Problème: Aire d'un rectangle
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Problème: Aire d'un rectangle
Posté le 26-09-11 à 17:57
Posté par 
yoppyop yoppyop
Bonjour, voila j'ai un exercice a faire mais je bloque dès la deuxieme question si vous pouviez m'aider a le résoudre ça serait vraiment cool
Voila le sujet:
Le point M est situé sur un quart de cercle de centre O, de rayon 4 etr d'extrémités A et B. Le point N est le pied de la perpendiculaire à la droite (OA) passant par M. Le point P est le pied de la perpendiculaire à la droite (OB) passant par M.
On pose x=ON et on désigne par f(X) l'aire du rectangle ONMP.
1. Déterminer le domaine de définition D de la fonction f.
2. Montrer que, pour tout X de D, f(X)= xX16-x² .
3. a. Vérifier que, pour tout X de D, on a : f(X)= √64-(X²-8)²
b. En déduire que le maximum de f vaut 8. En quelle valeur est-il atteint ?
c. Que peut-on dire du rectangle ONMP lorsque son aire est maximale ?
4. a. A l'aide de la définition d'une fonction décroissante montrer que la fonction u(X)= (X²-8)² est décroissante sur l'intervalle [0 ; 2√2].
b. En déduire le sens de variation de f sur [0 ; 2√2].
c.Etudier les variations de f sur l'intervalle [2√2 ; 4]
d. Construire le tableau de variations de f sur l'intervalle [0 ; 4].
5. Representer graphiquement la fonction f sur l'intervalle [0 ; 4].
Voila ce que j'ai trouver pour l'instant.
1. Df=[0 ; 4]
2. Dans OMN rectangle en N, on applique le théorème de Pythagore: OM²=ON²+NM² NM²=OM²-ON²=16-X² NM=√16-x²
De plus l'aire de OPNM est ONxNM donc X√16-x².
Pouvez vous m'aider a faire la suite
Merci
yoppyop yoppyopBonjour, voila j'ai un exercice a faire mais je bloque dès la deuxieme question si vous pouviez m'aider a le résoudre ça serait vraiment cool
Voila le sujet:
Le point M est situé sur un quart de cercle de centre O, de rayon 4 etr d'extrémités A et B. Le point N est le pied de la perpendiculaire à la droite (OA) passant par M. Le point P est le pied de la perpendiculaire à la droite (OB) passant par M.
On pose x=ON et on désigne par f(X) l'aire du rectangle ONMP.
1. Déterminer le domaine de définition D de la fonction f.
2. Montrer que, pour tout X de D, f(X)= xX16-x² .
3. a. Vérifier que, pour tout X de D, on a : f(X)= √64-(X²-8)²
b. En déduire que le maximum de f vaut 8. En quelle valeur est-il atteint ?
c. Que peut-on dire du rectangle ONMP lorsque son aire est maximale ?
4. a. A l'aide de la définition d'une fonction décroissante montrer que la fonction u(X)= (X²-8)² est décroissante sur l'intervalle [0 ; 2√2].
b. En déduire le sens de variation de f sur [0 ; 2√2].
c.Etudier les variations de f sur l'intervalle [2√2 ; 4]
d. Construire le tableau de variations de f sur l'intervalle [0 ; 4].
5. Representer graphiquement la fonction f sur l'intervalle [0 ; 4].
Voila ce que j'ai trouver pour l'instant.
1. Df=[0 ; 4]
2. Dans OMN rectangle en N, on applique le théorème de Pythagore: OM²=ON²+NM² NM²=OM²-ON²=16-X² NM=√16-x²
De plus l'aire de OPNM est ONxNM donc X√16-x².
Pouvez vous m'aider a faire la suite
Merci
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 26-09-11 à 19:08
Posté le 26-09-11 à 19:08Posté par Hiphigenie Hiphigenie
Bonjour yoppyop
Pour le 3.a) tu développes^2})
pour montrer que le résultat est bien égale à 
.
