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Problème: Aire d'un rectangle


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premièreProblème: Aire d'un rectangle

#msg3736859#msg3736859 Posté le 26-09-11 à 17:57
Posté par Profilyoppyop yoppyop

Bonjour, voila j'ai un exercice a faire mais je bloque dès la deuxieme question si vous pouviez m'aider a le résoudre ça serait vraiment cool

Voila le sujet:
  
   Le point M est situé sur un quart de cercle de centre O, de rayon 4 etr d'extrémités A et B. Le point N est le pied de la perpendiculaire à la droite (OA) passant par M. Le point P est le pied de la perpendiculaire à la droite (OB) passant par M.
On pose x=ON et on désigne par f(X) l'aire du rectangle ONMP.

1. Déterminer le domaine de définition D de la fonction f.

2. Montrer que, pour tout X de D, f(X)= xX16-x² .

3. a. Vérifier que, pour tout X de D, on a : f(X)= √64-(X²-8)²
   b. En déduire que le maximum de f vaut 8. En quelle valeur est-il atteint ?
   c. Que peut-on dire du rectangle ONMP lorsque son aire est maximale ?

4. a. A l'aide de la définition d'une fonction décroissante montrer que la fonction u(X)= (X²-8)² est décroissante sur l'intervalle [0 ; 2√2].
   b. En déduire le sens de variation de f sur [0 ; 2√2].
   c.Etudier les variations de f sur l'intervalle [2√2 ; 4]
   d. Construire le tableau de variations de f sur l'intervalle [0 ; 4].

5. Representer graphiquement la fonction f sur l'intervalle [0 ; 4].

Voila ce que j'ai trouver pour l'instant.

1. Df=[0 ; 4]
2. Dans OMN rectangle en N, on applique le théorème de Pythagore: OM²=ON²+NM²  NM²=OM²-ON²=16-X²  NM=√16-x²
De plus l'aire de OPNM est ONxNM donc X√16-x².

Pouvez vous m'aider a faire la suite
Merci
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3737122#msg3737122 Posté le 26-09-11 à 19:08
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Bonjour yoppyop

Pour le 3.a) tu développes  \sqrt{64-(x^2-8)^2} pour montrer que le résultat est bien égale à   x\sqrt{16-x^2}.

3.b) On a  :  f(x)=\sqrt{64-(x^2-8)^2}.

Le radicand  64-(x^2-8)^2 est une différence entre une constante (64) et une expression variable   (x^2-8)^2.

Quand une telle différence est-elle maximale ?
Que faut-il retirer à 64 pour que la différence  64-(x^2-8)^2  soit la plus grande possible ?

Quelle est alors cette valeur maximale pour la différence ?

Par conséquent, quelle est alors la valeur maximale pour f(x)=\sqrt{64-(x^2-8)^2}  ?
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re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3737878#msg3737878 Posté le 27-09-11 à 07:40
Posté par Profilyoppyop yoppyop

Merci c'est bon j'ai prouver que 8 est le maximum et qu'il est atteint pour 2√2.
Maintenant a la 3. c je pense que c'est un carré lorsque son aire est maximale mais comment le prouver ?
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3737890#msg3737890 Posté le 27-09-11 à 08:23
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Dans ton premier post tu as écrit que NM=\sqrt{16-x^2}.

Comme tu as trouvé que l'aire maximale du rectangle était atteinte si x = 2\sqrt{2}, on a ainsi que ON = 2\sqrt{2} et NM = \sqrt{16-x^2} = \sqrt{16-8}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.

Ainsi, le rectangle ONMP est tel que ON=NM.

C'est donc un carré.
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3737911#msg3737911 Posté le 27-09-11 à 09:07
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

On aurait pu également le prouver autrement.

L'aire maximale du rectangle vaut 8.
Un côté du rectangle mesure 2\sqrt{2}.

L'autre côté du rectangle mesurera   \large \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}= \frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3739347#msg3739347 Posté le 27-09-11 à 21:02
Posté par Profilyoppyop yoppyop

Ok merci maintenant c'est bon j'ai fini mon sujet !
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3739355#msg3739355 Posté le 27-09-11 à 21:05
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

C'est parfait alors !  

