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Etude d'une limite

   
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premièreEtude d'une limite

#msg3736943 Posté le 26-09-11 à 18:25
Posté par Profilalmonaco almonaco

Bonjour à tous,

Voilà j'ai quelques limites de fonctions à étudier mais je n'ai vraiment rien compris au principe et je sollicite votre bienveillance pour me montrer comment cela marche.

J'ai la fonction f(x)= 5x3-3x+1 à étudier en + et -

Je trouve juste limx+5x3= +
Et de même pour - ?


Je remercie d'avance pour les réponses.
re : Etude d'une limite#msg3737314 Posté le 26-09-11 à 20:02
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Bonsoir almonaco

Voci la méthode classique.

On met en facteur le terme du plus haut exposant en x, soit le terme   5x^3.

\large \lim_{x\to +\infty}{(5x^3-3x+1)}=\lim_{x\to +\infty}{5x^3(1-\frac{3x}{5x^3}+\frac{1}{5x^3})

\large \lim_{x\to +\infty}{(5x^3-3x+1)}=\lim_{x\to +\infty}{5x^3(1-\frac{3}{5x^2}+\frac{1}{5x^3})

On a : \large \lim_{x\to +\infty}{(5x^3)} = +\infty

\large \lim_{x\to +\infty}{(1-\frac{3}{5x^2}+\frac{1}{5x^3})} = 1-0+0 = 1

Par conséquent   \large \lim_{x\to +\infty}{(5x^3-3x+1)}= (+\infty) \times 1 = +\infty.

Tu remarques par cette méthode que la parenthèse  (1-\frac{3}{5x^2}+\frac{1}{5x^3})  tend toujours vers 1.

Seul le terme pouvant donner la réponse finale est le terme  5x^3.

C'est la raison pour laquelle on peut écrire ceci :  

\large \lim_{x\to +\infty}{(5x^3-3x+1)}=\lim_{x\to +\infty}{(5x^3)} = 5\times (+\infty) = +\infty.
re : Etude d'une limite#msg3737449 Posté le 26-09-11 à 21:09
Posté par Profilalmonaco almonaco

Ah merci beaucoup j'ai bien compris la démarche à suivre =)
re : Etude d'une limite#msg3737459 Posté le 26-09-11 à 21:11
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Tu as compris que la démarche était analogue pour -.

La parenthèse tend toujours vers 1.

On calculera également la limite de (5x³)
re : Etude d'une limite#msg3737479 Posté le 26-09-11 à 21:23
Posté par Profilalmonaco almonaco

Par contre une chose où j'ai vraiment du mal c'est comprendre la nuance du x+ et - dans les calculs ...

Mais la limx-(5x3)= - car si on multiplie 3 fois un nombre négatif il reste quand même négatif ?

Et pour l'autre moitié comme tu l'as dit ça tend toujours vers 1 donc pour x tend vers - on a:

limx-(5x3-3x+1)= -

Raisonnement juste ou quelque chose cloche ?
re : Etude d'une limite#msg3737490 Posté le 26-09-11 à 21:27
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Tu as parfaitement compris...

Rien ne cloche...
re : Etude d'une limite#msg3737500 Posté le 26-09-11 à 21:30
Posté par Profilalmonaco almonaco

Ok mais le fait de factoriser par le x qui a le plus grand exposant c'est un fait qui marche à tous les coups ou c'est juste un cas particulier ici ?
re : Etude d'une limite#msg3737505 Posté le 26-09-11 à 21:31
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Mais plus tard, tu laisseras tomber les termes inutiles et tu ne considéreras que le terme du plus haut dégré en x.

Ici, c'est 5x³.

Tu ne parleras même plus de la parenthèse...
re : Etude d'une limite#msg3737508 Posté le 26-09-11 à 21:33
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Citation :
Ok mais le fait de factoriser par le x qui a le plus grand exposant c'est un fait qui marche à tous les coups ou c'est juste un cas particulier ici ?
On utilise cette technique tout particulièrement pour les fonctions rationnelles (les polynômes, les fractions rationnelles,...), c'est à dire pour les fonctions qui n'utilisent pas les racines carrées, racines cubiques,...
re : Etude d'une limite#msg3737579 Posté le 26-09-11 à 21:55
Posté par Profilalmonaco almonaco

Ah oui je vois merci

Mais par rapport aux fractions si je me retrouve avec f(x)= (x+1)/(x-1) si je multiplie en haut et bas par x+1 j'ai (x2+2x+1)/(x2-1).

