode du (ou des) multiplicateur de lagrange consiste a considerer la fonction:

et a dire qu'un extremum est atteint lorsque la differentielle de cette fonction est nulle.

C'est a dire, pour tout les xi: (j'ai pas trouve les derivees partielles, desole...)



Ici dC/dxi = 1 et dP/dxi = P/xi  (le produit de tous les xk, sauf xi)



et donc tous les xi sont egaux, en reportant dans la contrainte, ils valent S/n...

Un peu bref, mais je ne vais pas faire un cours sur les varietes differentielles...


A+
biondo

Posté par philoux (invité)

Merci biondo pour cette réponse (trop : pour moi ) rapide.

Peutx-tu, sans trop rentrer dans la théorie mais en vulgarisant, expliquer pourquoi P - lambdaC ?

Merci

Philoux

Posté par philoux (invité)

Bien qu'il y ait des questions en suspend, voici la suite :

Toujours sur le site , dans le cas d'un colis sous forme de rouleau :

trois contraintes sont indiquées :

- longueur minimale = 10 cm,

- valeur minimale (longueur + deux diamètres) = 17 cm

- valeur maximale (longueur + deux diamètres) = 150 cm


Je cherche à envoyer un colis cylindrique de volume maximal respectant ces trois contraintes.


Quel est ce volume maximal ?


Bonne réflexion,


Philoux

Posté par philoux (invité)

Up

Pas d'amateur ?

Philoux

Posté par piepalm piepalm

Pour le parallépipède, à somme des cotés constante, c'est le cube qui a le plus grand volume; la contrainte de la face adresse ne gène pas donc...
De même pour un cylindre dont l+2d<M le volume est inférieur à pi*d^2*(M-2d)/4
La dérivée de d^2(M-2d) est 2d(M-3d) Le volume sera maximum pour d=M/3 soit d=l=50 cm et un volume de 98 174 cm3

Posté par piepalm piepalm

Pour la question subsidiaire on a , entre les différentielles, la relation
dx1+...+dxn=0 et en prenant la dérivée logarithmique du produit
dx1/x1+...+dxn/xn=0. Ces deux relations doiventêtre proportionnelles
Ce qui implique x1=...=xn=S/n

Posté par philoux (invité)

Merci piepalm

Philoux

Posté par pierrecarre pierrecarre

Bonjour !

Une autre méthode qui n'utilise pas les dérivées, mais simplement l'inégalité entre moyennes géométrique et arithmétique.
On doit forcément avoir pour que le volume soit maximal.
Or, on sait que

donc ici

Le volume V sera donc maximal lorsque

Mais, l'égalité entre moyennes géométrique et arithmétique ne se produit que si les trois variables prennent la même valeur.
Il faut donc que

Et ces valeurs sont autorisées puisqu'elles vérifient toutes les contraintes imposées.

Bien cordialement,

Posté par dpi dpi

Bonjour
Sans consulter je dirai:

Posté par matovitch matovitch

Les multiplicateurs de Lagrange pour un tel problème !?!
De même pour l'étude de dérivées ou autres...quelle folie...mais ce dois être un cauchemar aussi je vous souhaite bonsoir.

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour.
Les trois dimensions ont une somme constante.

Une dimension étant imposée, le volume maximum est réalisé quand les deux dimensions variables sont égales.
En effet : elles ont une demi-somme constante, m et peuvent être exprimées par m+d et m-d, d étant une variable. Leur produit est m²-d² et est maximum quand d est nul, c'est-à-dire quand elles sont égales.

Si deux dimensions sont égales, le volume maximum est réalisé quand la troisième dimensions leur est égale.
En effet : si t est le tiers de la somme et d l'écart entre ce tiers et chacune des deux dimensions égales (-t <= d <= t/2), le volume est (t+d)²(t-2d) = (t²+2td+d²)(t-2d) = t³-2t²d+2t²d-4td²+d²t-2d³. La partie variable de ce polynôme est -2d³-3d²t.
La dérivée de cette partie variable est -6d²-6dt = -6d(d-t).
Tableau de signe de cette dérivée en fonction de d : avant 0 : positif; entre 0 et t : négatif; après t : hors de l'intervalle. La partie variable et donc le volume est maximum quand d est 0, c'est-à-dire quand les trois dimensions sont égales.