3.b) On a :=\sqrt{64-(x^2-8)^2})
.
Le radicand^2)
est une différence entre une constante )
et une expression variable ^2)
.
Quand une telle différence est-elle maximale ?
Que faut-il retirer à 64 pour que la différence soit la plus grande possible ?
Quelle est alors cette valeur maximale pour la différence ?
Par conséquent, quelle est alors la valeur maximale pour ?
Hiphigenie HiphigenieBonjour yoppyop
Pour le 3.a) tu développes
3.b) On a :
Le radicand
Quand une telle différence est-elle maximale ?
Que faut-il retirer à 64 pour que la différence
Quelle est alors cette valeur maximale pour la différence ?
Par conséquent, quelle est alors la valeur maximale pour
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 27-09-11 à 07:40
Posté le 27-09-11 à 07:40Posté par yoppyop yoppyop
Merci c'est bon j'ai prouver que 8 est le maximum et qu'il est atteint pour 2√2.
Maintenant a la 3. c je pense que c'est un carré lorsque son aire est maximale mais comment le prouver ?
yoppyop yoppyopMerci c'est bon j'ai prouver que 8 est le maximum et qu'il est atteint pour 2√2.
Maintenant a la 3. c je pense que c'est un carré lorsque son aire est maximale mais comment le prouver ?
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 27-09-11 à 08:23
Posté le 27-09-11 à 08:23Posté par Hiphigenie Hiphigenie
Dans ton premier post tu as écrit que
.
Comme tu as trouvé que l'aire maximale du rectangle était atteinte si x =
, on a ainsi que ON = et NM = 
.
Ainsi, le rectangle ONMP est tel que ON=NM.
C'est donc un carré.
Hiphigenie HiphigenieDans ton premier post tu as écrit que
Comme tu as trouvé que l'aire maximale du rectangle était atteinte si x =
Ainsi, le rectangle ONMP est tel que ON=NM.
C'est donc un carré.
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 27-09-11 à 09:07
Posté le 27-09-11 à 09:07Posté par Hiphigenie Hiphigenie
On aurait pu également le prouver autrement.
L'aire maximale du rectangle vaut 8.
Un côté du rectangle mesure.
L'autre côté du rectangle mesurera
Hiphigenie HiphigenieOn aurait pu également le prouver autrement.
L'aire maximale du rectangle vaut 8.
Un côté du rectangle mesure
L'autre côté du rectangle mesurera
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 30-10-11 à 22:11
Posté le 30-10-11 à 22:11Posté par Hiphigenie Hiphigenie
Pour la 4 ...
4. a. A l'aide de la définition d'une fonction décroissante montrer que la fonction u(X)= (X²-8)² est décroissante sur l'intervalle [0 ; 2√2].
La définition de décroissance pour la fonction u sur l'intervalle [0 ; 2√2] est la suivante :
Pour tous les réels x1et x2 appartenant à l'intervalle [0 ; 2√2],>u(x_2))
ou encore,
Pour tous les réels x1et x2 appartenant à l'intervalle [0 ; 2√2],^2>(x_2^2-8)^2)
.
En effet,
![x_1, x_2 \in [0;2\sqrt{2}]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow 0<x_1<x_2<2\sqrt{2}](http://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_1, x_2 \in [0;2\sqrt{2}]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow 0<x_1<x_2<2\sqrt{2})
![x_1, x_2 \in [0;2\sqrt{2}]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow 0<x_1^2<x_2^2<(2\sqrt{2})^2](http://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_1, x_2 \in [0;2\sqrt{2}]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow 0<x_1^2<x_2^2<(2\sqrt{2})^2)
![x_1, x_2 \in [0;2\sqrt{2}]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow 0<x_1^2<x_2^2<8](http://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_1, x_2 \in [0;2\sqrt{2}]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow 0<x_1^2<x_2^2<8)
![x_1, x_2 \in [0;2\sqrt{2}]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow x_1^2-8<x_2^2-8<0](http://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_1, x_2 \in [0;2\sqrt{2}]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow x_1^2-8<x_2^2-8<0)
![x_1, x_2 \in [0;2\sqrt{2}]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow (x_1^2-8)^2>(x_2^2-8)^2](http://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_1, x_2 \in [0;2\sqrt{2}]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow (x_1^2-8)^2>(x_2^2-8)^2)
Tu peux justifier les passages entre chaque ligne ?