Donc la limx1(f(x))=0

Et si x+ je me retrouve avec limx+= + car on a du positif en haut et en bas ?
re : Etude d'une limite#msg3737598 Posté le 26-09-11 à 22:04
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Tu as un peu vite, là...

Pourquoi multiplies-tu par x+1 ?

Le calcul est direct !

On a  \large f(x) = \frac{x+1}{x-1}

\large \lim_{x\to 1}{(x+1)} = 2

\large \lim_{x\to 1,x > 1}{(x-1)} = 0^+

\large \lim_{x\to 1,x > 1}{f(x)} = [\frac{2}{0^+}] = +\infty



\large \lim_{x\to 1,x < 1}{(x-1)} = 0^-

\large \lim_{x\to 1,x < 1}{f(x)} = [\frac{2}{0^-}]= -\infty

Pour ceci, tu comprends ?

Je reviendra plus tard sur l'autre limite qui n'est pas correcte.
re : Etude d'une limite#msg3737628 Posté le 26-09-11 à 22:11
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

\large  f(x) = \frac{x+1}{x-1}

\large \lim_{x\to +\infty}{\frac{x+1}{x-1}} = \lim_{x\to +\infty}{\frac{x}{x}} = 1

\large \lim_{x\to -\infty}{\frac{x+1}{x-1}} = \lim_{x\to -\infty}{\frac{x}{x}} = 1
re : Etude d'une limite#msg3737648 Posté le 26-09-11 à 22:22
Posté par Profilalmonaco almonaco

Oui je comprends on vient de voir cette notation de 1+ et 1-
re : Etude d'une limite#msg3737650 Posté le 26-09-11 à 22:24
Posté par Profilalmonaco almonaco

On peut simplifier les 1 de cette façon ?
re : Etude d'une limite#msg3737653 Posté le 26-09-11 à 22:24
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Alors, tu pourras traduire...

\large \lim_{x\to 1^+}{f(x)} = [\frac{2}{0^+}] = +\infty

\large \lim_{x\to 1^-}{f(x)} = [\frac{2}{0^-}] = -\infty


Et pour l'autre limite, tu veux des détails ?
re : Etude d'une limite#msg3737655 Posté le 26-09-11 à 22:25
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Simplifier quels 1 ?
re : Etude d'une limite#msg3737664 Posté le 26-09-11 à 22:28
Posté par Profilalmonaco almonaco

Pour x+ et - les 1 disparaissent c'est une règle des limites ?
re : Etude d'une limite#msg3737670 Posté le 26-09-11 à 22:30
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Attends, je ne te suis pas...

Tu parles de quel post ?
De celui de 22h11 ?
re : Etude d'une limite#msg3737679 Posté le 26-09-11 à 22:34
Posté par Profilalmonaco almonaco

Euh oui voilà.
re : Etude d'une limite#msg3737681 Posté le 26-09-11 à 22:35
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Une seconde...

Je dactylographie le détail.
Mais le Latex est plus lent à transcrire
re : Etude d'une limite#msg3737692 Posté le 26-09-11 à 22:40
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

\large \lim_{x\to +\infty}{\frac{x+1}{x-1}} = \lim_{x\to +\infty}{\frac{x(1+\frac{1}{x})}{x(1-\frac{1}{x})}} = \lim_{x\to +\infty}{\frac{\cancel{x}(1+\frac{1}{x})}{\cancel{x}(1-\frac{1}{x})}} =\lim_{x\to +\infty}{\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}} =\frac{1}{1}=1

Idem en -
re : Etude d'une limite#msg3737694 Posté le 26-09-11 à 22:40
Posté par Profilalmonaco almonaco

Ok

Quel logiciel utilisez-vous pour mettre les calculs de cette façon plus propre ?
re : Etude d'une limite#msg3737701 Posté le 26-09-11 à 22:45
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Le Latex.

Les balises sont situées en-dessous du cadre réponse (LTX) et si tu veux de l'aide, tu peux cliquer sur le qui se trouve dans la bande orange au-dessus de cette page.

Tu auras une belle aide.

Si tu cliques sur la maison, tu y es tout de suite  
re : Etude d'une limite#msg3737712 Posté le 26-09-11 à 22:48
Posté par Profilalmonaco almonaco

Ah oui merci pour mes prochains post je me mettrai peut être à écrire comme ça, tout de suite plus jolie à voir.
re : Etude d'une limite#msg3737720 Posté le 26-09-11 à 22:52
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Tu commences d'abord par des expressions simples (des fractions, des racines carrées...) et tu verras qu'avec un peu d'habitude, ce sera automatique et facile...