Bonne soirée  
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3811997#msg3811997 Posté le 29-10-11 à 12:23
Posté par Profiljeancm jeancm

avez vous compris les questions 1 et 2
merci
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3812048#msg3812048 Posté le 29-10-11 à 12:36
Posté par Profiljeancm jeancm

pardon j'avais pas vu le 1er commentaire merci
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3814402#msg3814402 Posté le 29-10-11 à 22:29
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

OK !
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3815198#msg3815198 Posté le 30-10-11 à 11:51
Posté par Profiljeancm jeancm

par contre je galère un peu sur la 4...
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3818268#msg3818268 Posté le 30-10-11 à 22:11
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Pour la 4 ...

4. a. A l'aide de la définition d'une fonction décroissante montrer que la fonction u(X)= (X²-8)² est décroissante sur l'intervalle [0 ; 2√2].


La définition de décroissance pour la fonction u sur l'intervalle [0 ; 2√2] est la suivante :

Pour tous les réels x1et x2 appartenant à l'intervalle [0 ; 2√2],   x_1<x_2\Longrightarrow u(x_1)>u(x_2)

ou encore,

Pour tous les réels x1et x2 appartenant à l'intervalle [0 ; 2√2],   x_1<x_2\Longrightarrow (x_1^2-8)^2>(x_2^2-8)^2.  

En effet,

x_1, x_2 \in [0;2\sqrt{2}]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow 0<x_1<x_2<2\sqrt{2}

x_1, x_2 \in [0;2\sqrt{2}]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow 0<x_1^2<x_2^2<(2\sqrt{2})^2

x_1, x_2 \in [0;2\sqrt{2}]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow 0<x_1^2<x_2^2<8

x_1, x_2 \in [0;2\sqrt{2}]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow x_1^2-8<x_2^2-8<0

x_1, x_2 \in [0;2\sqrt{2}]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow (x_1^2-8)^2>(x_2^2-8)^2

Tu peux justifier les passages entre chaque ligne ?
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3818277#msg3818277 Posté le 30-10-11 à 22:13
Posté par Profilboubkere boubkere

pourrais je apres avoir un peu daide hiphegenie please
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3911379#msg3911379 Posté le 11-12-11 à 17:22
Posté par ProfilNitrate33 Nitrate33

Comment faites-vous pour trouver le maximum svp ?
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3912272#msg3912272 Posté le 11-12-11 à 21:42
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Bonsoir Nitrate33

Tu n'as pas compris mon message de 19h08 ?
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3928074#msg3928074 Posté le 22-12-11 à 15:36
Posté par Profilcessmenud cessmenud

Bonjour à tous ! Voilà j'ai le même exercice à faire et je n'ai pas compris comment on trouve l'ensemble de définition (question 1)... Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment on arrive à ce résultat ? Merci d'avance ainsi que pour les explications de l'exercice en entier.
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3928989#msg3928989 Posté le 22-12-11 à 19:15
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Bonsoir

Citation :
je n'ai pas compris comment on trouve l'ensemble de définition (question 1)...
Tu détermines l'ensemble des valeurs possibles que peut prendre x.

On sait que x = ON.
Quelle est la valeur minimale de x ?
Quelle est sa valeur maximale ?

Regarde ce dessin

Problème: Aire d'un rectangle
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3929076#msg3929076 Posté le 22-12-11 à 19:40
Posté par Profilcessmenud cessmenud

Ça y est j'ai compris ! La valeur minimale est 0 et la valeur maximale est 4 d'où D=[0;4].
Merci beaucoup !
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3929095#msg3929095 Posté le 22-12-11 à 19:44
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3930723#msg3930723 Posté le 23-12-11 à 16:59
Posté par Profilcessmenud cessmenud

Bonsoir. Voilà cette fois ci c'est la question 3) b) que je n'ai pas compris...Puis-je avoir de l'aide ? Merci d'avance.
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3930834#msg3930834 Posté le 23-12-11 à 17:44
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Tu n'as pas compris mon message de 19h08 ?
Sinon, je peux te l'expliquer autrement
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3935154#msg3935154 Posté le 26-12-11 à 21:37
Posté par Profilcessmenud cessmenud

Non justement je n'ai pas compris...
(Désolée de ma réponse tardive mais il y a eu Noël donc je n'ai pas eu l'occasion d'aller sur le site plus tôt.)
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3935293#msg3935293 Posté le 26-12-11 à 22:40
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Pas de problème.
J'espère que Noël à été excellent pour toi

On a ceci :

(x^2-8)^2\ge 0  (un carré n'est jamais négatif)

-(x^2-8)^2\le 0  (attention, le sens de l'inégalité change)

64-(x^2-8)^2\le 64  (en ajoutant 64 aux deux membres de l'inégalité)

\sqrt{64-(x^2-8)^2}\le \sqrt{64}  (parce que la fonction racine carrée est croissante sur R+.

f(x) \le 8  (puisque f(x)=\sqrt{64-(x^2-8)^2}).