Hiphigenie HiphigeniePour la 4 ...
4. a. A l'aide de la définition d'une fonction décroissante montrer que la fonction u(X)= (X²-8)² est décroissante sur l'intervalle [0 ; 2√2].
La définition de décroissance pour la fonction u sur l'intervalle [0 ; 2√2] est la suivante :
Pour tous les réels x1et x2 appartenant à l'intervalle [0 ; 2√2],
ou encore,
Pour tous les réels x1et x2 appartenant à l'intervalle [0 ; 2√2],
En effet,
Tu peux justifier les passages entre chaque ligne ?
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 22-12-11 à 15:36
Posté le 22-12-11 à 15:36Posté par cessmenud cessmenud
Bonjour à tous ! Voilà j'ai le même exercice à faire et je n'ai pas compris comment on trouve l'ensemble de définition (question 1)... Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment on arrive à ce résultat ? Merci d'avance ainsi que pour les explications de l'exercice en entier.
cessmenud cessmenudBonjour à tous ! Voilà j'ai le même exercice à faire et je n'ai pas compris comment on trouve l'ensemble de définition (question 1)... Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment on arrive à ce résultat ? Merci d'avance ainsi que pour les explications de l'exercice en entier.
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 22-12-11 à 19:15
Posté le 22-12-11 à 19:15Posté par Hiphigenie Hiphigenie
Bonsoir
On sait que x = ON.
Quelle est la valeur minimale de x ?
Quelle est sa valeur maximale ?
Regarde ce dessin
Hiphigenie HiphigenieBonsoir
Citation :
je n'ai pas compris comment on trouve l'ensemble de définition (question 1)...
Tu détermines l'ensemble des valeurs possibles que peut prendre x.je n'ai pas compris comment on trouve l'ensemble de définition (question 1)...
On sait que x = ON.
Quelle est la valeur minimale de x ?
Quelle est sa valeur maximale ?
Regarde ce dessin
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 22-12-11 à 19:40
Posté le 22-12-11 à 19:40Posté par cessmenud cessmenud
Ça y est j'ai compris ! La valeur minimale est 0 et la valeur maximale est 4 d'où D=[0;4].
Merci beaucoup !
cessmenud cessmenudÇa y est j'ai compris ! La valeur minimale est 0 et la valeur maximale est 4 d'où D=[0;4].
Merci beaucoup !
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 23-12-11 à 16:59
Posté le 23-12-11 à 16:59Posté par cessmenud cessmenud
Bonsoir. Voilà cette fois ci c'est la question 3) b) que je n'ai pas compris...Puis-je avoir de l'aide ? Merci d'avance.
cessmenud cessmenudBonsoir. Voilà cette fois ci c'est la question 3) b) que je n'ai pas compris...Puis-je avoir de l'aide ? Merci d'avance.
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 23-12-11 à 17:44
Posté le 23-12-11 à 17:44Posté par Hiphigenie Hiphigenie
Tu n'as pas compris mon message de 19h08 ?
Sinon, je peux te l'expliquer autrement
Hiphigenie HiphigenieTu n'as pas compris mon message de 19h08 ?
Sinon, je peux te l'expliquer autrement
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 26-12-11 à 21:37
Posté le 26-12-11 à 21:37Posté par cessmenud cessmenud
Non justement je n'ai pas compris...