Il ne faut pas être distrait, seulement !

Heureusement, il y a l'aperçu pour vérifier  
re : Etude d'une limite#msg3737734 Posté le 26-09-11 à 23:00
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Par exmple, pour le post de 22h40, tu mets ceci entre les balises du Latex.

\large \lim_{x\to +\infty}{\frac{x+1}{x-1}} = \lim_{x\to +\infty}{\frac{x(1+\frac{1}{x})}{x(1-\frac{1}{x})}} = \lim_{x\to +\infty}{\frac{\cancel{x}(1+\frac{1}{x})}{\cancel{x}(1-\frac{1}{x})}} =\lim_{x\to +\infty}{\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}} =\frac{1}{1}=1.

Tu peux essayer...
re : Etude d'une limite#msg3737743 Posté le 26-09-11 à 23:03
Posté par Profilalmonaco almonaco

Oui ne pas être distrait

Ah oui l'aperçu jamais servi c'est peut être l'occasion

En tout cas merci pour toutes ces maths ça m'a permis de bien comprendre comment aborder ces limites qui me faisaient si peur
re : Etude d'une limite#msg3737747 Posté le 26-09-11 à 23:05
Posté par Profilalmonaco almonaco

Oula qu'est ce que c'est que ça ...

Je connais pas toutes les commandes pour insérer une fraction ou autres ...
re : Etude d'une limite#msg3737750 Posté le 26-09-11 à 23:07
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Oh, avec quelques "copier-coller", on gagne du temps en écrivant la formule...

Pour en revenir aux limites, tu as fini par comprendre la méthode rapide que j'ai utilisée ici ?

\large \lim_{x\to +\infty}{\frac{x+1}{x-1}} = \lim_{x\to +\infty}{\frac{x}{x}} = 1
re : Etude d'une limite#msg3737755 Posté le 26-09-11 à 23:10
Posté par Profilalmonaco almonaco

Factorisation par x au dénominateur et nominateur puis 2 simplifications et le tour est joué
re : Etude d'une limite#msg3737762 Posté le 26-09-11 à 23:13
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Ce n'est pas ce que j'ai voulu faire dans le post précédent.

Je n'ai considéré que le terme du plus haut degré en x au numérateur et le terme du plus haut degré en x au dénominateur.

J'ai laissé tomber tout le reste... Pas de factorisation, etc...
re : Etude d'une limite#msg3737765 Posté le 26-09-11 à 23:15
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

J'ai bien dit que c'était une méthode rapide (et correcte!), mais la tienne par factorisation est la méthode classique !
re : Etude d'une limite#msg3737768 Posté le 26-09-11 à 23:16
Posté par Profilalmonaco almonaco

Mais x et 1 ne sont pas au même degré dans ce cas ? Ou alors je n'ai pas compris pas la notion de degré ici.
re : Etude d'une limite#msg3737769 Posté le 26-09-11 à 23:18
Posté par Profilalmonaco almonaco

C'est vous qui m'avez montré la méthode de factorisation, il ne faut pas le l'approprier même si c'est certain que l'autre je ne l'ai jamais vu.
Pour ça je ne sais pas si je vais l'utiliser lors de testes ...
re : Etude d'une limite#msg3737771 Posté le 26-09-11 à 23:20
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Le numérateur est x+1.

Le terme du plus haut degré est   x


Le dénominateur est x-1.

Le terme du plus haut degré est   x

Donc, je ne considère que ces   "x"

On écrira donc :  \large \lim_{x\to +\infty}{\frac{x+1}{x-1}} = \lim_{x\to +\infty}{\frac{x}{x}}

Maintenant, il est évident que \large \lim_{x\to +\infty}{\frac{x}{x}} = 1  puisque   \frac{x}{x} = 1
re : Etude d'une limite#msg3737774 Posté le 26-09-11 à 23:22
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

OK...

Tu as alors intérêt à continuer avec la factorisation.

C'est la voie normale  
re : Etude d'une limite#msg3737803 Posté le 26-09-11 à 23:53
Posté par Profilalmonaco almonaco

Oui tout à fait
re : Etude d'une limite#msg3737806 Posté le 26-09-11 à 23:57
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Bonne nuit !

Je vais aller     

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