Donc 8 est un majorant de la fonction f.

Et de plus,

f(x) = 8 \Longleftrightarrow \sqrt{64-(x^2-8)^2}=8\Longleftrightarrow 64-(x^2-8)^2=64\\\\\Longleftrightarrow -(x^2-8)^2=0\Longleftrightarrow (x^2-8)^2=0\\\\\Longleftrightarrow x^2-8=0\Longleftrightarrow x^2=8\Longleftrightarrow x=\pm \sqrt{8}\Longleftrightarrow x=\pm 2\sqrt{2}

Or x0.

Ainsi f(x) = 8\ \ si\ \ x =2\sqrt{2}.

Par conséquent, le maximum de f est 8 et ce maximum est atteint si x = 2\sqrt{2}
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3935347#msg3935347 Posté le 26-12-11 à 23:01
Posté par Profilcessmenud cessmenud

Oui j'ai passé un excellent Noël merci

Et merci beaucoup pour ta réponse, j'ai tout compris, je n'aurai jamais réussi sans
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3935356#msg3935356 Posté le 26-12-11 à 23:03
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3935993#msg3935993 Posté le 27-12-11 à 13:59
Posté par Profilcessmenud cessmenud

Bonjour ! (Et oui c'est encore moi )
Je voudrai savoir si pour la question 4) b) (En déduire le sens de variation de f sur l'intervalle [0; 22].) on trouvait bien que celle-ci était croissante...ou me suis-je trompée ?
Merci d'avance
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3937470#msg3937470 Posté le 27-12-11 à 21:24
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Oui, la fonction f est bien croissante sur cet intervalle.  
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3937505#msg3937505 Posté le 27-12-11 à 21:34
Posté par Profilcessmenud cessmenud

Ah yes ! Merci

Et pour la 4) d) je ne sais pas comment faire. Pourrais-je avoir une petite indication ?
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3937517#msg3937517 Posté le 27-12-11 à 21:38
Posté par Profilcessmenud cessmenud

Non pas la d) ! La c) ! Pardon.
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3937575#msg3937575 Posté le 27-12-11 à 21:57
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Tu reprends les questions 4a) et 4b)

Citation :
4. a. A l'aide de la définition d'une fonction décroissante montrer que la fonction u(X)= (X²-8)² est décroissante sur l'intervalle [0 ; 2√2].
   b. En déduire le sens de variation de f sur [0 ; 2√2].
et tu démontres ceci :

*) a) A l'aide de la définition d'une fonction croissante montrer que la fonction u(X)= (X²-8)² est croissante sur l'intervalle [2√2;4].
*)  b. En déduire le sens de variation de f sur [2√2;4].
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3937637#msg3937637 Posté le 27-12-11 à 22:15
Posté par Profilcessmenud cessmenud

Mais je refais pareil que les questions a) et b)? Je dois changer des choses quand même non ?
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3937644#msg3937644 Posté le 27-12-11 à 22:17
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Evidemment que tu dois changer des choses...
Réfléchis un peu !  
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3940251#msg3940251 Posté le 28-12-11 à 19:20
Posté par Profilcessmenud cessmenud

Pourquoi j'ai fait S ?....je comprends rien...
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3940312#msg3940312 Posté le 28-12-11 à 19:33
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Et moi, je ne comprends pas ton dernier message...
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3940345#msg3940345 Posté le 28-12-11 à 19:41
Posté par Profilcessmenud cessmenud

Je suis en première S et comme là je comprends pas comment faire bah je me demande pourquoi j'y suis en première S comme je n'y arrive pas...
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3940753#msg3940753 Posté le 28-12-11 à 22:15
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

A 22h11, j'ai écrit en toutes lettres la définition de la décroissance de la fonction u.