(Désolée de ma réponse tardive mais il y a eu Noël donc je n'ai pas eu l'occasion d'aller sur le site plus tôt.)
cessmenud cessmenudNon justement je n'ai pas compris...
(Désolée de ma réponse tardive mais il y a eu Noël donc je n'ai pas eu l'occasion d'aller sur le site plus tôt.)
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 26-12-11 à 22:40
Posté le 26-12-11 à 22:40Posté par Hiphigenie Hiphigenie
Pas de problème.
J'espère que Noël à été excellent pour toi
On a ceci :
^2\ge 0)
(un carré n'est jamais négatif)
^2\le 0)
(attention, le sens de l'inégalité change)
^2\le 64)
(en ajoutant 64 aux deux membres de l'inégalité)
^2}\le \sqrt{64})
(parce que la fonction racine carrée est croissante sur R+.
 \le 8)
(puisque ).
Donc 8 est un majorant de la fonction f.
Et de plus,
 = 8 \Longleftrightarrow \sqrt{64-(x^2-8)^2}=8\Longleftrightarrow 64-(x^2-8)^2=64\\\\\Longleftrightarrow -(x^2-8)^2=0\Longleftrightarrow (x^2-8)^2=0\\\\\Longleftrightarrow x^2-8=0\Longleftrightarrow x^2=8\Longleftrightarrow x=\pm \sqrt{8}\Longleftrightarrow x=\pm 2\sqrt{2})
Or x
0.
Ainsi = 8\ \ si\ \ x =2\sqrt{2})
.
Par conséquent, le maximum de f est 8 et ce maximum est atteint si x =
Hiphigenie HiphigeniePas de problème.
J'espère que Noël à été excellent pour toi
On a ceci :
Donc 8 est un majorant de la fonction f.
Et de plus,
Or x
0.Ainsi
Par conséquent, le maximum de f est 8 et ce maximum est atteint si x =
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 26-12-11 à 23:01
Posté le 26-12-11 à 23:01Posté par cessmenud cessmenud
Oui j'ai passé un excellent Noël merci
Et merci beaucoup pour ta réponse, j'ai tout compris, je n'aurai jamais réussi sans
cessmenud cessmenudOui j'ai passé un excellent Noël merci
Et merci beaucoup pour ta réponse, j'ai tout compris, je n'aurai jamais réussi sans
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 27-12-11 à 13:59
Posté le 27-12-11 à 13:59Posté par cessmenud cessmenud
Bonjour ! (Et oui c'est encore moi )
Je voudrai savoir si pour la question 4) b) (En déduire le sens de variation de f sur l'intervalle [0; 2
2].) on trouvait bien que celle-ci était croissante...ou me suis-je trompée ? 
Merci d'avance
cessmenud cessmenudBonjour ! (Et oui c'est encore moi
)Je voudrai savoir si pour la question 4) b) (En déduire le sens de variation de f sur l'intervalle [0; 2
2].) on trouvait bien que celle-ci était croissante...ou me suis-je trompée ? Merci d'avance
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 27-12-11 à 21:34
Posté le 27-12-11 à 21:34Posté par cessmenud cessmenud
Ah yes ! Merci
Et pour la 4) d) je ne sais pas comment faire. Pourrais-je avoir une petite indication ?
cessmenud cessmenudAh yes ! Merci
Et pour la 4) d) je ne sais pas comment faire. Pourrais-je avoir une petite indication ?
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 27-12-11 à 21:57
Posté le 27-12-11 à 21:57Posté par Hiphigenie Hiphigenie
Tu reprends les questions 4a) et 4b)
*) a) A l'aide de la définition d'une fonction croissante montrer que la fonction u(X)= (X²-8)² est croissante sur l'intervalle [2√2;4].
*) b. En déduire le sens de variation de f sur [2√2;4].
