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Somme et produit des racines

Posté par
ilhamdu95
18-09-11 à 19:53

Bonjour, Bonsoir

Partie A :
On considère le trinôme t défini par t(x)= ax²+bx+c avec a0;
on note son discriminant.

Données:
x1=(-b-)/2a
x2=(-b+)/2a

1- Si >0 on note x1 et x2 les deux racines du trinôme.
      a/ Montrer que leur somme S est égale à -(b/a) et que leur produit P est égal à c/a .
       S= x1+x2= -(b/a)
        
       P= x1x2= c/a (<= je le sors d'où le c ?)

      b/ Que représentent b et c dans le cas où a=1 ?


(Conclusion: Propriété:
Si deux réels sont les solutions de l'équation x²+Sx+P=0, alors ils ont pour somme S et pour produit P)

2- Démontrer la réciproque de la propriété ci-dessus en remarquant que les deux réels et
sont les solutions de l'équation (x-)(x-)=0


3- Résoudre le système suivant : x+y=12 et xy=35



Partie B :
Le célèbre tableau de Léonard de Vinci, "La Joconde", a pour aire 4081 cm²et pour périmètre 260 cm.
Déterminer les dimensions du tableau.

Bon alors voila, j'ai besoin d'aide pour  cet exercice , je vous remercie d'avance pour votre aide

Posté par
Glapion Moderateur
re : Somme et produit des racines 18-09-11 à 22:33

Bonsoir, non c'est X²-SX+P
il suffit de faire ax²+bx+c=(x-x1)(x-x2)=x²-(x1+x2)x+x1x2 pour démontrer en identifiant les coefficients que x1+x2=-b/a et x1x2=c/a

Posté par
cocoom
re : Somme et produit des racines 19-09-11 à 21:30

Bonsoir,
J'ai également cet exercice et je ne comprend pas non plus.
Glapion j'ai pas trop compris ce que tu as dis.

Posté par
lafouine
pouvez vous m'expliquer se probleme 21-09-11 à 09:49

bonjour
j'ai aussi eu se probleme avec la joconde mais je ne comprends pas bien , pouvez vous m'expliquer le lien entre la fonction de base et les X1 et X2... de l'explication
ax²+bx+c=(x-x1)(x-x2)=x²-(x1+x2)x+x1x2


j'ai aussi X²-SX+P

avec u+v=S et uv=P  et S=60 P=850
1)2 tel nombres existe montrer alors que u et v possendent 2 solutions
2) reciproque pour X²-SX+P=0 il eexiste 2 solutions pour u et v

merci pour votre aide et surtout les explications

Posté par
Glapion Moderateur
re : Somme et produit des racines 21-09-11 à 11:47

Donc quand un polynôme a pour racine x1 et x2, on peut le factoriser par (x-x1) et (x-x2), il peut donc se mettre sous la forme ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)=a[x²-(x1+x2)x+x1x2 ] (ne pas oublier le a).
On peut identifier les coefficients des deux polynômes puisqu'ils sont égaux quelque soit x donc
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a

inversement si on connait la somme et le produit de deux nombres alors S=x1+x2 et P=x1x2
on prend x2=P/x1 dans la seconde et on remplace dans la première et ça donne x1+Px1=S soit x1²-Sx1+P=0 qui montre que x1 (ou x2, on aurait pu le faire aussi pour x2) est solution de l'équation X²-SX+P=0

Donc par exemple, trouver deux nombres dont on connait le produit 850 et la somme 60 ils sont solutions de l'équation X²-60X+850=0 on factorise ça par le discriminant ou la forme canonique et on trouve 5(62)

La Joconde qui a pour surface 4081 cm²et pour périmètre 260 cm : uv=4081 et u+v=130 donc u et v sont solutions de X²-130X+4081=0 X=53 et Y=77

Posté par
lafouine
merci pour l'aide 21-09-11 à 13:23

merci je vais maintenant essayer de faire mon exercice .moi j'ai à utiliser u et v a la place des X1 et x2 si j'ai tous compris puisaque dans mon énnoncé on me dit

u+v=S   et uv=P

x1+x2=-b/a =s=u+v
x1x2=c/a=P=uv

merci beaucoûp

Posté par
lafouine
voila la suite que j'ai essayer de demontrer 22-09-11 à 08:12

mon texte est
soit P et S 2 reels donnés on se demande si il existe 2 solutions  u et qui verifient  u+v=S   et uv=P

par exemple avec S =60 et P=851

on suppose que de tels nombres existent
1)montrer alors que u et v sont solution de l'equation X²-SX+P

ma solution : on doit identifier les coefficients  des polynomes .on a a une forme ax²+bx+c on deduit ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)=a[x²-(x1+x2)x+x1x2 ]
on a donc  u+v=S=-b/a   et uv=P=c/a
X²-SX+P = X²-(u+v)X+uv
j'ai le doute qu'en penser vous ?