Pour le problème que tu soulèves, il s'agit de la croissance.
Tu dois être capable de citer cette définition !
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3940815#msg3940815 Posté le 28-12-11 à 22:41
Posté par Profilcessmenud cessmenud

Oui oui je la connais la définition. Mais ce que je comprends pas c'est s'il faut faire la même chose que la question a) ou s'il faut faire autrement ? Parce que je vois pas comment arriver à une fonction croissante...
Désolée de vous embêter avec tout ça.
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3940843#msg3940843 Posté le 28-12-11 à 22:48
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

A priori, on ne sait pas si la fonction est croissante ou décroissante sur [2\sqrt{2},4].

On ne le sait qu'à la fin de l'explication.

Tu reprends mon message de 22h11 comme référence et tu commences comme ceci :

x_1, x_2 \in [2\sqrt{2},4]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow ...

A toi de remplir les points de suspension et de continuer comme dans le post en question.
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3941632#msg3941632 Posté le 29-12-11 à 12:40
Posté par Profilcessmenud cessmenud

Bonjour, j'ai bien repris ta méthode mais...je la trouve décroissante. C'est pas normal...
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3941851#msg3941851 Posté le 29-12-11 à 13:55
Posté par Profilcessmenud cessmenud

Cette question me bloque pour finir mon devoir...ça m'énerve
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3943455#msg3943455 Posté le 29-12-11 à 18:48
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Alors, une chose à la fois...

Qu'as-tu écrit pour terminer cette ligne ?
x_1, x_2 \in [2\sqrt{2},4]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow ...
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3943598#msg3943598 Posté le 29-12-11 à 19:14
Posté par Profilcessmenud cessmenud

Moi j'ai l'habitude de prendre x et y donc ça fait:
22 < x < y < 4
8 < x² < y² < 16
0 < x²-8 < y²-8 < 8
0 > (x²-8)² > (y²-8)² > 64
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3943645#msg3943645 Posté le 29-12-11 à 19:22
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Pourquoi changes-tu le sens des inégalités à la dernière ligne ?
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3943681#msg3943681 Posté le 29-12-11 à 19:28
Posté par Profilcessmenud cessmenud

C'est ce que vous aviez fait dans le message de 22h11...
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3943725#msg3943725 Posté le 29-12-11 à 19:39
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Oui, mais dans le message de 22h11, à la ligne qui précédait, nous avions une inégalité entre deux valeurs négatives !

Tu en comprends l'importance ?
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3943869#msg3943869 Posté le 29-12-11 à 20:11
Posté par Profilcessmenud cessmenud

Non je ne comprends pas...
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3944149#msg3944149 Posté le 29-12-11 à 21:36
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Je vais te donner deux exemples.

Si a et b sont positifs, alors a<b\Longrightarrow a^2<b^2

Exemple :

3<5\Longrightarrow 3^2 \red{<} 5^2

3<5\Longrightarrow 9<25

Si a et b sont négatifs, alors a<b\Longrightarrow a^2>b^2

Exemple :

-6<-3\Longrightarrow (-6)^2 \red{>} (-3)^2

-6<-3\Longrightarrow 36>9
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3944383#msg3944383 Posté le 29-12-11 à 22:41
Posté par Profilcessmenud cessmenud

Ah d'accord ! Ca y est j'ai compris !
Merci beaucoup pour tes explications
Je vais enfin pouvoir terminer ce devoir. Encore un grand merci à toi !
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3944396#msg3944396 Posté le 29-12-11 à 22:45
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Tu as donc compris que dans ce cas-ci, les inégalités conservent le même sens.

0 < x²-8 < y²-8
0 < (x²-8)² < (y²-8)²

Tu peux donc conclure...

Bonne soirée
re : Problème: Aire d'un rectangle#msg3948864#msg3948864 Posté le 31-12-11 à 15:17
Posté par ProfilLady56 Lady56

Bonjour j'ai moi aussi à faire cette exercice , j'ai voulu me corriger pour certaine choses qui se sont révélées bonne .
La seule chose que je ne comprend pas c'est pour la question 4.b , pour moi le sens de variation de f sur l'intervalle [o;2racine de 2] était décroissant et non croissant .
Pouvez vous m'expliquer ?

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