Hiphigenie HiphigenieTu reprends les questions 4a) et 4b)
Citation :
4. a. A l'aide de la définition d'une fonction décroissante montrer que la fonction u(X)= (X²-8)² est décroissante sur l'intervalle [0 ; 2√2].
b. En déduire le sens de variation de f sur [0 ; 2√2].
et tu démontres ceci : 4. a. A l'aide de la définition d'une fonction décroissante montrer que la fonction u(X)= (X²-8)² est décroissante sur l'intervalle [0 ; 2√2].
b. En déduire le sens de variation de f sur [0 ; 2√2].
*) a) A l'aide de la définition d'une fonction croissante montrer que la fonction u(X)= (X²-8)² est croissante sur l'intervalle [2√2;4].
*) b. En déduire le sens de variation de f sur [2√2;4].
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 27-12-11 à 22:15
Posté le 27-12-11 à 22:15Posté par cessmenud cessmenud
Mais je refais pareil que les questions a) et b)? Je dois changer des choses quand même non ?
cessmenud cessmenudMais je refais pareil que les questions a) et b)? Je dois changer des choses quand même non ?
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 28-12-11 à 19:41
Posté le 28-12-11 à 19:41Posté par cessmenud cessmenud
Je suis en première S et comme là je comprends pas comment faire bah je me demande pourquoi j'y suis en première S comme je n'y arrive pas...
cessmenud cessmenudJe suis en première S et comme là je comprends pas comment faire bah je me demande pourquoi j'y suis en première S comme je n'y arrive pas...
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 28-12-11 à 22:15
Posté le 28-12-11 à 22:15Posté par Hiphigenie Hiphigenie
A 22h11, j'ai écrit en toutes lettres la définition de la décroissance de la fonction u.
Pour le problème que tu soulèves, il s'agit de la croissance.
Tu dois être capable de citer cette définition !
Hiphigenie HiphigenieA 22h11, j'ai écrit en toutes lettres la définition de la décroissance de la fonction u.
Pour le problème que tu soulèves, il s'agit de la croissance.
Tu dois être capable de citer cette définition !
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 28-12-11 à 22:41
Posté le 28-12-11 à 22:41Posté par cessmenud cessmenud
Oui oui je la connais la définition. Mais ce que je comprends pas c'est s'il faut faire la même chose que la question a) ou s'il faut faire autrement ? Parce que je vois pas comment arriver à une fonction croissante...
Désolée de vous embêter avec tout ça.
cessmenud cessmenudOui oui je la connais la définition. Mais ce que je comprends pas c'est s'il faut faire la même chose que la question a) ou s'il faut faire autrement ? Parce que je vois pas comment arriver à une fonction croissante...
Désolée de vous embêter avec tout ça.
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 28-12-11 à 22:48
Posté le 28-12-11 à 22:48Posté par Hiphigenie Hiphigenie
A priori, on ne sait pas si la fonction est croissante ou décroissante sur![[2\sqrt{2},4]](http://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?[2\sqrt{2},4])
.
On ne le sait qu'à la fin de l'explication.
Tu reprends mon message de 22h11 comme référence et tu commences comme ceci :
![x_1, x_2 \in [2\sqrt{2},4]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow ...](http://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_1, x_2 \in [2\sqrt{2},4]\ et\ x_1<x_2\Longrightarrow ...)
A toi de remplir les points de suspension et de continuer comme dans le post en question.
Hiphigenie HiphigenieA priori, on ne sait pas si la fonction est croissante ou décroissante sur
On ne le sait qu'à la fin de l'explication.
Tu reprends mon message de 22h11 comme référence et tu commences comme ceci :
A toi de remplir les points de suspension et de continuer comme dans le post en question.
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 29-12-11 à 12:40
Posté le 29-12-11 à 12:40Posté par cessmenud cessmenud
Bonjour, j'ai bien repris ta méthode mais...je la trouve décroissante. C'est pas normal...
cessmenud cessmenudBonjour, j'ai bien repris ta méthode mais...je la trouve décroissante. C'est pas normal...