2)reciproquement montrer que si X²-SX+P =0 admet u et v alors on a u et V =S et uv =P


3)definir une condition suffisante  
a#0

pouvez vous m'aider a la resolution merci

Posté par
Glapion Moderateur
re : Somme et produit des racines 22-09-11 à 12:38

Donc x+y=12 et xy=35 , x et y sont donc solutions de X²-12X+35=0 discriminant, etc... on trouve X=5 ou 7 et donc x=5 et y=7

Posté par
lafouine
la joconde moon calcul 22-09-11 à 14:44

La Joconde qui a pour surface 4081 cm²et pour périmètre 260 cm :  uv=4081 et u+v=130 donc u et v sont solutions de X²-130X+4081=0  X=53 et Y=77


pour U+V =130 c'est bien parceque la formule P est 2(L+l) donc 2(v+u) que l'on devise notre P/2 donc =130

puis calcul du discriminant et on en deduit les 2 solutions

merci de ma corriger si j'ai faux

Posté par
Glapion Moderateur
re : Somme et produit des racines 22-09-11 à 14:46

tu as les résultats dans mon post du 21-09-11 à 11:47

Posté par
cocoom
re : Somme et produit des racines 24-09-11 à 17:20

Bonjour

Voici les deux questions que je ne sais pas comment faire
b/ Que représentent b et c dans le cas où a=1 ?
2- Démontrer la réciproque de la propriété ci-dessus en remarquant que les deux réels et
sont les solutions de l'équation (x-)(x-)=0



3- Résoudre le système suivant : x+y=12 et xy=35

Pour moi j'obtiens x=12 et y=23
c'est correct ?

Merci

Posté par
cocoom
re : Somme et produit des racines 24-09-11 à 23:02

Quelqu'un peut m'aider
s'il vous plait

Posté par
cocoom
re : Somme et produit des racines 25-09-11 à 14:51

Personne ?

Posté par
cocoom
re : Somme et produit des racines 25-09-11 à 19:07

Posté par
lafouine
re : Somme et produit des racines 26-09-11 à 08:44

ut faire la meme demarche que dans mon  22-09-11 à 08:12

tu remplace dans ta forme x2+bx+c tes valeurs x+y=12 et xy=35
tu recherche le discriminant et suivant le resultats tu auras 1 2 ou pas de solutions

de  ta forme factoriser tu remonte en demontrant avec les proprietee a la forme basique du trinome qur tu doit avoir sur ton énoncé au debut .

Posté par
lumy
re : Somme et produit des racines 09-10-13 à 19:31

Donc comment on trouve la réciproque c'est en factorisant pour le 1)c????

Posté par
Glapion Moderateur
re : Somme et produit des racines 09-10-13 à 19:34

1c) ? pas trouvé de 1c

Posté par
lumy
re : Somme et produit des racines 09-10-13 à 19:36

C'est l'histoire de la réciproque j'y arrive pas...

Posté par
lumy
re : Somme et produit des racines 09-10-13 à 19:39

La question c'est:
démontrer la réciproque de la propriété (x²-Sx+P=0) en remarquant que les deux réels u et v sont les solutions de l'équation (x-u)(x-v)=0,puis en développant.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Somme et produit des racines 09-10-13 à 19:40

La réciproque de "Si deux réels sont les solutions de l'équation x²-Sx+P=0, alors ils ont pour somme S et pour produit P" c'est

Si deux réels ont pour somme S et pour produit P alors il sont solutions de l'équation x²-Sx+P=0

effectivement si x+y=S et xy=P alors y=P/x et en remplaçant ça donne x+P/x=S x²+P=Sx x²-Sx+P=0 et donc x est bien solution (et par symétrie y aussi).

Posté par
lumy
re : Somme et produit des racines 09-10-13 à 19:50

x+P/x=S ----- x²+P=Sx
      Pourquoi x²+P et pas x+P=Sx??  

Posté par
Glapion Moderateur
re : Somme et produit des racines 09-10-13 à 21:20

j'ai multiplié les deux cotés de l'égalité par x

mais tu veux peut-être la démonstration dans l'autre sens ?
"Si deux réels sont les solutions de l'équation x²-Sx+P=0, alors ils ont pour somme S et pour produit P"

Effectivement, si u et v sont solutions de x²-Sx+P=0 c'est que u²-Su+P=0 et v²-Sv+P=0
si on soustrait membre à membre les deux équations, ça donne u²-v²-S(u-v)=0 (u-v)(u+v)-S(u-v)=0 (u-v)[u+v-S]=0 et comme uv S=u+v
S=u+v et u²-Su+P=0 u²-u(u+v)=P=0 P=uv

Posté par
wiwi2012
re : Somme et produit des racines 19-10-13 à 18:52

bonjour pour p je trouve -c/a est ce normal?

Posté par
GaussSpirit
re : Somme et produit des racines 19-10-13 à 19:06


Pour le 3/

xy = 35

x+y = 12

donc : x²-12x+35=0
Delta = 4

Je te laisse continuer.

Posté par
GaussSpirit
re : Somme et produit des racines 19-10-13 à 19:49

Pour la partie b/
considérons x la longueur
y la largeur

2y + 2x = 260
xy = 4081

soit : y+x =130
xy = 4081

x²-130x+4081= 0

les deux solutions sont les dimensions.

Posté par
wiwi2012
re : Somme et produit des racines 19-10-13 à 23:40

nan la question1 ou il faut prouver P

Posté par
solene8435
re : Somme et produit des racines 02-01-16 à 14:15

Bonjour, je n'arrive pas a trouver a... qqn pourrait-il m'expliquer s'il vous plaie ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Somme et produit des racines 02-01-16 à 15:25

reformule ton exercice parce que là on ne s'y retrouve plus dans les questions.



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