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 29-12-11 à 18:48
Posté le 29-12-11 à 18:48Posté par Hiphigenie Hiphigenie
Alors, une chose à la fois...
Qu'as-tu écrit pour terminer cette ligne ?
Hiphigenie HiphigenieAlors, une chose à la fois...
Qu'as-tu écrit pour terminer cette ligne ?
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 29-12-11 à 19:14
Posté le 29-12-11 à 19:14Posté par cessmenud cessmenud
Moi j'ai l'habitude de prendre x et y donc ça fait:
22 < x < y < 4
8 < x² < y² < 16
0 < x²-8 < y²-8 < 8
0 > (x²-8)² > (y²-8)² > 64
cessmenud cessmenudMoi j'ai l'habitude de prendre x et y donc ça fait:
2
2 < x < y < 48 < x² < y² < 16
0 < x²-8 < y²-8 < 8
0 > (x²-8)² > (y²-8)² > 64
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 29-12-11 à 19:39
Posté le 29-12-11 à 19:39Posté par Hiphigenie Hiphigenie
Oui, mais dans le message de 22h11, à la ligne qui précédait, nous avions une inégalité entre deux valeurs négatives !
Tu en comprends l'importance ?
Hiphigenie HiphigenieOui, mais dans le message de 22h11, à la ligne qui précédait, nous avions une inégalité entre deux valeurs négatives !
Tu en comprends l'importance ?
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 29-12-11 à 21:36
Posté le 29-12-11 à 21:36Posté par Hiphigenie Hiphigenie
Je vais te donner deux exemples.
Si a et b sont positifs, alors
Exemple :
Si a et b sont négatifs, alors
Exemple :
^2)
^2)
Hiphigenie HiphigenieJe vais te donner deux exemples.
Si a et b sont positifs, alors
Exemple :
Si a et b sont négatifs, alors
Exemple :
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 29-12-11 à 22:41
Posté le 29-12-11 à 22:41Posté par cessmenud cessmenud
Ah d'accord ! Ca y est j'ai compris !
Merci beaucoup pour tes explications
Je vais enfin pouvoir terminer ce devoir. Encore un grand merci à toi !
cessmenud cessmenudAh d'accord ! Ca y est j'ai compris !
Merci beaucoup pour tes explications
Je vais enfin pouvoir terminer ce devoir. Encore un grand merci à toi !
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 29-12-11 à 22:45
Posté le 29-12-11 à 22:45Posté par Hiphigenie Hiphigenie
Tu as donc compris que dans ce cas-ci, les inégalités conservent le même sens.
0 < x²-8 < y²-8
0 < (x²-8)² < (y²-8)²
Tu peux donc conclure...
Bonne soirée
Hiphigenie HiphigenieTu as donc compris que dans ce cas-ci, les inégalités conservent le même sens.
0 < x²-8 < y²-8
0 < (x²-8)² < (y²-8)²
Tu peux donc conclure...
Bonne soirée
re : Problème: Aire d'un rectangle Posté le 31-12-11 à 15:17
Posté le 31-12-11 à 15:17Posté par Lady56 Lady56
Bonjour j'ai moi aussi à faire cette exercice , j'ai voulu me corriger pour certaine choses qui se sont révélées bonne .
La seule chose que je ne comprend pas c'est pour la question 4.b , pour moi le sens de variation de f sur l'intervalle [o;2racine de 2] était décroissant et non croissant .
Pouvez vous m'expliquer ?
Lady56 Lady56Bonjour j'ai moi aussi à faire cette exercice , j'ai voulu me corriger pour certaine choses qui se sont révélées bonne .
La seule chose que je ne comprend pas c'est pour la question 4.b , pour moi le sens de variation de f sur l'intervalle [o;2racine de 2] était décroissant et non croissant .
Pouvez vous m'expliquer ?
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